简单几何体的直观图和三视图课件

第三十七讲简单几何体的直观图和三视图教材知识整合回归教材1.用斜二测画法画空间几何体直观图的步骤①取互相垂直的Ox､Oy轴,再取Oz轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°;②画O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°;③画底面:平行于x轴的线段在直观图中长度不变,平行于y轴的线段在直观图中长度减半;④画侧棱(或高):平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变;⑤成图:顺次连接各个线段的端点,构成直观图(注意实线与虚线).注:(1)空间几何体的直观图是在平面上表示空间几何体,不是空间几何体的真实形状.(2)画直观图的基础是在水平面上画平面图形的直观图,关键是确定各顶点(或其他具有代表性的点)的位置.

(3)运用斜二测画法时,如果是对称图形,一般选取图形的对称轴为轴,如果不是对称图形,一般选取图形中的一条水平线段所在的直线为x轴,选取这条线段外的一个顶点向x轴所作的垂线为y轴;如果图形中没有水平线段,可过图形中某一适当的顶点作一水平直线为x轴,选取另一适当的顶点向x轴所作的垂线为y轴.2.三视图(1)三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体,画出的平面图形.①主视图:从物体前面向后面正投影得到的投影图,它反映了空间几何体的高度和长度.②左视图:从物体左面向右面正投影得到的投影图,它反映了空间几何体的高度和宽度.③俯视图:从物体上面向下面正投影得到的投影图,它反映了空间几何体的长度和宽度.

(2)绘制三视图时要注意:①首先确定主视､俯视､左视的方向,同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同.②简单组合体是由哪几个基本几何体组成的,并注意它们的组成方式,特别是它们交线的位置.③主､俯视图长对正;主､左视图高平齐;俯､左视图宽相等,前后对应.④在绘制三视图时,表面的交线与可见轮廓线都用实线画出,不可见边界的轮廓线,用虚线画出.基础自测1.用若干个大小相同,棱长为1的正方体摆成一个立体模型,其三视图如下:此立体模型共有正方体个数为()A.4B.5C.6D.7解析:依三视图,可知正方体模型的直观图如图.所以共有5个正方体.故选B.答案:B2.(2009·上海)如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是()解析:由坐标系中的几何体可知其长为3,高为4,主视图体现几何体的长与高,即三棱锥的主视图如选项B所示.答案:B3.已知某一几何体的主视图与左视图如图,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有()A.①②③⑤B.②③④⑤C.①②④⑤D.①②③④答案:D4.(2009·宁夏､海南高考)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为()解析:立体图形为如图所示的三棱锥.AO⊥底面BCD,O点为BD的中点,BC=CD=6cm,BC⊥CD,AO=4cm,AB=AD.答案:A5.如图所示,在正方体ABCD—A′B′C′D′中,E,F分别是A′A,C′C的中点,则下列判断正确的是________.(填序号)①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形;②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形;③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形.解析:①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B,C,D,A,故投影是正方形,正确;②设正方体的棱长为2,AE=1,取D′D的中点G,连接AG,则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E,由AE∥D′G,且AE=D′G,知四边形AGD′E是平行四边形,但AE=1,D′E=故四边形AGD′E不是菱形.对于③,由②可知两个投影四边形是对边分别相等的平行四边形,从而③正确.故填①③.答案:①③重点难点突破题型一三视图的画法【例1】(2009·广东节选)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图a所示.墩的上半部分是正四棱锥P—EFGH,下半部分是长方体ABCD—EFGH.图b､图c分别是该标识墩的主视图和俯视图.(1)请画出该安全标识墩的左视图;(2)求该安全标识墩的体积.[解](1)左视图同主视图,如下图所示.(2)该安全标识墩的体积为V=VP—EFGH+VABCD—EFGH=×402×60+402×20=32000+32000=64000(cm3).[点评]解决这类问题要注意主视图表示的是几何体的高度与长度,左视图表示的是高度与宽度,运用时分清所给量的关系.

变式1:(2010·北京文数)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为()答案:C题型二三视图还原成实物图【例2】(2010·天津理数)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为________.

[解析]本题主要考查三视图的概念与柱体､锥体体积的计算,属于容易题.由三视图可知,该几何体为一个底面边长为1,高为2的正四棱柱与一个底面边长为2,高为1的正四棱锥组成的组合体,因为正四棱柱的体积为2,正四棱锥的体积为所以该几何体的体积V=2+

[点评]这类问题要抓住三视图的特征,根据主视图､左视图､俯视图反映几何体的不同方位进行想象.变式2:已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,主视图和左视图都是矩形,俯视图为正方形,在该几何体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何图形的4个顶点,这些几何图形是()①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体④每个面都是等腰三角形的四面体⑤每个面都是直角三角形的四面体A.①③④⑤ B.②③④⑤C.④⑤ D.③④⑤解析:该几何体是一个正四棱柱,如图所示,当选择A､B､C､D四个顶点时,得到几何图形是矩形.当选择B1､A､B､C四个顶点时,有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体.当选择D1､A､B1､C四个顶点时,是每个面都是等腰三角形的四面体.当选择C1､A､B､C四个顶点时,是每个面都是直角三角形的四面体.故选A.答案:A题型三直观图与三视图的综合应用【例3】(2010·江苏高考题改编)已知四棱锥P—ABCD的三视图如图所示,E､F分别是PB,PC的中点.(1)画出四棱锥P—ABCD的直观图.(2)证明EF∥平面PAD.(3)求三棱锥E—ABC的体积V.

[解](1)由三视图可知,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AD=2,AB=直观图为

(2)由E､F分别为PB,PC的中点,∴EF∥BC,又BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD⊂平面PAD,EF⊄平面PAD.∴EF∥平面PAD.(3)连接AE,AC,EC

[点评]解决这类问题要注意直观图与三视图分别能反应几何体的哪些特征,准确的掌握直观图与三视图的画法规则是解题的根本.变式3:如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的主视图和左视图在下面画出(单位:cm).

(1)在主视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积.解:(1)如图.解题方法拾遗【例4】一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,求这个平面图形的面积.[点评]一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化,注意原图与直观图中的“三变､三不变”.三变:坐标轴的夹角改变,与y轴平行线段的长度改变(减半),图形改变.三不变:平行性不变,与x轴平行的线段长度不变,相对位置不变.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图.其面积与原图形的面积有以下关系:考向精测1.已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的左视图可能为()答案:B2.如图,下列四个几何体中,它们的三视图(主视图､左视图､俯视图)有且仅有两个相同的是()①棱长为2的正方体

②底面直径和高均为2的圆柱③底面直径和高均为2的圆锥④长､宽､高分别为2､3､4的长方体A.①②B.①③C.②③D.①④答案:C教师备课资源答案:D2.用单位正方体搭成一个几何体,使它的主视图和俯视图如图所示,则符合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是________､__________.解析:最小值10,最大值16.答案:10163.一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积.(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼?试证明你的结论.解:(1)该几何体的直观图如左下图所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥