新教材人教b版数学必修正切函数的性质与图像

7.3.4正切函数的性质与图像1.正切函数的定义对于任意一个角x,只要x≠+kπ,k∈Z,就有唯一确定的正切值tanx与之对应,则y=tanx称为正切函数.2.正切函数的性质【思考】(1)正切函数在定义域上是单调递增函数吗?提示:不是.正切函数在每一个区间(k∈Z)上都是单调递增函数,但是不能说在定义域上是增函数.(2)函数y=Atan的周期是多少?提示:T=.3.正切函数的图像正切曲线:【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)正切函数既没有最大值也没有最小值.(

)(2)正切函数的对称中心是(kπ,0),k∈Z.(

)(3)函数y=tan2x的周期是2π.(

)提示:(1)√.正切函数的值域为R,既没有最大值也没有最小值.(2)×.正切函数的对称中心是,k∈Z.(3)×.函数y=tan2x的周期是.2.函数y=tan的一个对称中心是 (

)

A.(0,0) B.C. D.(π,0)【解析】选C.令x+,k∈Z,得x=,k∈Z,所以函数y=tan的对称中心是.令k=2,可得函数的一个对称中心为.3.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y=1所得线段长为,则f的值是________.

【解析】由题意知,所以ω=4,所以f=tan.答案:

类型一正切函数的定义域、周期性、奇偶性【典例】1.(2020·咸阳高一检测)函数y=tan的定义域是 (

)

2.函数y=tan(sinx)是 (

)A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数3.若函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为2π,则ω=________;f=________.

【思维·引】1.结合正切函数中+kπ,k∈Z求解.2.根据奇偶函数的性质判断.3.由T==2π求ω,进而求f.【解析】1.选A.令x+≠kπ+(k∈Z),解得x≠2kπ+(k∈Z),故函数的定义域为2.选A.易知函数的定义域为R,f(-x)=是奇函数.3.因为函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为T==2π,所以ω=.所以f(x)=tan,f=tan=tan.答案:

【内化·悟】判断函数的奇偶性时,首先要求出函数的哪个性质?提示:首先要求出函数的定义域.【类题·通】(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tanx有意义即x≠+kπ,k∈Z.(2)一般地,函数y=Atan的最小正周期为T=,常常利用此公式来求周期.【习练·破】1.下列函数中,同时满足:①在上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数是 (

)

A.y=tanx B.y=cosxC.y=tan D.y=|tanx|【解析】选A.经验证,选项B,D中所给函数都是偶函数,不符合;选项C中所给的函数的周期为2π.2.函数f(x)=的定义域为 (

)

【解析】选A.由题意得即k∈Z,所以x≠(k∈Z).【加练·固】函数y=tan是 (

)A.最小正周期为4π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为4π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数【解析】选B.函数的周期T==2π,且函数为奇函数.类型二正切函数的单调性角度1求单调区间【典例】函数f(x)=tan的单调递增区间为

(

)

【思维·引】代入正切函数的单调增区间,解出x的范围.【解析】选A.对于函数f(x)=tan,令kπ-<x+<kπ+,求得2k-<x<2k+,故函数的增区间为(k∈Z).【素养·探】求正切型函数的单调区间时,往往用到核心素养中的数学运算,通过解x的范围求单调区间.本例中的函数改为f(x)=tan,试求函数的单调区间,求出的是单调增区间还是单调减区间?【解析】f(x)=tan=-tan,令kπ-<x-<kπ+,解得2k-<x<2k+,故函数的单调区间是,k∈Z.是单调减区间.角度2单调性的应用【典例】1.若tan2=a,tan3=b,tan5=c,则 (

)A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.c<a<b2.(2020·黄浦高一检测)若函数y=tanωx(ω>0)在(-π,π)上是递增函数,则ω的取值范围是_______. 世纪金榜导学号

【思维·引】1.将2,3,5化到一个单调区间内比较大小;2.先求出ωx的范围,该范围是正切函数单调区间的子区间.【解析】1.选D.因为tan5=tan(5-π),<5-π<2<3<π,又因为函数y=tanx在区间上是增函数,所以tan(5-π)<tan2<tan3,所以tan5<tan2<tan3,即c<a<b.2.因为函数y=tanωx(ω>0)在(-π,π)上是递增函数,所以kπ-≤ω·(-π),且ω·π≤+kπ,k∈Z,所以求得ω≤-k且ω≤+k,k∈Z,所以可得ω≤,所以ω的取值范围为.答案:

【类题·通】1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,且A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0,由于y=tanx在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+φ<kπ+,k∈Z,解得x的范围即可.(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.2.运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.(2)运用单调性比较大小关系.【习练·破】1.函数y=tan的单调增区间是 (

)

【解析】选B.令-+kπ<<+kπ,k∈Z,所以-+kπ<+kπ,k∈Z,所以-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z,故增区间为,k∈Z.2.-tan与tan的大小关系是________.

【解析】-tan=-tan,tan=-tan=-tan.因为0<<π,所以tan>0,tan<0,所以-tan<-tan,即-tan<tan.答案:-tan<tan【加练·固】比较tan与tan的大小.【解析】由于tan=tan=tan=-tan,tan=-tan=-tan,又0<<<,而y=tanx在上单调递增,所以tan<tan,-tan>-tan,即tan>tan.类型三正切函数性质、图像的应用【典例】1.下列图形分别是①y=|tanx|;②y=tanx;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈内的大致图像,那么由a到d对应的函数关系式应是 (

)A.①②③④ B.①③④②C.③②④①D.①②④③2.函数y=tan,x∈的值域是________.

3.已知-≤x≤,f(x)=tan2x+2tanx+2,求f(x)的最值及相应的x值. 世纪金榜导学号【思维·引】1.分区间确定单调性,从而判断图像.2.求出的范围,利用正切函数的图像求值域.3.将函数看作关于正切的一元二次函数,配方求最值.【解析】1.选D.y=tan(-x)=-tanx在上是减函数,只有图像d符合,即d对应③.2.由x∈,所以结合正切函数的性质可得1<y≤.答案:(1,]3.令t=tanx,因为-≤x≤,所以-≤tanx≤1,所以t∈,y=t2+2t+2=(t+1)2+1,当t=-1即x=-时,f(x)有最小值1,当t=1即x=时,f(x)有最大值5.【内化·悟】求函数y=tan在定区间上的值域时,利用了哪种数学方法?提示:将ωx+φ看作整体,整体思想.【类题·通】求与正切函数相关的值域的方法(1)对于y=tanx在不同区间上的值域,可以结合图像,利用单调性求值域.(2)对于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图像,利用单调性求值域.(3)对于与y=tanx相关的二次函数,可以把tanx看成整体,利用配方法求值域.【习练·破】1.已知函数f(x)=tan(x+φ),|φ|<的图像的一个对称中心为则φ的值为________.

【解析】因为函数的图像的一个对称中心为,所以+φ=,k∈Z,则φ=-+,k∈Z.又|φ|<,取k=0,得φ=-;取k=1,得φ=,所以φ的值为-或.答案:-或

2.方程-tanx=0在