高考数学二轮复习培优专题第14讲 等差数列的通项求和及性质7大题型 （含解析）

第14讲等差数列的通项求和及性质7大题型【考点分析】考点一：等差数列的基本概念及公式①等差数列的定义：SKIPIF1<0（或者SKIPIF1<0）SKIPIF1<0．②等差数列的通项公式：SKIPIF1<0，通项公式的推广：SKIPIF1<0③等差中项：若三个数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项，且有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．④等差数列的前SKIPIF1<0项和公式：SKIPIF1<0考点二：等差数列的性质①通项下标和性质：在等差数列SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0．特别地，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0．②等差数列通项的性质：SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，等差数列的通项为关于SKIPIF1<0的一次函数，即SKIPIF1<0．③等差数列前n项和的常用性质：SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，等差数列的前n项和为关于SKIPIF1<0的二次函数且没有常数项，即SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，开口向上，SKIPIF1<0有最小值；当SKIPIF1<0时，开口向下，SKIPIF1<0有最大值；【题型目录】题型一：等差数列通项求和公式运用题型二：等差中项及性质问题题型三：等差数列前SKIPIF1<0项和的性质题型四：等差数列前n项和的最值题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题题型六：等差数列新文化试题题型七：对于含绝对值的数列求和问题【典型例题】题型一：等差数列通项求和公式运用【例1】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．671 B．672 C．673 D．674【答案】D【分析】分析得到数列SKIPIF1<0是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴数列SKIPIF1<0是以1为首项，3为公差的等差数列，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D.【例2】（2022·全国·高三专题练习）数列{an}满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前n项和，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据递推公式得到数列SKIPIF1<0是等差数列，进而求出公差和通项公式，求出SKIPIF1<0，得到答案.【详解】数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是等差数列，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B【例3】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，SKIPIF1<0是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中SKIPIF1<0是举，SKIPIF1<0是相等的步，相邻桁的举步之比分别为SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0成公差为0.1的等差数列，且直线SKIPIF1<0的斜率为0.725，则SKIPIF1<0（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，依题意，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：D【例4】（2022·北京石景山·高二期末）等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0有最小值，SKIPIF1<0有最小值 B．SKIPIF1<0有最大值，SKIPIF1<0有最大值C．SKIPIF1<0有最小值，SKIPIF1<0有最大值 D．SKIPIF1<0有最大值，SKIPIF1<0有最小值【答案】C【详解】依题意SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0最小，无最大值.SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…当SKIPIF1<0时：SKIPIF1<0，且为递减数列，故SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，没有最小值.故选：C【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知数列SKIPIF1<0均为等差数列，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0构成一个等差数列，求得公差，即可求得SKIPIF1<0的值.【详解】由题意，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0构成一个等差数列，所以由已给出的SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：B【例6】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．18 B．16 C．14 D．12【答案】C【分析】设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，依题意得到方程组，解得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，从而得解.【详解】解：设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，依题意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故选：C.【例7】（2021·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则m等于（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【详解】SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：D．【题型专练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，则SKIPIF1<0（

）A．115 B．110 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：D．2．（2022全国高二专题练习）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）求数列SKIPIF1<0的首项､公差；（2）设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求正整数m的值.【答案】（1）数列SKIPIF1<0的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3；（2）6.【分析】（1）根据条件，列出两个关于首项和公差的方程，然后解方程即可；（2）由（1）求出数列SKIPIF1<0的通项，然后再求出SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0.【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，前n项和为SKIPIF1<0，由已知可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3.（2）由（1）可知SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不满足题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因为m为正整数，所以m=6.3．（2022·山西吕梁·高二期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板．【答案】1458【详解】设第SKIPIF1<0圈的石板为SKIPIF1<0，由条件可知数列SKIPIF1<0是等差数列，且上层的第一圈为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，上层的石板数为SKIPIF1<0，下层的石板数为SKIPIF1<0.所以下层比上层多SKIPIF1<0块石板.故答案为：14584．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的SKIPIF1<0条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为SKIPIF1<0，最长弦长为SKIPIF1<0，且公差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【分析】由过圆内一点的最长弦和最短弦的求法可求得SKIPIF1<0，结合等差数列通项公式可求得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0的范围可求得所有SKIPIF1<0可能的取值.【详解】过点SKIPIF1<0的最长弦为圆SKIPIF1<0的直径，则SKIPIF1<0；过点SKIPIF1<0的最短弦是与最长弦垂直的弦，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值可能为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：AB.5．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列SKIPIF1<0为递增数列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的公差d的值为______．【答案】1【分析】根据等差数列的性质结合完全平方公式可得SKIPIF1<0，由此可求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用等差数列的通项公式即可求得答案．【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故答案为：1题型二：等差中项及性质问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项是4，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项是5，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项是（

）A．8 B．6 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】D【分析】利用等差中项的定义即求.【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项是SKIPIF1<0．故选：D.【例2】（2022·辽宁·高三开学考试）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（

）A．150 B．120 C．75 D．60【答案】D【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.【详解】由等差数列的性质可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D【例3】（2022·全国·高三专题练习（理））数列{an}满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个零点，则SKIPIF1<0的值为（

）A．4 B．－4 C．4040 D．－4040【答案】A【分析】由题设可得SKIPIF1<0+SKIPIF1<0＝8，根据已知条件易知{an}是等差数列，应用等差中项的性质求SKIPIF1<0.【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个零点，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是x2－8x＋3＝0的两个根，∴SKIPIF1<0+SKIPIF1<0＝8，又SKIPIF1<0，即数列{an}是等差数列，∴SKIPIF1<0+SKIPIF1<0＝SKIPIF1<08，故SKIPIF1<0＝4.故选：A.【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求项数SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，两式作和，结合等差数列下标和性质可求得SKIPIF1<0，代入等差数列求和公式可构造方程求得SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.【例5】（2022·河南焦作·一模（文））设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等差数列，前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由等差数列的性质可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由等差数列的前SKIPIF1<0项和公式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A【例6】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据题意和等差中项的性质可知数列SKIPIF1<0为等差数列，进而可得SKIPIF1<0，结合诱导公式计算即可.【详解】由题意知，SKIPIF1<0，由等差数列的等差中项，得数列SKIPIF1<0为等差数列，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【题型专练】1．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））已知一个等差数列SKIPIF1<0的前四项和为21，末四项和为67，前SKIPIF1<0项和为77，则项数SKIPIF1<0的值为___________.【答案】7【分析】先利用等差数列的性质结合已知条件可求出SKIPIF1<0的值，再利用等差数列的求和公式列方程可求出项数SKIPIF1<0的值.【详解】因为等差数列SKIPIF1<0的前四项和为21，末四项和为67，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为77，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：72.（2022·全国·高三专题练习）下列选项中，为“数列SKIPIF1<0是等差数列”的一个充分不必要条件的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据等差数列的中项性质以及通项公式，结合充分必要条件的概念逐项分析即可.【详解】对于A：数列SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0，∴A选项为“数列SKIPIF1<0是等差数列”的一个充要条件，故A错误；对于B：易知B选项为“数列SKIPIF1<0是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；对于C：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是等差数列，反之若SKIPIF1<0为等差数列，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0不一定为2，所以必要性不成立，∴C选项为“数列SKIPIF1<0是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；对于D：若数列SKIPIF1<0是等差数列，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0成立，反之当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，满足SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0不是等差数列，∴D选项为“数列SKIPIF1<0是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．故选：C．3．（2022·全国·高二单元测试）在等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】20【分析】根据等差中项的性质，化简整理解得等差数列其中两项，根据等差数列的求和公式，可得方程，解得答案.【详解】SKIPIF1<0在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：20.4.（2022·浙江宁波·高一期末）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】令函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是R上的单调递增的奇函数，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以等差数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.故选：C5．（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边SKIPIF1<0上任意一点，则SKIPIF1<0（

）A．2020 B．1020 C．1010 D．2【答案】C【详解】由题设知：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0.故选：C6．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两根，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得SKIPIF1<0的值，再结合等差中项的性质可求得结果.【详解】对于方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故选：B.题型三：等差数列前SKIPIF1<0项和的性质【例1】（2022·广东·金山中学高三阶段练习）等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）．A．27 B．45 C．18 D．36【答案】B【分析】根据等差数列前SKIPIF1<0项和的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，从而可列方程可求出结果.【详解】由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即6，15，SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B．【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前n项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【答案】C【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{SKIPIF1<0}是等差数列．∵a1＝﹣2018，SKIPIF1<0，∴数列{SKIPIF1<0}的公差dSKIPIF1<0，首项为﹣2018，∴SKIPIF1<02018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故选：C．【例3】（2022·全国·高二多选题）下列结论中正确的有（

）A．若SKIPIF1<0为等差数列，它的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0也是等差数列B．若SKIPIF1<0为等差数列，它的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也是等差数列C．若等差数列SKIPIF1<0的项数为SKIPIF1<0，它的偶数项和为SKIPIF1<0，奇数项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若等差数列SKIPIF1<0的项数为SKIPIF1<0，它的偶数项和为SKIPIF1<0，奇数项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】AD【分析】利用等差数列定义判断，利用等差数列片段和性质判断，利用奇偶项和的性质判断.【详解】对于A，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是等差数列，故正确；对于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列，故错误；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故错误；对于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正确；故选：AD.【例4】（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.【详解】两个等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A【例5】（2021·江苏·高二单元测试）已知两个等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n项和分别为Sn和Tn，且SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0为整数的正整数n的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据给定条件结合等差数列性质及前n项和公式，将SKIPIF1<0用n表示出即可作答.【详解】依题意，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，因此，要SKIPIF1<0为整数，当且仅当SKIPIF1<0是正整数，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是32的大于1的约数，又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，所以使得SKIPIF1<0为整数的正整数n的个数为5.故选：B【题型专练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．110 B．150C．210 D．280【答案】D【分析】根据在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列即可得解.【详解】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150，又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.故选：D.2.（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为其前SKIPIF1<0项和．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018【答案】A【分析】根据等差数列的性质可知，数列SKIPIF1<0也为等差数列，结合已知条件求出等差数列SKIPIF1<0的首项，即可得到SKIPIF1<0.【详解】因为SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0也为等差数列，设其公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A．3.（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据等差数列前SKIPIF1<0项和公式求解即可.【详解】由等差数列的性质可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<04.（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据等差数列的前SKIPIF1<0项的和的公式即可转化成SKIPIF1<0,进而求解.【详解】因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等差数列,故SKIPIF1<0故选:C5.（2021·全国·高二单元测试）已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为等差数列，其前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0若SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．-2 D．2【答案】C【解析】由已知结合等差数列性质可得，SKIPIF1<0，然后结合单调性可求SKIPIF1<0取得最大值，从而可求.【详解】因为数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为等差数列，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，故实数SKIPIF1<0的最大值为-2.故选：C6.（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0为整数的正整数SKIPIF1<0可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】首先利用等差数列前SKIPIF1<0项和公式，求出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的关系，进而可求出SKIPIF1<0，然后根据已知求解即可.【详解】由题意，可得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为等差数列，∴SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为整数，则只需SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：AC.【点睛】若等差数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.题型四：等差数列前n项和的最值【例1】（2022·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（文））记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取最大值时SKIPIF1<0的值为（

）A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【答案】B【分析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可解出SKIPIF1<0值为－2，从而可知数列SKIPIF1<0前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以SKIPIF1<0取得最大值时n的值可确定.【详解】解：设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0满足：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0的取值为11或12.【例2】（2022·四川乐山·高一期末）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，公差为d，SKIPIF1<0为其前n项和，若满足SKIPIF1<0，给出下列说法：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值．其中正确说法的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由题可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后结合条件及求和公式逐项分析即得.【详解】由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，故②正确；又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故①正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故④错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故③错误；所以正确说法的个数为2.故选：B．【例3】（2023·全国·高三专题练习）等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】由条件得到SKIPIF1<0，再由求和公式得SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0可求解.【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0或4时，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【例4】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和，若SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的最大的正整数n的值为__________．【答案】22【分析】由已知，可通过SKIPIF1<0得到，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再结合等差数列的性质可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后带入等差数列SKIPIF1<0的前n项和即可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而作出判断.【详解】由已知，SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以满足SKIPIF1<0的最大的正整数n的值为22.故答案为：22.【例5】（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）在等差数列SKIPIF1<0中，前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0中最大的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0最大值是SKIPIF1<0，从而判断结果．【详解】∵等差数列前n项和SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为递减数列，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最大值是SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0最大．故选：B．【题型专练】1.（2022·河北·石家庄二中高二期末多选题）等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则下列命题中为真命题的是（

）A．公差SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0是各项中最大的项 D．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中最大的值【答案】ABD【分析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，进而再等差数列的性质逐个判断即可【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且各项中最大的项为SKIPIF1<0，故A正确，C错误；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；因为SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0递减，所以SKIPIF1<0最大，故D正确；故选：ABD2．（2023·全国·高三专题练习）等差数列SKIPIF1<0的首项为正数，其前n项和为SKIPIF1<0.现有下列命题，其中是假命题的有（

）A．若SKIPIF1<0有最大值，则数列SKIPIF1<0的公差小于0B．若SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0的最大的n为18C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中SKIPIF1<0最大D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0中的最小项是第9项【答案】B【分析】由SKIPIF1<0有最大值可判断A；由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0可判断BC；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可判断D.【详解】对于选项A，∵SKIPIF1<0有最大值，∴等差数列SKIPIF1<0一定有负数项，∴等差数列SKIPIF1<0为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；对于选项B，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0的最大的n为17，故选项B错误；对于选项C，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0中SKIPIF1<0最大，故选项C正确；对于选项D，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0中的最小项是第9项，故选项D正确.故选：B.3．（2022·四川眉山·高一期末（理））设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取最小值时，n的值为（

）A．11或12 B．12 C．13 D．12或13【答案】D【分析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，根据题