群共享13年0720 2位移计算虚功原理

第六章

静定结构的位移计算Displacement

of

Statically

Determinate

Structures§6.1

结构位移计算概述一、结构的位移(Displacement

of

Structures)AAD

A位移转角位移线位移D

A

-

A点线位移D

Ax

-A点水平位移D

Ay

-A点竖向位移b

-A截面转角PDAxAyDb§6.1

结构位移计算概述一、结构的位移(Displacement

of

Structures)AAAPDAxD

Ayb+

t

引起结构位移的原因还有什么原因荷会载使结构产温度生改位变移?支座移动

制造误差等为什么要计D

算位移?二、计算位移的目的(1)

刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；高层建筑的最大位移<1/1000

高度。最大层间位移<1/800

层高。铁路工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700

和1/900跨度(2)

超静定、动力和稳定计算(3）施工要求三、本章位移计算的假定叠加原理适用（principle

ofsuperposition)线弹性(Linear

Elastic),小变形(Small

Deformation),（3）理想联结(Ideal

Constraint)。四、计算方法单位荷载法(Dummy-Unit

Load

Method)§6.2

变形体虚功原理(Principle

of

Virtual

Work)一、功(Work)、实功(Real

Work)和虚功

(Virtual

Work)功：力对物体作用的累计效果的度量功=力×力作用点沿力方向上的位移实功：力在自身所产生的位移上所作的功PDW

=

PD21虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功W

=

PDt+

t

CP

DDt§6.2

变形体虚功原理(Principle

of

Virtual

Work)一、功(Work)、实功(Real

Work)和虚功

(Virtual

Work)P1D11D12P2D21D22P1P2D12力状态（虚力状态）位移状态（虚位移状态）注意：属同一体系；均为可能状态。即位移

应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。（3）位移状态与力状态完全无关；§6.2

变形体虚功原理(Principle

of

Virtual

Work)PDW

=

PD例:

1)作虚功的力系为一个集中力二、广义力(Generalized

force)、广义位移

(Generalized

displacement)一个力系作的总虚功W=P×DP---广义力;D

---广义位移2)作虚功的力系为一个集中力偶W

=

MqqMA

qqBMM3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶W

=

MqA

+

MqB

=

M

(qA

+qB

)

=

Mq4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力PPD

AD

B=

PDW

=

PD

A

+

PD

B=

P(D

A

+

D

B

)PD

1P2D（1）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：FP1N

2FFN1P

2F1m2m三、变形体的虚功原理Σfi

δri=0→.

→对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即（2）刚体系的虚位移原理对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。P去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：X

A

=

0BY

=

P

/

2YA=

P

/

2Δ2Δ3Δ/22223D

=

0D

+

P

2D

-

PP原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立δWe

=δWi（3）变形体的虚功原理任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi变形体虚功原理的证明:q(x

)微段外力分为两部分微段外力功分为两部分体系外力

相互作用力体系外力功dWe

相互作用力功dWn微段外力功dW=dWe+dWn所有微段的外力功之和:W=∫dWe+∫dWn

=∫dWe

=δWe2.利用平衡条件条件计算所有微段的外力虚功之和W微段外力功dW=dWg+dWi所有微段的外力功之和:W=∫dWi

=δWiaba

b1.利用变形连续性条件计算

所有微段的外力虚功之和W微段位移分为两部分微段外力功分为两部分刚体位移ab

fi

ab变形位移a

b

fi

a

b在刚体位移上的功dWg在变形位移上的功dWi故有δWe=δWi成立。aabbb变形体，当发生任意一个虚任何一个处于平衡状态的位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δ

恒δWiWe,于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和变形体虚功原理的证明:q(x

)1.微段外力分微微所有W=∫dWe+∫dWn

=∫dWe

=δWe利用变形连续性条件计算 2.利用平衡条件条件计算有微段的外力虚功之和

W

所有微段的外力虚功之和

W功dWiW=∫dWi

=δWiaba

b微段位移分体系外力

刚体位移

ab

fi

a

bb两部分

相互作用力

为两部分

变形位移a

b

fi

a段外力功

体系外力功dWe

微段外力功

在刚体位移上的为两部分

相互作用力功dWn

分为两部分

在变形位移上的段外力功

dW=

dWe+dWn

微段外力功dW=dWg+dWi微段的外力功之和:

所有微段的外力功之和:故有δWe=δWi成立。aabbb几个问题:等1.

虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是必要性命题。2.

原理的证明表明:原理适用于任何(线性和非线性)的所变形体，适用于任何结构。为3.

原理可有两种应用：实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，功dWg分将平衡问题化为几何问题来求解。实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解。δWi

的计算:微段外力:（4）变形体虚功方程的展开式MNM

+

dMN

+

dNqQ

ds

Q

+

dQ微段变形可看成由如下几部分组成:微段剪切dg

ds微段拉伸de

dsdq

ds微段弯曲对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:δWi

=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]dsδWe

=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds四、虚功原理的两种应用A

Ba(a)bX(b)P

PCDXDC(c)1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的平衡力状态之间。例.求A

端的支座反力(Reaction

at

Support)。直线待分析平衡的力状态

虚设协调的位移状态由外力虚功总和为零，即：

X

D

X

+

P

DC

=

0将

D

X

/

DC

=

a

/

b

代入得:

X

=

-bP

/

a通常取

DX

=

1

=

dx单位位移法(Unit-Displacement

Method)解：去掉A端约束并代以反力X，构造相应的虚位移状态.(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关,故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。

(4)用几何法来解静力平衡问题=

0

M

BD =

1x2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协调位移状态之间。解：首先构造出相应的虚设力状态点（C点）沿拟求位移方向（竖向AaCb例.求A

端支座发生竖向位移c

时引起C点的竖向位移D.ACDcB

AB1CB由

M

=

0求得：AY

=

-b

/

a1

D

+YA

c

=

0D

=

b c

/

aYA。即，在拟求位移之）设置单位荷载。oad

Method)出，故也称为Maxwell-Mohr

Method(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力P=1(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力这是单位荷载法(Dummy-Unit