吉林省长春市英华女子中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析

吉林省长春市英华女子中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.设A（1，1）、B（7，4），点C满足=2，则点C的坐标是（）A．（3，2） B．（3，5） C．（5，3） D．（8，5）参考答案：C【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的坐标运算性质即可得出．【解答】解：∵=2，∴=2，∴===（5，3），故选：C．3.对于函数f（x）=sin2x+sin2x（x∈R）有以下几种说法：（1）（，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；（2）函数f（x）的最小正周期是2π；（3）函数f（x）在上单调递增．（4）y=f（x）的一条对称轴：其中说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】函数f（x）=sin2x+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+，分析函数的对称性，周期性和单调性，可得结论．【解答】解：函数f（x）=sin2x+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+，当x=时，sin（2x﹣）=0，故（，）是函数f（x）的图象的一个对称中心，故（1）错误；函数f（x）的最小正周期是π，故（2）错误；由2x﹣∈，k∈Z得：x∈，k∈Z当k=0时，是函数f（x）的一个单调递增区间，故（3）正确．当时，sin（2x﹣）=1．故y=f（x）的一条对称轴，故（4）正确．故选：C4.函数的定义域为

A．（,1）

B．（,∞）

C．（1，+∞）

D．（,1）∪（1，+∞）参考答案：A5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+2Sn﹣1=n，则S2015的值为(

) A．2015 B．2013 C．1008 D．1007参考答案：C考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据an+2Sn﹣1=n得到递推关系an+1+an=1，n≥2，从而得到当n是奇数时，an=1，n是偶数时，an=0，即可得到结论．解答： 解：∵当n≥2时，an+2Sn﹣1=n，∴an+1+2Sn=n+1，两式相减得：an+1+2Sn﹣（an+2Sn﹣1）=n+1﹣n，即an+1+an=1，n≥2，当n=2时，a2+2a1=2，解得a2=2﹣2a1=0，满足an+1+an=1，则当n是奇数时，an=1，当n是偶数时，an=0，则S2015=1008，故选：C点评：本题主要考查数列和的计算，根据数列的递推关系求出数列项的特点是解决本题的关键．6.椭圆两个焦点分别是F1、F2圆上任意一点，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：C7.若把函数的图像向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是 （

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.设为数列的前项和，已知，若则A.

512

B.

16

C.

64

D.

256参考答案：D9.函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．2 B．4 C． D．参考答案：D【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得点A（﹣2，﹣1）；故﹣2m﹣n+2=0；从而得=+=++2+；利用基本不等式求解．【解答】解：由题意，点A（﹣2，﹣1）；故﹣2m﹣n+2=0；故2m+n=2；=+=++2+≥4+=；当且仅当m=n=时，等号成立；故选D．【点评】本题考查了函数的性质应用及基本不等式的应用，属于基础题．10.甲、乙、丙3人分配到7个实验室准备实验，若每个实验室最多分配2人，则不同分配方案共有()A．336

B．306

C．258

D．296参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种。(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同。)参考答案：230解：至少3种颜色：6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有(4－1)!=6种方法，共计30种方法；用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：C(4－1)!=30；6×30÷2=90种方法；．用4种颜色：CC=90种方法．用3种颜色：C=20种方法．∴共有230种方法．12.已知函数若方程有两个大于零的实数根,则实数的取值范围是

▲

.参考答案：13.（5分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB=5，直角边AC=4，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则⊙C的半径长为．参考答案：【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：推理和证明．【分析】：判断CD与AB垂直，通过三角形面积相等求解⊙C的半径长CD即可．解：在Rt△ABC中，斜边AB=5，直角边AC=4，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，所以BC=3，CD⊥AB，，可得CD=．故答案为：．【点评】：本题考查与圆有关的比例线段，三角形与圆的位置关系，考查推理与证明，基本知识的考查．14.若x，y满足，则的取值范围是．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．∴．∴的取值范围是．故答案为：．15.函数(且)的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为

▲

．参考答案：3+2

16.在实数集上定义运算

，并定义：若存在元素使得对，有，则称为上的零元，那么，实数集上的零元之值是

参考答案：；根据“零元”的定义，，故17.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线c的极坐标方程为，则直线l和曲线C的公共点有

个.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和满足，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和。参考答案：19.（本题满分14分）已知函数（1）求证函数在上单调递增；（2）函数有三个零点，求的值；（3）对恒成立，求的取值范围．参考答案：（1）

………1分

由于，故当时，，所以，………3分

故函数在上单调递增．………4分

（2）令，得到

………5分

的变化情况表如下：

0一0+极小值

………7分

因为函数

有三个零点，所以有三个根，

有因为当时，，所以，故……9分

（3）由（2）可知在区间上单调递减，在区间上单调递增．

所以

………10分

记，

增，，…12分

于是故对

，所以

………14分略20.在△ABC中，D是BC中点，已知∠BAD+∠C=90°．（1）判断△ABC的形状；（2）若△ADC的三边长是连续三个正整数，求∠BAC的余弦值．参考答案：【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）设∠BAD=α，∠DAC=β，则由α+C=90°，可得β+B=90°，△ABD中，由正弦定理得：=，=，结合BD=DC，可得sin2C=sin2B，结合范围B，C∈（0，π），即解得B=C或B+C=90°，从而得解．（2）当B+C=90°时，，与△ADC的三边长是连续三个正整数矛盾，可得∠B=∠C，在直角三角形ADC中，设两直角边分别为n，n﹣1，斜边为n+1，由勾股定理得n=4，由余弦定理或二倍角公式即可求得cos∠BAC的值．【解答】解：（1）设∠BAD=α，∠DAC=β，则由α+C=90°，∴β+B=90°，△ABD中，由正弦定理得：，即=，同理得：=，…（2分）∵BD=DC，∴，∴sinαsinC=sinβsinB，∵α+C=90°，β+B=90°，∴sinCcosC=sinBcosB，…（4分）即sin2C=sin2B，因为B，C∈（0，π）即B=C或B+C=90°

…（6分）∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．…（7分）（2）当B+C=90°时，，与△ADC的三边长是连续三个正整数矛盾，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．…（8分）在直角三角形ADC中，设两直角边分别为n，n﹣1，斜边为n+1，由（n+1）2=n2+（n﹣1）2得n=4，…（10分）由余弦定理或二倍角公式得cos∠BAC=或cos∠BAC=﹣（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.（本小题满分12分）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是棱AA1上一点，平面BC1D⊥平面BB1C1C，AB=AA1=2.（Ⅰ）求点A到平面BC1D的距离；（Ⅱ）求直线A1B与平面BC1D所成的角的正弦值.参考答案：解1：（Ⅰ）作DF⊥BC1于F，∵平面BC1D⊥平面BB1C1C，∴DF⊥平面BB1C1C，……2分取BC中点E，连接AE，EF，则AE⊥平面BB1C1C，∴AE∥DF，AE∥平面BC1D，于是A、E到平面BC1D的距离相等，…4分作EG⊥BC1于G，则EG⊥平面BC1D，又EG=B1C=，因此，A到平面BC1D的距离为；……6分(Ⅱ)∵AA1∥平面BB1C1C，∴AD∥EF，得EF∥CC1，F是BC1的中点.………………8分于是AD=EF=CC1=1，D是AA1中点，所以A1和A到平面BC1D的距离相等.设A1到平面BC1D的距离为d，则d=，…10分

设A1B与平面BC1D所成的角为θ，则sinθ=.

……12分

解2：（Ⅰ）以AC中点O为原点，建立空间直角坐标系如图.

……1分设AD=h,则A（0,-1,0），B（，0,0），C（0,1,0），A1（0，-1,2），C1（0,1,2），D（0，-1，h）.

……2分,设平面BC1D的法向量为n=（x，y，z），则，令z=2，则y=h-2，x=.n=（，h-