2021-2022学年广东省梅州市兴梅中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年广东省梅州市兴梅中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.实数满足，则四个数的大小关系为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C2.已知，是虚数单位，则（

）A．1

B．

C．

D．2参考答案：B略3.对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B略4.下列命题：①若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则；②若锐角、满足则;③在中，“”是“”成立的充要条件;④要得到的图象,只需将的图象向左平移个单位.其中真命题的个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B略5.数列{an}的通项公式为，那么k≥﹣2是{an}为递增数列的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由{an}为递增数列?an+1＞an，解出即可判断出结论．【解答】解：由an+1＞an，（n+1）2+k（n+1）＞n2+kn，化为：k＞﹣（2n+1），由{an}为递增数列，可得k＞﹣3．∴k≥﹣2是{an}为递增数列的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法、数列的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.已知正方体的棱长为1，E为棱的中点，F为棱上的点，且满足，点F、B、E、G、H为面MBN过三点B、E、F的截面与正方体在棱上的交点，则下列说法错误的是（

）A．HF//BEB．C．∠MBN的余弦值为D．△MBN的面积是参考答案：C因为面，且面与面MBN的交线为FH，与面MBN的交线为BE，所以HF//BE，A正确；因为，且，所以，所以，所以，在Rt△中，，所以B正确；在Rt△中，E为棱的中点，所以为棱上的中点，所以，在Rt△中，，所以；因为，在△中，，所以C错误；因为，所以，所以．所以D正确．7.已知集合A={x|x2一x-6>0），B={x|-1≤x≤4），则AB=

(A)[一l,3)

(B)(3,4]

(C)[一1,2)

(D)(2,4]参考答案：B8.执行下面的程序框图，若，则输出n的值为（

）A．3

B．

4

C.

5

D．6参考答案：C9.已知函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（

）A、11

B、10

C、9

D、8参考答案：B10.已知等比数列满足则的最大值为（

）A．32 B．64 C．128 D．256参考答案：B考点：等比数列试题解析：因为

所以所以所以因为二次函数的对称轴为所以当n=3或4时，最大=故答案为：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数，在区间内围成图形的面积为

参考答案：略12.在中，在BC边上任取一点P，满足的概率为

.参考答案：分析：利用几何概型求的概率.详解：设点M在BC上，且BM:MC=3：5，此时.当点P在线段MC上时，满足，所以所求的概率为.故答案为：

13.若函数f(x)＝，则f(x)的定义域是

．参考答案：

命题意图：考查学生对定义域求解及对数函数的理解。14.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围为________．参考答案：【详解】因为,所以可化为：又，所以，所以，解得：由正弦定理得：，又所以，所以在锐角中，,所以所以.所以的取值范围为【点睛】本题主要考查了三角恒等变形及正弦定理，还考查了两角和的正弦公式，考查计算能力及三角函数的性质，属于中档题。15.若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是__________．参考答案：16.已知复数z=（i为虚数单位），则z?=

．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由求解．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．17.在棱长为1的正方体AC1中，点P为侧面BB1C1C内一动点(含边界)，若动点P始终满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹的长度为________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知二次函数满足，且关于的方程的两个实数根分别在区间、内.（1）求实数的取值范围；（2）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）由题知

记，

则，即.（2）令，在区间上是减函数.

而，函数的对称轴为，

在区间上单调递增.

从而函数在区间上为减函数.

且在区间上恒有，只需要，

略19.已知数列中，，前n项和为Sn，且。（1）求a1；（2）证明数列为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由。参考答案：(1)令n=1，则a1=S1==0．

…………2分(2)由，即，

①得

．

②②－①，得

．

③于是，．

④③+④，得，即．

………6分又a1=0，a2=1，a2－a1=1，所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1．

………………8分(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，．

…………10分所以，(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解．

…………12分当p≥3，且p∈N*时，<0，故数列{}(p≥3)为递减数列，于是≤<0，所以此时方程(☆)无正整数解．……14分综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列．……………16分20.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若PA=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，取BC中点E，连接AE，PE，推导出BC⊥AE，BC⊥PE，从而BC⊥PA．同理CD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形．取BC中点E，连接AE，PE，因为E为BC的中点，所以在△ABC中，BC⊥AE，因为PB=PC，所以BC⊥PE，又因为PE∩AE=E，所以BC⊥平面PAE，又PA?平面PAE，所以BC⊥PA．同理CD⊥PA，又因为BC∩CD=C，所以PA⊥平面ABCD．…6解：（2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（，﹣1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（0，2，﹣2），=（﹣，3，0），设平面PBD的法向量为=（x，y，z），则，取x=，得=（），取平面PAD的法向量=（1，0，0），则cos＜＞==，所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值是．…21.（本题满分12分）如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱的中点，为的中点．（1）求证：；（2）求直线到平面的距离；（3）求二面角的正切值．参考答案：【知识点】点到面的距离

二面角

G11（1）略；（2）；（3）.(1)证明:连结,则，又∵,∴平面,∴,而,∴.

(2)取中点为,连结则,∴.

过作直线于点,则平面,∴就是直线到平面的距离.在矩形中,∴在中,直线到平面的距离.

(3)过作于点,则平面,

过作于点,连结,则∴即为所求二面角的平面角,

在中,为中点,∴,在中,.所以二面角的正切值为.【思路点拨】(1)连结,证明平面,∴,而,∴；（2）取中点为,连结则,∴.过作直线于点,则平面,∴就是直线到平面的距离；（3）过作于点,则平面,过作于点,连结,则则即为所求二面角的平面角,即可求得.22.（13分）某银行招聘，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择．现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试．若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为；丙通过B组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功．假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题．（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率．（Ⅱ）记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I）设丁竞聘成功为M事件，戊竞聘成功为N事件，则事件的总数，而事件M竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，再利用概率计算公式即可得出．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．ξ=0表示甲乙丙三人都没有通过；ξ=1表示三人中只有一人通过；ξ=3表示由3人都通过，利用分类讨论和独立事件的概率计算公式及其互斥事件的概率计算公式及其对立事件的概率，列出分布列，求出期望．【解答】解：（I）设“丁竞聘成功”为M事件，戊竞聘成功为N事件，而事件M竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选