数学人教九年级上册（2014年新编）24-2-2 直线与圆的位置关系（第三课时）（教学课件）

24.2.2直线与圆的位置关系第3课时：切线长定理第二十四章切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。学习目标1.理解切线长概念。2.掌握切线长定理，并能初步运用。3.掌握用尺规作三角形内切圆的方法。4.三角形内切圆的相关计算。重点理解并掌握切线长定理。难点1.应用切线长定理解决实际问题。2.三角形内切圆的相关计算。

切线长概念

在同一个平面内，有一点P和⊙O，过点P能否作⊙O的切线？如果能，可以作几条切线并说明做法？如果不能，说明理由.点P在⊙O内点P在⊙O上点P在⊙O外

切线长概念情况一点在圆内过点P的直线都与圆相交，所以不存在过P点的直线与⊙O相切.情况二点在圆上作法：①连接OP；②过P点作已知线段OP的垂线l，直线l即为⊙O的切线.作图依据：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.l

切线长概念情况三点在圆外OPMAB作法：连接OP①作线段OP的中点M；②作以M为圆心，OM长为半径的⊙M,与⊙O交于A,B两点；③作直线PA,PB，则直线PA,PB即

为⊙O的两条切线。【提问】作图依据？1.直径(或半圆)所对的圆周角是直角2.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3.两点确定一条直线

切线长概念

【小结】过圆外一点可以作圆的______条切线；

过圆上一点可以作圆的______条切线；

过圆内一点的圆的切线______条切线.210在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.切线长的概念：

切线长概念切线与切线长的区别图形实质长度直线不可测量线段可测量（线段PA）AP切线AP切线长

探索切线长定理若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。APO。BPA=PB，∠APO=∠BPO∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA,PB⊥OB(圆的切线垂直于经过切点的半径)即△APO和△BPO是直角三角形在Rt△APO和Rt△BPO中AO=BOOP=OP∴Rt△APO≌Rt△BPO∴PA=PB，∠APO=∠BPO

探索切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。POAB几何语言:∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点.∴PA=PB，∠APO=∠BPO（利用切线长定理进行计算）BAPOC13如图PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连结OP问题一：图中有哪些相等关系？问题二：若连结AB交OP于C，∠PAB和∠PBA相等吗？问题三：OP和AB有怎样的关系？问题四：连结OA、OB，则图中和∠1相等的角有哪些？问题五：图中和∠3相等的角有哪些？∴PA=PB，∠APO=∠BPO相等OP垂直平分AB∠APO=∠BPO=∠1=∠OBA∠3=∠BAP=∠AOP=∠BOP（利用切线长定理进行计算）变式1-1如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（）A．130°B．120° C．110° D．100°【详解】∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．故选C．（利用切线长定理进行计算）变式1-2如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（）A．10 B．15 C．20 D．25【详解】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．故选：C．（利用切线长定理进行计算）

三角形内切圆一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？要使剪得圆的面积最大，这个圆应该与三角形的各边都相切。

三角形内切圆一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ABC0D【步骤】1）分别作∠A,∠B,∠C的角平分线

。2）过三条角平分线交点O作BC边垂线，交BC边于点D。3）以O为圆心，OD长为半径作圆。想一想：符合题意这样的圆，可以作出多少个呢？为什么？

三角形内切圆三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形的内心：三角形的内切圆的圆心（即三角形三条角平分线的交点）。O⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的外切三角形。ABC

三角形内切圆三角形内切圆和外切圆圆心的名称圆心的确定方法图形圆心的性质

内心三角形三边中垂线的交点三角形三条角平分线的交点(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在三角形的内部．(1)到三边的距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心一定在三角形内部．外心

三角形内切圆（直角三角形内切圆半径与三边的关系）⊙O是Rt△ABC的内切圆，其中∠B=90°.ABCDEF0分别连接AO,BO,CO,过O点做AB⊥DO,BC⊥EO,AC⊥FO,与三角形三边的交点分别是D、E、F.∵⊙O是Rt△ABC的内切圆∴EC=FC,AF=AD,BD=BE(切线长定理)∵∠ODB=∠OEB=∠B=90°,DO=OE∴四边形DOEB是正方形。设⊙O半径为rrrBC-rBC-rAB-rAB-r

三角形内切圆（直角三角形内切圆半径与三边的关系）⊙O是Rt△ABC的内切圆，其中∠B=90°.（等面积法）BCDF0E分别连接AO,BO,CO,过O点做AB⊥DO,BC⊥EO,AC⊥FO,与三角形三边的交点分别是D、E、F.设AB=a，BC=b，AC=c，内切圆半径为rAabc

三角形内切圆（直角三角形内切圆半径与三边的关系）归纳：①三角形内切圆半径公式：其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.②特殊的直角三角形内切圆半径公式：其中a，b为直角三角形的直角边长；c为斜边长.（考查三角形内切圆的相关计算）例2Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则△ABC内切圆半径为__________．2（考查三角形内切圆的相关计算）变式2-1如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的长。AFOEBDCxx1313-x13-x9-x9-x149方法一设AF长为x则BC=BD+DC(9-x)+(13-x)=14解得，x=4则AE=4,BD=5,CE=9（考查三角形内切圆的相关计算）变式2-1如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的长。AFOEBDCxx13zzyy149方法二设AF长为x,BD长为y，EC长为zx+z=13y+z=14x+y=9解得x=4，y=5，z=9则AE=4，BD=5，CE=9（考查三角形内切圆的相关计算）变式2-2如图，I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D．E分别为AB、AC上的点，且DE为I的切线，则△ADE的周长为_______.【详解】如图,设DE、BD、BC、CE与I的切点分别为F、G、H、M，由切线长定理知：BH=BG、CH=CM、EM=EF、FD=DG、AM=AG；则AG+AM=AB+AC−BC=11；所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DG+EM+AE=AG+AM=11.（考查三角形内切圆的相关计算）变式2-3如图，△ABC是一张周长为22cm的三角形纸片，BC＝6cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为_____．【详解】解：△ABC的内切圆与三边分别相切于D、E、F，MN与⊙O相切于G，如图，则BD＝BE，CE＝CF，MD＝MG，NG＝NF，∵BC＝6，