人教A版第8章8.68.6.3平面与平面垂直(2)课件（35张）

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.3平面与平面垂直(2)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.进一步理解两个平面垂直的定义．2.掌握两个平面垂直的判定与性质定理及其应用．活动方案1.二面角的概念．(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)画法：

直立式

平卧式(3)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－

l－Q

或P－AB－Q.活动一巩固二面角的概念及两个平面垂直的定义2.二面角的平面角．(1)定义：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角．(2)画法：(3)表示方法：若O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.3.平面与平面垂直．(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：(3)记作：α⊥β.思考1►►►如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？活动二探究两个平面垂直的判定定理与性质定理【解析】

这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直．4.平面与平面垂直的判定定理：【解析】

填表略文字语言

符号语言

图形语言

思考2►►►如图，设α⊥β，α∩β＝a，则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？相应地，b与α有什么位置关系？【解析】

b与a平行或相交．当b∥a时，b∥α；当b与a相交时，b与α也相交，特别地当b⊥a时，b⊥α.5.平面与平面垂直的性质定理：【解析】

填表略文字语言

符号语言

图形语言

例1如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，

求证：平面A′BD⊥平面ACC′A′.活动三两个平面垂直的判定定理与性质定理的应用【解析】

因为ABCD－A′B′C′D′是正方体，所以AA′⊥平面ABCD.因为BD⊂平面ABCD，所以AA′⊥BD.又BD⊥AC，A′A∩AC＝A，A′A⊂平面ACC′A′，AC⊂平面ACC′A′，所以BD⊥平面ACC′A′.又BD⊂平面A′BD，所以平面A′BD⊥平面ACC′A′.证明面面垂直的方法：(1)利用两平面垂直的定义，作出两相交平面所成二面角的平面角，并证明其大小为90°；(2)利用判定定理，在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．【解析】

连接OC.因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥PO.因为OD∩PO＝O，PO⊂平面POD，OD⊂平面POD，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.例2如图，已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，a⊄α，判断a与α的位置关系．【解析】

在平面α内作垂直于α与β交线的直线b.因为α⊥β，所以b⊥β.又a⊥β，所以a∥b，又a⊄α，b⊂α，所以a∥α，即直线a与平面α平行．在线线垂直、线面垂直、面面垂直的位置关系中，只要添加一些其他条件，都可以得到线线、线面等平行关系．求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．【解析】

已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：a⊂α.证明：设α∩β＝l.过点P在平面α内作直线b⊥l，根据平面与平面垂直的性质定理，有b⊥β.因为经过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a应与直线b重合，即a⊂α.例3在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥平面PAB.【解析】

如图，在平面PAB内作AD⊥PB于点D.因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，所以AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC.因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAB，AD⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时的三要素：(1)两个平面垂直；(2)所求证的直线必须在其中一个平面内；(3)该直线必须垂直于它们的交线．如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.【解析】

(1)因为四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形．因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.(2)因为△PAD是正三角形，G是AD的中点，所以PG⊥AD.因为BG⊥AD，BG∩PG＝G，BG⊂平面PBG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.检测反馈245131.(2022·临湘期末)已知两条不同直线l，m，两个不同平面α，β，则下列命题中正确的是(

)A.若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m

B.若α∥β，m∥α，l⊥β，则l⊥mC.若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l∥m

D.若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m24513【答案】

B【解析】

对于A，若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m或l，m异面，故A错误；对于B，若α∥β，l⊥β，则l⊥α.因为m∥α，所以l⊥m，故B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，m∥β，则l∥m或l，m相交或l，m异面，故D错误．245132.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则下列结论中正确的是(

)A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线24513【答案】

B24533.(多选)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的有(

)A.平面PAD⊥平面PAB B.平面PAD⊥平面PCDC.平面PBC⊥平面PAB D.平面PBC⊥平面PCD124531【解析】

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥BC.又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD，同理可得平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，故选ABC.【答案】

ABC24534.如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.12453【答案】

13124535.(2022·岳阳平江县期末)如图，在三棱锥P－ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC.(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AC＝PA＝2，BC＝3，求AB与平面PBC所成

角的正弦值．1【解析】

(1)因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因为PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥