高等数学方明亮版数学课件106傅立叶级数

一、三角级数三角函数系的正交性(Trigonometricseries)简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,φ为初相

)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.7/22/20231证:同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在定理1组成三角级数的函数系7/22/20232上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在7/22/20233二、函数展开成傅立叶级数(ExpandingtoFourierseries)定理2

设f(x)是周期为2的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证:由定理条件,①②对①在逐项积分,得7/22/20234(利用正交性)类似地,用sinkx乘①式两边,再逐项积分可得7/22/20235叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数.称为函数

7/22/20236设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有

x为间断点其中(证明略

)为f(x)

的傅里叶系数.

x为连续点注意:

函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.定理3(收敛定理,展开定理)7/22/20237设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为解:先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.例17/22/20238机动目录上页下页返回结束7/22/202391)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近f(x)的情况见右图.说明:7/22/202310上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.（由课本例2改编）解:设f(x)是周期为2的周期函数,它在例27/22/202311说明:当时,级数收敛于7/22/202312周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数其它定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法7/22/202313级数.（自学课本例4）则解:将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),例3将函数7/22/202314利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得说明:7/22/202315设已知又7/22/202316三、正弦级数和余弦级数1.正弦级数和余弦级数的概念定理4

对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数

,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为(Sineseriesandcosineseries)7/22/202317的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.（课本例6）是周期为2的周期函数,它在解:若不计周期为2的奇函数,因此例4设7/22/202318n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝57/22/202319展成傅里叶级数.解:是周期为2的周期偶函数,因此例5将周期函数（课本例7）7/22/2023207/22/202321周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成2.函数展开为正弦级数或余弦级数7/22/202322分别展成正弦级数与余弦级数.（课本例8）解:

先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,例6将函数7/22/202323注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数因此得f(x)=x+1的值不同.7/22/202324将则有作偶周期延拓,再求余弦级数.7/22/202325说明:令

x=0可得即7/22/2023267/22/202327四、周期为2l的周期函数的傅立叶级数周期为2l函数f(x)周期为2

函数F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式7/22/202328设周期为2l

的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)其中定理57/22/202329,则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处)变成是以2为周期的周期函数,证明:令7/22/202330其中令(在f(x)的连续点处)证毕7/22/202331其中(在f(x)的连续点处)如果

f(x)

为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中注:

无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果f(x)为奇函数,则有说明:7/22/202332展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k处级数收敛于何值?例8把7/22/202333作偶周期延拓,则有(2)将7/22/202334说明:此式对也成立,由此还可导出据此有（自行练习课本例10~11）7/22/202335方法1令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:当函数定义在任意有限区间上时,7/22/202336令在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将代入展开式在即上的正弦或余弦级数方法27/22/202337展成傅里叶级数.解:令设将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故则它满足收敛定例9将函数（课本例12）7/22/202338内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:若为间断点,则级数收敛于2.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数

奇函数正弦级数

偶函数余弦级数7/22/2023393.在[0,]上函数的傅里叶展开法

作奇周期延拓,展开为正弦级数

作偶周期延拓,展开为余弦级数为正弦级数.4.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x

间断点)其中当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)5.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓7/22/202340课外练习习题10－61；2(1)；3(2)；4；6思考练习1.

在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.傅氏级数的和函数.2.写出函数答案:7/22/202341处收敛于则它的傅里叶级数在在处收敛于

.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为

,3.7/22/202342又设求当的表达式.解:由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域4.设7/22/202343数展式为则其中系数提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里叶级5.7/22/202344是以2为周期的函数,其傅氏系数为则的傅氏系数提示:令6.设7/22/202345立叶级数,并由此求级数(91考研)

解:为偶函数,因f(x)偶延拓后在展开成以2为周期的傅的和.故得7.7/22/202346得故7/22/202347傅里叶(1768–1830)法国数学家.他的著作《热的解析理论》(1822)是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.

最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的文献,他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响.7/22/202348狄利