《万有引力与航天》复习（省一等奖）

第六章《万有引力与航天》单元复习课湖南省岳阳县第二中学杨高科知识点1开普勒定律1.开普勒第一定律:(轨道定律)

所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。2.开普勒第二定律:(面积定律)太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。3.开普勒第三定律:(周期定律)

所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。a3T2=ka：半长轴T：公转周期k是一个对所有行星都相同的常量，只与中心天体质量有关.〖例题1〗一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，地球位于椭圆轨道的一个焦点上，如图所示，地球距离卫星的近地点A的距离为L，距离卫星的远地点B的距离为S，求卫星在A点和B点的速度之比。思路：涉及到椭圆运动问题时，一般要用开普勒定律来分析。涉及到椭圆轨道上的速度问题则考虑用普勒第二定律（面积定律）来分析。ABLSF考点1开普勒定律的应用解析：在A点附近截取一小段曲线，则此段曲线可看成一个小段圆弧，半径为L，弧长为lA，同理，在B点附近截取一小段曲线，则此段曲线可看成一个小段圆弧，半径为S，弧长为lB，分别将两段圆弧两端与地心相连，设运动lA和lB所用时间都为t，当时间很短时，可视为匀速率运动，有lA=vA

t

，lB=vB

t,

由开普勒第二定律有：ABLSF得：vA

：vB

=S：L〖例题2〗飞船沿半径为R的圆周绕地球运动的周期为T，地球半径为R

0，若飞船要返回地面，可在轨道上某点A处将速率降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，求飞船由A点到B点所需的时间。R0RAB〖解析〗飞船在圆轨道或椭圆轨道上运行时，遵循开普勒第三定律，有由A点到B点所需的时间解得：知识点2万有引力定律及其应用1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积_______，与它们之间距离r的二次方_____。2.公式

F=_________，其中G为引力常量，

G=6.67×10-11

N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定。3.适用条件：两个_________的相互作用。(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为_________的距离。(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为_____________的距离。成正比成反比质点之间两球心间质点到球心间【思考辨析】(1)只有天体之间才存在万有引力。()(2)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由计算物体间的万有引力。

()(3)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。()×××【典例3】对于万有引力定律的表述式，下面说法中正确的是（）A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的B当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大C.m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力D.m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关AD考点2万有引力定律的应用【典例4】某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F，为使此物体受到的引力减小到F/4，应把此物体置于距地面的高度为（R指地球半径）()A.1R B.2R C.4R D.8RARh“微元法”在万有引力定律中的应用

【典例5】设想把一质量为m的物体放在地球的中心,问物体受到地球对它的万有引力为多少?把地球分割（微元法）利用对称性。FF答案：万有引力的合力为零。“割补法”在万有引力定律中的应用【典例6】有一个质量为M，半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为R/2的球体，如图所示。求剩下部份对m的万有引力F为多大。

分析：球体的剩余部份不能看成质点，万有引力定律不能直接应用，可用“割补法”处理该类问题。mO方法：先将被挖去的部份补上，构成完整的球体，则万有引力定律可以应用。但多计算了被补上部份的质量所产生的万有引力，减去该力则可。mO解：质量为M的球体对m的万有引力为：被挖去部份的球体的质量为：M/对m的万有引力为：所以剩下部份对m的万有引力为：F1F2知识点3

卫星的环绕1.卫星的轨道：

（1）卫星绕地球运行的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道；（2）地心是椭圆的一个焦点或者是圆轨道的圆心；（3）所有卫星绕地球运行时，其运动规律遵循开普勒第一、第二和第三定律；（4）地球同步轨道（静止轨道）：①轨道在赤道所在平面上，②卫星始终在赤道上空，相对于地球上某点的位置是静止的；③周期与地球自转周期相同，④绕行方向与地球自转的方向一致。⑤卫星的周期、高度、线速度、角速度、加速度都是定值

①T=24小时；②距地高度h=3.6×107m；③

v=3.1km/s；极地轨道同步轨道普通轨道知识点3

卫星的环绕

2.第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫_____速度，其数值为___km/s(2)第一宇宙速度是人造卫星在_____附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小_____速度，也是人造卫星的最大_____速度。(4)第一宇宙速度的计算方法。①由得：②由得：环绕7.9地面发射环绕(万有引力提供向心力）(重力提供向心力）知识点3

卫星的环绕3.卫星的发射速度与环绕速度是两个不同的概念：

发射速度：发射高轨道卫星比发射低轨道卫星困难。原因是发射高轨道卫星时火箭要克服地球对它的引力做更多的功，因此需要更大的发射速度．

轨道越高，发射速度越大。

环绕速度：是指卫星在进入环绕轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度。高度h越大，环绕速度v越小第一宇宙速度既是人造卫星最小的发射速度，也是最大的环绕速度！知识点3

卫星的环绕

1、由得：,r越大v越小；2、由得：,r越大ω越小；4、人造卫星的线速度v、角速度ω、周期T、

向心加速度an

与圆轨道半径r（r=R+h）之间的关系3、由得：,r越大T越大；4、由得：,r越大an越小；“一定四定（r,v,ω,T,a），越远越慢”知识点4第二宇宙速度和第三宇宙速度

1.第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱_____引力束缚的最小发射速度，其数值为_____km/s。2.第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱_____引力束缚的最小发射速度，其数值为_____km/s。地球11.2太阳16.7知识点5经典时空观和相对论时空观

1.经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随_________而改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是_____的。2.相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而_____，用公式表示为___________。(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是_____的。运动状态相同增加不同不同【思考辨析】(4)第一宇宙速度与地球的质量有关。()(5)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。

()(6)若物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则物体可以绕太阳运行。()(7)在狭义相对论中，物体的质量也不会随物体的速度的变化而变化。()√×√×考点3天体质量和密度的估算计算天体质量的两条基本思路1、物体在天体表面时受到的重力近似等于万有引力球体的体积：黄金代换式…………①…………②天体的平均密度：…………③由①②③得：考点3天体质量和密度的估算2、行星（或卫星）做匀速圆周运动：

万有引力提供向心力计算天体质量的两条基本思路思路2，只能求出中心天体的质量！！！当卫星做近地运行时，r=R，【典例7】已知“神舟八号”飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，地球的半径为R，万有引力常量为G。在该轨道上，“神舟八号”飞船（）A.运行的线速度大小为B.运行的线速度小于第一宇宙速度C.运行时的向心加速度大小为D.地球表面的重力加速度大小为BCD【解析】选B、C、D。飞船运行的线速度大小为选项A错误；由飞船的运行速度第一宇宙速度v1=故v<v1，选项B正确；飞船的向心加速度an=选项C正确；由选项D正确。【典例8】(2012·福建高考)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（）A. B. C. D.【解析】选B。由N=mg，故选B。B【典例9】火星探测器在距火星表面h高度处环绕火星做匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，已知火星的半径为R，引力常量为G，试求火星的平均密度ρ的表达式。解：万有引力提供向心力：

得火星质量：又火星的体积：故火星的平均密度：Rh【典例10】为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国发射了一颗火星探测器。假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出()A．火星的质量B．探测器的质量C．火星对探测器的引力D．火星表面的重力加速度AD【解析】选A、D。探测器在两个不同圆轨道上运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律得

联立以上两式可求得火星的质量和半径，但无法求解探测器的质量，选项A正确，B错误；由于探测器的质量未知，故无法求解火星对探测器的引力，选项C错误；在火星表面有

选项D正确。考点4航天器的变轨问题当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行:(1)当卫星的速度突然增加时，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时减小。(2)当卫星的速度突然减小时，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时增大;（卫星的发射和回收就是利用这一原理）。【典例11】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（）A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B．卫星在轨道1上的速率小于在轨道2上经过Q点时的速率

C．卫星在轨道1上具有的加速度小于它在轨道2上经过Q点时的加速度1QP23BDD．卫星在轨道1上的速度v1,在轨道2上过P点的速度v2P,在轨道2上过Q点的速度v2Q,在轨道3上的速度v3,四者之间的关系为v2Q>v1>v3>v2P【总结提升】航天器变轨问题的注意事项(1)航天器的变轨是利用外力改变其运动的线速度，从而造成万有引力与所需的向心力不再平衡，出现离心或向心运动而达到改变轨道半径的目的；

时，做向心运动，轨道降低；

时，做离心运动，轨道升高；(2)稳定在新轨道上做圆周运动时的运行速度由

判断。(3)在椭圆轨道上正常运行时，远离地球则需克服引力做功，速度减小，靠近地球则有引力做功，速度增大;(4)航天器经过不同轨道相交的同一点时因受力相同，故加速度相等。【典例12】我国已于2011年9月29日21时发射“天宫一号”目标飞行器，“天宫一号”重8吨，类似于一个小型空间站，是中国首个空间实验室。到目前为止，我国相继发射了“神八”、“神九”并分别与“天宫一号”实现了对接。宇宙飞船为了追上“天宫一号”实现对接，可以采取的措施是（）

A.只能从较高轨道上加速

B.只能从较低轨道上加速

C.只能从与“天宫一号”同一高度

的轨道上加速

D.无论在什么轨道上，只要加速都行B1QP2天宫一号3变轨前：变轨后：

联立以上两式解得：故选B。【典例13】(2012·山东高考)2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后，“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接。变轨前和变轨完成后,“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2。则v1/v2等于()【解析】选B。“天宫一号”绕地球做匀速圆周运动，向心力由万有引力提供。设地球质量为M，“天宫一号”质量为m，则B【典例14】2012年2月25日，中国将第十一颗北斗导航卫星成功送入太空预定转移轨道，这是一颗地球同步静止轨道卫星。理论上认为：均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星，能够实现除地球南、北极等少数地区外的“全球通信”。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，关于这三颗同步卫星，下列说法正确的是()A．均处于完全失重状态，所在处的重力加速度为零B．若受到太阳风暴影响后速度变小，则卫星的轨道半径将变小C．任意两颗卫星间距离为D．任意两颗卫星间距离为BD【解析】选B、D。这三颗同步卫星均处于完全失重状态，所在处的重力加速度不为零，选项A错误；若受到太阳风暴影响后速度变小，则卫星的轨道半径将变小，选项B正确；对同步卫星由万有引力定律及牛顿第二定律得

在地球表面处有解以上两式得同步卫星距地心距离为任意两颗卫星间距离为

d=2rcos30°=选项C错误，D正确。r1200d考点5卫星的追及问题【典例15】两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，地球的质量为M，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面的高度为3R，则：RaR3Rb(1)a、b两卫星运行周期之比Ta∶Tb是多少？(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则a至少经过多少个周期与b相距最远？【规范解答】(1)对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式(2)由ω=可知：ωa>ωb，即a转动得更快。设经过时间t两卫星相距最远，则由图可得：θa-θb=(2n-1)π(n=1，2，3…)其中n=1时对应的时间最短。答案：1.模型构建在天体运动中,将两颗彼此相距较近,且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。2.模型条件(1)两颗星彼此相距较近。(2)两颗星靠相互之间的万

有引力做匀速圆周运动。(3)两颗星绕同一圆心做

圆周运动。考点5双星模型m2m1Or1r2L考点5双星模型3.模型特点(1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,故F1=F2,且方向相反,分别作用在两颗行星上,是一对作用力和反作用力。(2)“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。(3)“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上,且r1+r2=L,两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比。【典例16】质量分别为m和M的两个星球A和B在万有引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常数为G。(1)求两星球做圆周运动的周期。BAOrArBL【深度剖析】两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度一样，周期也一样，其所需向心力由两者间的万有引力提供，可由下式解题。解：（1）两星球之间的万有引力提供向心力，对m：对M：联立以上各式得：环绕半径与质量成反比BAOrArBL……③

……④拓展：（1）由①②得：……①……②（2）由④变形得：可求双星总质量（3）由以上各式，可求：rA、rB、M、m、ω、L等（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。BAOrArBL已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。

求T2与T1两者平方之比。

(结果保留3位小数)解：(2)对于地月系统，求T2与T1平方之比。若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，由(1)可知其两球运行周期为：若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得：解得：故：答案：(1)均为(2)1.012【典例17】天文学家如果观察到一个星球独自做圆周运动,那么就想到在这个星球附近存在着一个看不见的星体黑洞。星球与黑洞由万有引力的作用组成双星,以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动,那么(

)A.它们做圆周运动的角速度与其质量成反比B.它们做圆周运动的周期与其质量成反比C.它们做圆周运动的半径与其质量成反比D.它们所受的向心力与其质量成反比【解析】选C。星球与黑洞绕某点做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供向心力,则星球与黑洞的向心力相等,选项D错误;星球与黑洞和某点始终共线,说明它们有相同的角速度和周期,选项A、B错误;设星球与黑洞的质量、轨道半径分别为m1、m2和r1、r2,角速度为ω,则有m1ω2r1=m2ω2r2,解得选项C正确。C【名师指津】解答双星问题应注意“两等”“两不等”（1）双星问题的“两等”:①它们的角速度（周期）相等。②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。（2）“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。②由m1ω2r1=m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。知识点5经典时空观和相对论时空观

1.经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随_________而改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是_____的。2.相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而_____，用公式表示为___________。(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是_____的。运动状态相同增加不同不同1.2011年美国国家航空航天局(NASA)发现了可能存在生命的行星“开普勒22b”,它与地球相隔600光年,半径约为地球半径的2.4倍。“开普勒22b”绕恒星“开普勒22”运动的周期为290天,轨道半径为R1,地球绕太阳运动的轨道半径为R2,测得R1∶R2=0.85。由上述信息可知,恒星“开普勒22”与太阳的质量之比约为(

)A.0.1

B.1

C.10

D.100【双基题组】【解析】选B。由故选项B正确。B2.设地球的半径为R0，质量为m的卫星在距地面2R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则下列说法中正确的是()D【解析】选D。卫星在距地面2R0高处做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：在地球表面处有=mg，其中r1=R0，r2=3R0，解以上各式得：选项A、B、C错误，D正确。3.“天宫一号”是中国发射的第

一个目标飞行器，随后发射的

“神舟八号”无人飞船已与它成

功对接。它们的运行轨迹如图

所示，假设“天宫一号”绕地球

做圆周运动的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则以下说法正确的是()A.根据题中条件可以计算出地球的质量B.根据题中条件可以计算出地球对“天宫一号”的引力大小C.在近地点P处，“神舟八号”的加速度比“天宫一号”大D.要实现“神舟八号”与“天宫一号”在近地点P处安全对接，需在靠近P处制动减速AD【解析】选A、D。由可得地球质量为选项A正确；地球对“天宫一号”的引力由于“天宫一号”的质量未知，故无法计算出地球对“天宫一号”的引力大小，选项B错误；在P处由牛顿第二定律得解得