电大《高等数学基础》形成性考核册答案

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高等数学基础作业1第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题1.下列各函数中，哪两个函数相等？（C）A.f(x)=x^2，g(x)=xB.f(x)=x^2，g(x)=-xC.f(x)=ln(x^3)，g(x)=3ln(x)D.f(x)=x+1，g(x)=(x^2-1)/(x-1)分析：判断函数相等的两个条件：（1）对应法则相同，（2）定义域相同。A.f(x)=x^2=x，定义域为{x|x≥0}；g(x)=x，定义域为R，定义域不同，所以函数不相等；B.f(x)=x^2≠-x，对应法则不同，所以函数不相等；C.f(x)=ln(x^3)=3ln(x)，定义域为{x|x>0}，g(x)=3ln(x)，定义域为{x|x>0}，所以两个函数相等；D.f(x)=x+1，定义域为R；g(x)=(x^2-1)/(x-1)=x+1，定义域为{x|x∈R,x≠1}，定义域不同，所以两个函数不等。所以选C。2.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于哪条直线对称？（D）A.坐标原点；B.第一象限的x轴；C.y轴；D.第一象限的y=x直线。分析：六种基本初等函数：（1）y=c（常值）——常值函数；（2）y=x^α，α为常数——幂函数；（3）y=ax^α（a>0,a≠1）——指数函数；（4）y=loga(x)——对数函数；（5）y=sin(x)，y=cos(x)，y=tan(x)，y=cot(x)——三角函数；（6）y=arcsin(x)，y=arccos(x)，y=arctan(x)——反三角函数。奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称。设g(x)=f(x)+f(-x)，则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)，即g(x)为偶函数，即图形关于y轴对称。又因为y=x与y轴垂直，所以图形关于y=x对称。所以选D。3.下列函数中为奇函数的是（B）。A.y=ln(1+x^2)B.y=xcos(x)C.y=arcsinx，[-1,1]D.y=arccosx小结改写：1.在第一题中，要判断函数相等，需要满足两个条件：对应法则相同，定义域相同。因此，可以通过对比函数的对应法则和定义域，来判断哪两个函数相等。2.在第二题中，要求出函数f(x)+f(-x)的图形关于哪条直线对称，需要先求出函数的奇偶性。奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称。因此，可以通过函数的定义域关于原点的对称性，来判断函数的奇偶性，进而确定图形的对称轴。3.在第三题中，要求出哪个函数是奇函数，需要知道奇函数的定义：f(-x)=-f(x)。因此，可以通过将函数的自变量换成相反数，并将结果与原函数相比较，来判断函数是否为奇函数。剔除格式错误，删除有问题的段落，改写每段话：给定函数$y=\arctanx,y=\operatorname{arccot}x,y=\ln(1+x)$，分析以下说法：A.函数$y(-x)=\ln(1+x^2)$为偶函数，不是基本初等函数，故选项D不对。B.对比可知函数$y(-x)=-x\cos(-x)=-x\cosx$为奇函数，故选项C正确。C.计算极限可得$\lim\limits_{x\to\infty}\ln(1+x)=\ln1=0$，故选项B正确。D.计算极限可得$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sinx}{x}=0$，$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x}{\sinx}=1$，故选项A正确。当$x\to0$时，变量$x\sin\dfrac{1}{x}$是无穷小量，故选项C正确。求满足条件的集合的交集，即满足条件的公共部分。若函数$f(x)$在点$x$的某个邻域内满足条件（A），则$f(x)$在点$x$处连续。满足条件的函数为$f(x)=\dfrac{(x-9)^2}{x-3}+\ln(1+x)$。A.limf(x)=f(x)当x趋近于x时，f(x)等于f(x)，即f(x)在x处连续。B.函数f(x)在点x的某个邻域内有定义，当且仅当x-9大于等于0，即x大于等于9。且x-3不等于0，即x不等于3。C.limf(x)=f(x+1)/(1+x)当x趋近于x+1时，f(x)等于f(x+1)/(1+x)。D.x不等于3时，limf(x)=x；当x趋近于3时，f(x)等于左右极限的平均值。求x不等于3时的交集。解析：A.修正了函数定义的格式错误，简洁明了地说明了函数在x处连续的定义。B.删除了明显有问题的段落，简洁明了地说明了函数f(x)在点x的定义域。C.修正了函数定义的格式错误，简洁明了地说明了函数f(x)在x+1处的极限。D.简洁明了地说明了函数在x=3处的左右极限，求出了x不等于3时的交集。1.$f(x)=\frac{\sinx}{1+x^2}$，求$\lim\limits_{x\to1}f(x)$。解：将$x=1$代入$f(x)$得到$\frac{\sin1}{2}$，所以$f(x)$在$x=1$处连续。2.求$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x-1}{x+3}$。解：将$x$趋于无穷，分子和分母的次数都是$x$的最高次数，所以可以用最高次项的系数相除得到$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x-1}{x+3}=1$。3.设函数$f(x)=\begin{cases}(x-2)^2,&x>1\\x,&-1\leqx\leq1\\\frac{1}{x+4},&x<-1\end{cases}$，讨论$f(x)$的连续性，并写出其连续区间。解：对于$x=1$，$f(x)$的左极限为$1$，右极限为$0$，不相等，所以$f(x)$在$x=1$处不连续。对于$x=-1$，$f(x)$的左极限为$-1$，右极限为$\frac{1}{3}$，不相等，所以$f(x)$在$x=-1$处不连续。因此，$f(x)$的连续区间为$(-\infty,-1)\cup[-1,1]\cup(1,\infty)$。4.设$f(x)=\frac{2x}{x^2-6x+8}$，求$\lim\limits_{x\to4}f(x)$。解：将$x=4$代入$f(x)$得到$\frac{1}{2}$，所以$f(x)$在$x=4$处连续。5.设$f(x)=\lnx$，求$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(\ln(1+h))-f(1)}{h}$。解：将$f(x)$代入式子得到$\lim\limits_{h\to0}\frac{\ln(1+\ln(1+h))-\ln1}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\ln(1+\ln(1+h))}{h}$。令$t=\ln(1+h)$，则式子变为$\lim\limits_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{e^t-1}$。由洛必达法则可得，该极限等于$\lim\limits_{t\to0}\frac{1}{e^t}=1$。6.设$f(x)=\begin{cases}(x-2)^2,&x\geq1\\x^2,&x<1\end{cases}$，求$f(x)$的导数。解：当$x\geq1$时，$f(x)=(x-2)^2$，所以$f'(x)=2(x-2)$。当$x<1$时，$f(x)=x^2$，所以$f'(x)=2x$。因此，$f'(x)=\begin{cases}2(x-2),&x\geq1\\2x,&x<1\end{cases}$。没有明显的格式错误和有问题的段落。2.改写每段话：(A)即$f(x)$在$x=-1$处不连续。设$y=x-1+x^{-1}-4$。(A)可改写为：$f(x)$在$x=-1$处不连续。设$y=x-1+x^{-1}-4$。设$y=x\lnx$。求$y$的二阶导数$y''$。(B)可改写为：设$y=x\lnx$，求$y$的二阶导数$y''$。设$y=2e^{2x}$。(C)可改写为：设$y=2e^{2x}$。求$y$的导数$y'$，其中$y=\frac{1}{5}\sinx^2$。(D)可改写为：求$\frac{1}{5}\sinx^2$的导数$y'$。求下列函数的导数$y'$：⑴$y=2x\ln5\cos\frac{x}{5}$。⑵$y=\cotx+x\lnx$。⑶$y=e^{\sin2x}$。⑷$y=3x+x^3$。⑸$y=x^8$。(E)可改写为：求下列函数的导数$y'$：⑴$y=2x\ln5\cos\frac{x}{5}$，⑵$y=\cotx+x\lnx$，⑶$y=e^{\sin2x}$，⑷$y=3x+x^3$，⑸$y=x^8$。在下列方程中，$y=y(x)$是由方程确定的函数，求$y'$：⑴$y\cosx=e^{2y}$。⑵$y=\cosy\lnx$。⑶$y=e^{\tanx}+\lnx$。(F)可改写为：在下列方程中，$y=y(x)$是由方程确定的函数，求$y'$：⑴$y\cosx=e^{2y}$，⑵$y=\cosy\lnx$，⑶$y=e^{\tanx}+\lnx$。1.若函数f(x)满足条件（D），则存在$x\in(a,b)$，使得$f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。2.设$f(x)$在$(a,b)$内有连续的二阶导数，且$f'(x)<0,f''(x)<0$，则$f(x)$在此区间内是单调减少且是凸的，极大值为$f(2)=27$，极小值为$f(5)$。3.求函数$f(b)-f(a)$，其中$f'(x)=x^2-2x+3$在区间$[,-3]$内的极值点，并求最大值和最小值。答案为$f(b)-f(a)=\frac{1}{3}(b-a)(b^2-2a^2+ab-6b+6a+9)$，极值点为$x=1$，最大值为$f(3)$，最小值为$f(-3)$。4.设$f(x)$在$(a,b)$内可导，$x\in(a,b)$，且当$x<x_0$时$f'(x)<0$，当$x>x_0$时$f'(x)>0$，则$x_0$是$f(x)$的极小值点。5.函数$f(x)=x+4x-1$的单调增加区间是$(-\infty,+\infty)$。6.函数$f(x)$满足$f'(x)=2x-2$，则最小值为$f(1)=2$。7.函数$y=\ln(1+x)$的单调减少区间是$(-\infty,-1)$。8.函数$f(x)=e^x$的单调增加区间是$(-\infty,+\infty)$。9.若函数$f(x)$在$[a,b]$内恒有$f'(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上的最大值是$f(a)$。10.求函数$y=(x+1)(x-5)^2$的单调区间和极小值点。答案为单调区间为$(-\infty,-1)\cup(5,+\infty)$，极小值点为$x=5$。求曲线$y=2x$上的$B$点，使其到点$A(2,0)$的距离最短。解：设点$B(x,y)$，$d$为$B$到$A$点的距离，则：$$d=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$$为使$d$最小，令$d$对$x$求导数为0，即：$$\frac{dd}{dx}=\frac{2(x-2)+2y\cdoty'}{2\sqrt{(x-2)^2+y^2}}=0$$化简得：$$y'=-\frac{x-2}{y}$$又因为$y=2x$，所以：$$y'=-\frac{x-2}{2x}$$对$y'$再求导数，得：$$y''=\frac{2x+(x-2)}{4x^2}=\frac{3x-2}{4x^2}$$当$x=2$时，$y'=0$，此时为驻点；当$x=5$时，$y''<0$，此时为极大值点。因此，$B$点为$(5,10)$。若$f(x)=\cosx$，则$\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx=$（B）。解：$\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx=\left.\sinx\right|_0^{\frac{\pi}{2}}=1$。下列等式成立的是（D）。解：$62.5=x^2h$，$h=\frac{125}{x^2}$，代入等式得：$$\frac{1}{2}x^2h+\frac{4}{3}xh=\frac{1}{2}x^2\cdot\frac{125}{x^2}+\frac{4}{3}x\cdot\frac{125}{x^2}=\frac{625}{2x}+\frac{500}{3x}=\frac{3375}{6x}$$因此，选项D成立。一体积为$V$的圆柱体，底半径为$R$，高为$h$。问底半径与高各为多少时表面积最小？解：圆柱体的表面积为$S=2\piR^2+2\piRh$，由已知条件可得$V=\piR^2h$，解得$h=\frac{V}{\pi