初三二次函数与几何图形面积(有答案)

初三二次函数与几何图形面积(有答案)

二次函数与几何图形面积在动点变化过程中，会产生的几何图形的形状发生改变，由此可引出求该图形的面积，建立面积与动点坐标，或动点的运动时间的函数关系。面积的求法主要有两种：直接求面积和割补法求面积。无论哪种求法，都需要用参数表示线段的长度。例题精讲【例1】如图，抛物线$y=mx^2+3mx-3(m>0)$与$y$轴交于点C，与$x$轴交于$A$、$B$两点，点$A$在点$B$的左侧，且$\tan\angleOCB=\frac{1}{3}$。⑴求此抛物线的解析式；⑵如果点$D$是线段$AC$下方抛物线上的动点，设$D$点的横坐标为$x$，$\DeltaACD$的面积为$S$，求$S$与$x$的关系式，并求当$S$最大时，点$D$的坐标；【答案】⑴$y=mx^2+3mx-3$⑵方法一：如图，连接$OD$，可求$A(-4,3)$。设点$D(x,x^2+x-3)$，则$S_{\DeltaACD}=S_{\DeltaAOD}+S_{\DeltaDOC}-S_{\DeltaAOC}$。$S_{\DeltaOAD}=\frac{1}{2}\times4\times(-x^2-x+3)=-2x^2-2x+6$；$S_{\DeltaOCD}=\frac{1}{2}\times3\times(-x)=-\frac{3}{2}x$；$S_{\DeltaAOC}=\frac{1}{2}\times4\times3=6$。$\thereforeS=-2x^2-\frac{1}{2}x+6$，当$x=-2$时，$S$取得最大值为$6$。方法二：过点$D$作$DN\perpx$轴于点$N$，交$AC$于点$M$。转化：$S_{\DeltaACD}=S_{\DeltaAMD}+S_{\DeltaDMC}$，下略。【注意】本题由综合题改编而来，去掉了平行四边形的存在性问题，就“三角形的面积与动点之间的关系”。初中数学.中考冲刺.第12讲.教师版Page1of12的问题，本题具有一定的代表性，给出的两种解法，都是采用的割补法，如果学生程度不怎么好，建议只讲第二种方法。转化的目的：构造水平和竖直方向上的底和高，使求解更方便，更简单。【例2】已知：如图，抛物线$y=-x^2+3$与$x$轴交于点$A$、点$B$，与直线$y=-x+b$相交于点$B$、点$C$，直线$y=-x+b$与$y$轴交于点$E$。⑴求直线$BC$的解析式。⑵若点$M$在线段$AB$上以每秒$1$个单位长度的速度从$A$向$B$运动（不与$A$，$B$重合），同时，点$N$在射线$BC$上以每秒$2$个单位长度的速度从$B$向$C$运动。设运动时间为$t$秒，请写出$\DeltaMNB$的面积$S$与$t$的函数关系式，并求出点$M$运动多少时间时，$\DeltaMNB$的面积最大，最大面积是多少？【答案】⑴$y=-x+\frac{4}{2}$⑵如图，连接$OM$，$ON$。$S_{\DeltaMNB}=\frac{1}{2}\timesMN\timesNB=\frac{1}{2}\times(1t)\times(2t+4)$$\thereforeS=t(2t+4)$，$S'=(4t+4)$，令$S'=0$，得$t=1$。$\becauseS''=4>0$，$\thereforet=1$时，$\DeltaMNB$的面积最大，最大面积为$6$。过点N作NP⊥MB于点P，因为EO⊥MB，所以NP∥EO，根据相似三角形BNP∽BEO，所以BN/BE=NP/EO，即2/t=NP/(4-t)，解得NP=t/3。由直线y=-x+3可得E(-2,4)，所以BE=√(2^2+4^2)=2√5。在△BEO中，OB=2，EO=t/3，所以NP=2t/3√5。设△MNB的底为x，则其高为S/x，根据勾股定理得MB=√(2^2+(4-t)^2)=2√(t^2-4t+20)，所以S=1/2*x*(2√(t^2-4t+20)+2)，化简得S=-t^2+t/(3√5-2)。因为抛物线开口向下，所以当t=2时，S最大。代入得S=4/3√5。所以当点M运动2秒时，△MNB的面积最大，最大面积是4/3√5。注：文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，只需小幅度改写每段话，使其更加通顺易懂即可。题目描述：在平面直角坐标系内，给定四边形OABC，其中OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-(1/x)+b交折线OAB于点E。求：⑴记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；⑵当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。解题思路：1.首先画出图形，根据题目，点B的坐标为(3,1)，因为OABC是矩形，所以点O的坐标为(0,0)，点C的坐标为(0,1)。2.根据题目，点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-(1/x)+b交折线OAB于点E。因此，我们可以列出方程组：y=-(1/x)+by=(x-3)/2通过解方程组，得到交点E的坐标为(2b,6/(2b)-3)。3.计算△ODE的面积S，S=1/2*OD*OE*sin(∠DOE)，其中OD=1，OE=√((2b-3)^2+(6/(2b)-3)^2)，sin(∠DOE)=|y1-y2|/OE，y1=-(1/x)+b，y2=6/(2b)-3。4.将S与b列出函数关系式，化简得S=-3/2b^2+9b-9/(2√(4b^2-12b+9))。5.当点E在线段OA上时，我们可以通过计算四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化来判断。当点E在线段OA上时，直线DE的斜率为-1/3，因此直线DE的方程为y=-1/3x+1。根据对称性，我们可以得到四边形O1A1B1C1的坐标为O1(0,0)，A1(3,0)，B1(3,1)，C1(0,1)。因此，我们只需要判断直线y=-1/3x+1是否经过四边形OABC，如果经过，则重叠部分的面积不变，否则发生变化。6.判断直线y=-1/3x+1是否经过四边形OABC，可以通过判断直线与四边形的交点个数来实现。直线y=-1/3x+1与线段OA的交点为(3,0)，与线段BC的交点为(0,1)，因此直线y=-1/3x+1与四边形OABC的交点个数为2个，即直线y=-1/3x+1经过四边形OABC。因此，重叠部分的面积不变，为2/3。7.最终的答案为：当t=3/2时，△OPQ的面积最大，最大面积为45；当点E在线段OA上时，四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积不变，为2/3。【例7】在直角三角形$ABC$中，$AC=3$，$BC=4$，$CD$是斜边$AB$上的高，点$E$在斜边$AB$上，过点$E$作直线与直角边$BC$相交于点$F$，设$AE=x$，$\triangleAEF$的面积为$y$。⑴求线段$AD$的长；⑵若$EF\perpAB$，当点$E$在斜边$AB$上移动时，①求$y$与$x$的函数关系式（写出自变量$x$的取值范围）；②当$x$取何值时，$y$有最大值？并求其最大值；⑶若点$F$在直角边$AC$上（点$F$与$A$、$C$两点均不重合），点$E$在斜边$AB$上移动，试问：是否存在直线$EF$将$\triangleABC$的周长和面积同时平分？若存在直线$EF$，求出$x$的值；若不存在直线$EF$，请说明理由。⑴在直角三角形$ABC$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。又$\angleADC=\angleACB=90^\circ$，$\angleA=\angleA$，$\therefore\triangleACD\sim\triangleABC$。故$AD/AC=AC/AB$，即$AD=AC^2/AB=3^2/5=9/5$。⑵如图，设$\triangleAEF$的高为$h$，则$\triangleAEF$的面积为$y=AE\cdoth/2=xh/2$。由$\triangleAEF\sim\triangleABC$，可得$EF/BC=AE/AB=x/5$。又因为$EF\perpAB$，所以$EF$是$AB$上的高，故$h=EF$。由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2=25$，所以$EF=AE\cdotBC/AB=x\cdot4/5=4x/5$。因此，$y=xh/2=2x^2/5$，$x$的取值范围为$0<x<3$。由$y=2x^2/5$可得$y$关于$x$是一个开口向上的抛物线。当$x=3/2$时，$y$有最大值，此时$y=9/2$。⑶若点$F$在直角边$AC$上（点$F$与$A$、$C$两点均不重合），则$EF$是$AB$上的中线，故$AE=EB$。设$AE=EB=x$，则$AB=2x$。又因为$\triangleAEF\sim\triangleABC$，所以$EF/BC=AE/AB=x/(2x)=1/2$，即$EF=BC/2=2$。由勾股定理得$AC=3$，$AB=2x$，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4x^2-9}$。故$\triangleABC$的周长为$3+2x+\sqrt{4x^2-9}$，面积为$3x/2$。若存在直线$EF$将$\triangleABC$的周长和面积同时平分，则$\triangleAEF$的周长和面积也应该被这条直线平分。由于$\triangleAEF$的周长为$AE+EF+AF=2x+2=2(x+1)$，面积为$2x^2/5$，所以$\triangleAEF$的周长和面积不可能被一条直线同时平分。因此，不存在这样的直线$EF$。解析：⑴根据已知条件可得：当x=0时，y=c=4；当x=4时，y=a(4)2-2a(4)+c=0，即16a-8a+c=0，化简得c=4a。代入y=ax2-2ax+c中，得y=ax2-2ax+4a=a(x-1)2+3a，再将a=-1/4代入，得y=-1/4(x-1)2+3。所以该抛物线的解析式为y=-1/4(x-1)2+3。⑵设Q点坐标为(m，0)，则可得点E的坐标为(m，-m2/4+3m)，CQ的斜率为(k)=(-m2/4+3m-4)/(m-0)=(-m2+12m-16)/(4m)。由于QE∥AC，所以QE的斜率为(-1/k)=(-4m)/(m2-12m+16)，根据相似三角形的性质，可得CE：CB=QE：QA=CE：(CE+EA)，即(m-(-m2/4+3m))：(4-m)=(4-m)：(4+m)，解得m=2或m=3。当m=2时，Q点坐标为(2，0)；当m=3时，Q点坐标为(3，0)。所以当CQE的面积最大时，点Q的坐标为(2，0)或(3，0)。在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点O，点A(10，0)和点B(2，2)，在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动。过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）。⑴求这条抛物线的函数表达式。解：由已知可知，抛物线关于y轴对称，所以其函数表达式为y=ax^2。将点O(0,0)代入得a=0，所以函数表达式为y=0。⑵设正方形QCDE的面积为S，P点坐标(m，0)，求S与m之间的函数关系式。解：连接AQ和OP，设AQ=2OP=k，则AP=10-k。由于AQ=2OP，所以PQ=OP=k/3，AQ=2PQ=2k/3。又因为P、Q重合时同时停止运动，所以AP=2PQ=k/3，解得k=3。所以AP=1，AQ=2，即P(1,0)，Q(9,0)。由于正方形QCDE随点Q运动，所以C(9,3)，D(6,0)，E(3,3)，Q(9,0)。所以正方形QCDE的面积为S=9^2/2=81/2，即S=40.5。⑶过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点(2，0)时，如图2，正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上。解：过点P作x轴的垂线交抛物线于点N，设N(x,y)，则由抛物线的性质可知x=2m-2，y=4m-4m^2。连接PN、PG，设PG为直线y=kx，交抛物线于点F和H。由于正方形PFGH随点P运动，所以F、H分别在y=kx上，且在直线PN的两侧。由于正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上，所以直线PN经过直线AB的中点，即点M(6,1)。所以PN的方程为y=-x/2+3。又因为NG=PN，所以G(2m-2,4m-4m^2-1/2)。以G为顶点，PG为对角线作正方形P'G'F'H'，P'、F'、H'分别在直线PN两侧。设F'、H'分别在直线y=kx上的坐标为(x1,kx1)、(x2,kx2)，则由正方形的性质可知P'的坐标为((x1+x2)/2,(kx1+kx2)/2)。由于P'、F'、H'在直线PN两侧，所