2023学年完整公开课版章末整合6

章末整合专题一

应用正、余弦定理解三角形例1在△ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是(

)A.b=20,A=45°,C=80°B.a=30,c=28,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=12,c=15,A=120°答案:C专题二

判断三角形的形状例3已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和,且a,b为△ABC的两边,A,B为两内角,试判定这个三角形的形状.解:解法一:设方程的两根为x1、x2,由韦达定理知x1+x2=bcos

A,x1x2=acos

B,由题意得bcos

A=acos

B,根据余弦定理,得所以b2+c2-a2=a2+c2-b2,化简得a=b,所以△ABC为等腰三角形.解法二:同解法一得bcos

A=acos

B,由正弦定理,得2Rsin

Bcos

A=2Rsin

Acos

B,所以sin

Acos

B-cos

Asin

B=0,即sin(A-B)=0,因为A,B为三角形的内角,所以A=B,故△ABC为等腰三角形.专题三

求三角形的面积例4在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若专题四

解三角形的应用例5某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20.故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.解法二

(1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在C处相遇,(2)猜想v=30时,小艇能以最短时间与轮船在D处相遇,此时AD=DO=30t.又∠OAD=60°,据此可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度的大小为30海里/小时,这样,小艇能以最短时间与轮船相遇.证明如下:故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,故小艇与轮船不可能在A,C之间(包含C)的任意位置相遇.解法三

(1)同解法一或解法二.(2)设小艇与轮船在B处相遇,依据题意得:v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),(v2-900)t2+600t-400=0.(1)若0<v<30,则由Δ=360

000+1

600(v2-900)=1

600(v2-675)≥0,此时,在△OAB中,OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.例6如图,测量人员沿直线MNP的方向测量,测得塔顶A的仰角分别是∠AMB=30°,∠ANB=45°,∠APB=60°,且MN=PN=500m,求塔高AB.解:设AB=x,因为AB垂直于地面,所以△ABM,△ABN,△ABP均为直角三角形.在△MNB中,由余弦定理知BM2=MN2+BN2-2MN·BN·cos∠MNB,在△PNB中,由余弦定理知BP2=NP2+BN2-2NP·BN·cos∠PNB,又因为∠MNB与∠PNB互补,MN=NP=500,所以3x2=250

000+x2-2×500x·cos∠MNB,①专题五

三角变换与解三角形的综合问题例7在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-b)cosC=ccosB,△ABC的面积S=10,c=7.(1)求角C;(2)求a,b的值.解:(1)因为(2a-b)cos

C=ccos

B,所以(2sin

A-sin

B)cos

C=sin

Ccos

B,2sin

Acos

C-s