高一数学平面

高一年级数学平面一、知识概要一、平面的基本特征及其表示法；二、点、直线、平面位置关系的符号表示；三、平面的基本性质．一、平面的基本特征及其表示法；二、点、直线、平面位置关系的符号表示；三、平面的基本性质．直线的基本特征是“直”和向两端“无限延伸”．点和直线是由现实事物抽象而来的；课桌面黑板面平静的水面与直线一样我们也可以从现实事物中抽象出几何里的“平面”，例如：平面的基本特征是“平”和向四周“无限延展”．我们是如何表示直线的？一、图形表示：平面的表示法：通过初中的学习，我们知道用直线的局部（即线段）表示直线．如图（1），把平行四边形的一边画成横向来表示水平放置的平面；如图（2），把平行四边形的一边画成竖向来表示竖直放置的平面．（1）（2）

选取平面的一部分中最具代表性的矩形，用其直观图（即平行四边形）来表示平面．一、图形表示：平面的表示法：

我们常用希腊字母α

，β

，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将他们写在代表平面的平行四边形的一个角内，如下图所示．二、符号表示：平面的表示法：我们也可以用平行四边形的四个顶点或相对顶点的大写字母表示平面，如平面ABCD、平面BD或者平面AC．（1）αABCD（2）β一、平面的基本特征及其表示法；二、点、直线、平面位置关系的符号表示；三、平面的基本性质．

我们知道直线上有无数个点，平面上有无数条直线，若以点为元素，则直线与平面都可以看做是由点构成的集合，几何中的许多符号规定都是将图形视为点集，所以我们借助集合符号来表示点、直线、平面的位置关系．点、直线、平面位置关系的符号表示：文字语言符号语言图形语言点A在直线Ɩ上点B不在直线Ɩ上点A在平面α内点P不在平面α内（点P在平面α外）用符号“∈”和“”来表示点与直线，点与平面的位置关系；B

ƖBƖP

ααPAƖA∈ƖαAA∈α文字语言符号语言图形语言直线Ɩ在平面α内直线Ɩ不在平面α内（直线Ɩ在平面α外）用符号“”和“”来表示直线与平面的位置关系；Ɩ

αƖαƖ

ααƖαƖ文字语言符号语言图形语言直线Ɩ、m相交于点P

直线Ɩ与平面α相交于点P用符号“∩”来表示直线与直线、直线与平面、平面与平面相交这种位置关系．Ɩ∩m=PPƖmƖ∩α=PPαƖ练习用符号表示下列语句，并画出相应的图形：(1)点A在平面α内，点B在平面α外；符号语言：图形语言：A∈α，B

α．ABα练习用符号表示下列语句，并画出相应的图形：符号语言：图形语言：(2)直线Ɩ经过平面α外一点M；M∈Ɩ，M

α．Ɩ

MαƖMα上面的两个练习实际是文字、图形、符号语言之间的相互转化，这对初学立体几何的同学们来说是十分必要的，这可以帮助我们更好的认识和描述空间的几何图形．一、平面的基本特征及其表示法；二、点、直线、平面位置关系的符号表示；三、平面的基本性质．上述两个生活现象的共同点是什么？可以反映出平面的什么性质？（2）三角架的三角着地就可以支撑照相机．（1）自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”；

可以发现它们的共同点是：不共线的三个支点同时落在了地面上，如果将三个支点抽象成点，地面抽象成平面，可以得到如下结论．平面的基本性质：“有且只有”的含义是什么呢？基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．“有”指过不在一条直线上的三个点存在一个平面，是平

面存在性的体现；“只有”指过不在一条直线上的三个点存在唯一一个平面，

是平面唯一性的体现．(1)经过空间中的一个点或者两个点有唯一一个平面吗？你能举例说明吗？ABCDA1B1C1D1．这也就说明了经过空间中一个点或两个点的平面不唯一．事实上经过空间中一个点或者两个点存在无数个平面例如在长方体ABCD-A1B1C1D1中，经过点A的平面有平面ABCD、平面AB1、平面AD1等；经过点A、B的平面有平面ABCD和平面AB1等(2)经过在一条直线上的三个点有唯一一个平面吗？你能举例说明吗？ABCDA1B1C1D1E面A1C1，这也就说明了经过在一条直线上的三个点的平面不唯一．事实上经过在一条直线上的三个点可以有无数个平面，也就是说共线的三个点不能唯一确定一个平面，例如在长方体ABCD-A1B1C1D1中，通过棱A1B1上三点A1、E、B1的平面有平面A1B和平

事实上不在一条直线上的4个点有可能不在一个平面内，例如在长方体ABCD-A1B1C1D1中，很显然点A、B、C、A1不能在同一个平面内．(3)空间中不在一条直线上的4个点一定会在一个平面内吗？ABCDA1D1B1C1平面的基本性质：基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．图形语言CABα如图不共线的三点A，B，C所确定的平面α也可以表示为平面ABC．平面的基本性质：基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．图形语言作用基本事实1给出了确定一个平面的依据．不共线的三点确定一个平面．CABα基本事实1小结：基本事实1反映了点与平面的关系，从点与平面角度刻画了平面的基本特征．（1）如果直线Ɩ与平面α有一个公共点P，直线Ɩ是否在平面α内？（2）如果直线Ɩ与平面α有两个公共点，直线Ɩ是否在平面α内？思考：ƖαP考虑如下生活现象：

如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在桌面上；

我们将直尺抽象成直线，桌面抽象成平面，可以得到如下结论．平面的基本性质：基本事实2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内．基本事实2告诉我们如果一条直线上的两点在平面内，那么整条直线都在平面内，更进一步说直线上的所有点都在平面内．平面的基本性质：基本事实2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内．图形语言符号语言作用可以判定直线是否在平面内．αƖABA∈Ɩ，B∈Ɩ，且

A∈α，B∈

α

Ɩ

α．

基本事实2体现了直线和平面的关系，反映出：可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”，那么为什么能用直线的直和无限延伸来刻画平面的平和无限延展呢？我们作如下解释：基本事实2小结：如图由基本事实1，给定不共线的三点A，B，C，它们可以确定一个平面α；连接AB，BC，CA由基本事实2知，这三条直线都在平面α内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面α内，以此类推，所有这些直线可以编织成一个“直线网”可以铺满平面α．组成这个“直线网”的直线的直和向各个方向无限延伸，说明了平面的平和无限延展．基本事实2小结：ABCα思考：（1）把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只有一个公共点？（2）如果有其他公共点，他们和这个公共点有什么样的关系呢？

我们可以想象三角板所在的平面向四周无限延展，这样它必然会穿透课桌面，所以这两个平面不止有一个公共点，而是相交于一条直线．所以我们可以得到如下结论：平面的基本性质：基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面．平面的基本性质：基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实3告诉我们对于两个不重合的平面，只要他们有公共点，那么它们必然是相交的，且交线是一条直线．平面的基本性质：基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．图形语言注：在画两个平面相交时，如果其中一个平面的一部分被另外一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线如图（1）所示或不画如图（2）所示．（1）αβPƖ（2）αβPƖ平面的基本性质：基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．图形语言符号语言（1）αβPƖ（2）αβPƖP∈α，且P∈β

α∩β=Ɩ，且P∈Ɩ．

平面的基本性质：基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．作用（1）判定两个平面相交，即如果两个平面有公共点，那么这两个平面一定相交于一条直线；（2）判定点在直线上，即若点是两个平面的公共点，直线是两个平面的交线，那么这点一定在该交线上．基本事实3反映了平面与平面之间的关系，从平面与平面角度刻画了平面的基本特征，由于平面是“平”的，这样两个平面的交线才是直线，否则就不可能是直线．如下图，平面α与曲面β的交线不是直线．基本事实3小结：αβ

三个基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立体图形的基础．三个基本事实是平面的三条基本性质从不同角度刻画了平面的“平”和“无限延展”的基本特征；练习如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确．(1)直线BD1在平面BB1D1D内；正确ABCDA1B1C1D1注意到点B，D1在平面BB1D1D内，由基本事实2可以判定直线BD1在平面BB1D1D内；练习如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确．(2)设正方形ABCD和A1B1C1D1的中心

分别为O，O1，则平面BB1D1D与平

面AA1C1C的交线为OO1；正确ABCDA1B1C1D1OO1注意到点O，O1是平面BB1D1D和平面AA1C1C的公共点，由基本事实3知直线OO1为平面BB1D1D与平面AA1C1C的交线；练习如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确．(3)由点B，O，D可以确定一个平面．错误ABCDA1B1C1D1OO1由图知点B，O，D三点共线，所以过这三点的平面不唯一．不共线的三点A，B，C确定一个平面α，基本事实1如图，把AB连成直线，基本事实2推论1平面α是唯一一个经过直线AB及直线AB外一点C的平面．推论1

直线AB在平面α内，即AB

α．ABCα经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．基本事实2推论1推论2如图，再将AC连成直线，此时AB∩AC=A．平面α是唯一一个经过两条相交直线AB，AC的平面．推论2平面α是唯一一个经过直线AB及直线AB外一点C的平面．

直线AC在平面α内，即AC

α．ABCα经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3推论1如图，过点C作CD//AB．

直线AB，CD在同一平面内，平面α是唯一一个经过两条平行直线AB，CD的平面．推论3可以证明平行四边形，梯形都是平面图形．推论3平面α是唯一一个经过直线AB及直线AB外一点C的平面．ABCαD经过两条平行直线，有且只有一个平面．

三个推论同前面的基本事实1一样，给出了确定一个平面的条件，是后面研究推理证明的基础，在得到三个推论的过程中，老师采用了说理的方式，并没有对三个推论进行严格的证明，将这三个推论的证明留给学有余力的同学课下完成．二、例题讲解例题证明两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．分析：首先，我们需要明确本题的已知和结论，根据题意我们知道本题的已知为：三条直线（不妨设为Ɩ，m，n）两两相交且不过同一点，结论为：这三条直线Ɩ，m，n在同一平面α内．例题证明两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．分析：我们可以将本题用符号语言表示为：已知：

Ɩ∩m=A，m∩n=B，Ɩ∩n=C；求证：Ɩ、m、n在同一平面内．ABCαƖmn例题证明两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

Ɩ，m，n在平面α内A，C在平面α内A，B，C确定平面α基本事实2基本事实1分析：Ɩ在平面α内m在平面α内n在平面α内A，B在平面α内B，C在平面α内证明：设直线Ɩ，m，n两两相交，交点分别为A，B，C

．显然A，B，C三点不共线，因此它们能确定一个平面α．．即直线Ɩ，m，n在平面α内．基本事实1基本事实2例题证明两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．因为A∈α，C∈α，那么直线Ɩ

α，

同理直线m

α，直线n

α．本题小结：

本题主要考查了基本事实1和基本事实2，在解决本题的过程中我们先明确了条件及结论，之后借助符号语言描述本题，结合图形语言，这样有利于我们理解本题同时也容易书写证明过程，事实上本题也可以结合三个推论进行证明，同学们可以课下尝试．例题如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，E是棱CC1上的一点，试说明D1，A，E三点确定的平面与平面ABCD相交，并画出两个平面的交线．

ABCDA1B1C1D1E分析：容易发现D1，A，E三点确定的平面D1AE与平面ABCD有公共点A，则由基本事实3可知两平面相交．且两平面的交线必然会通过点A，如果再确定两个平面的一个公共点，由“两点确定一条直线”，这样就可以确定两个平面的交线．

例题如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，E是棱CC1上的一点，试说明D1，A，E三点确定的平面与平面ABCD相交，并画出两个平面的交线．ABCDA1B1C1D1EF分析：下面我们寻找两个平面的另一个公共点，观察右图发现：直线D1E在平面D1AE内，直线DC在平面ABCD内，且直线D1E，DC又是平面CDD1C1内两条不平行的直线，所以，直线D1E，

DC必相交于一点，不妨记为F，连接AF即为所求交线．

例题如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，E是棱CC1上的一点，试说明D1，A，E三点确定的平面与平面ABCD相交，并画出两个平面的交线．ABCDA1B1C1D1E解：因为A∈平面D1AE，A∈平面ABCD，所以A∈平面D1AE∩平面ABCD，即平面D1AE与平面ABCD相交．F∈直线

D1E，D1E

平面D1AE，F∈直线

DC，DC

平面AB