2022-2023学年广东省汕头市海门中学高二数学理上学期摸底试题含解析

2022-2023学年广东省汕头市海门中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设i是虚数单位，计算：_________.参考答案：略2.已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=CD=4，EF=2，则EF与AB所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】取CD的中点G，连接FG，EG，又E为AC的中点．利用三角形的中位线定理可得，∠FEG即为异面直线EF与AB所成的角或其补角．同理可得FG=BC=2，可得△EFG为等边三角形．进而得出．【解答】解：如图所示，取CB的中点G，连接FG，EG，又E为AC的中点．∴∴∠FEG即为异面直线EF与AB所成的角或其补角．∵F为BD的中点，同理可得FG=BC．∴EF=FG=EG．∴△EFG为等边三角形．∴∠FEG=60°．即异面直线EF与AB所成的角为60°．故选：C．【点评】本题考查了异面直线所成的夹角、三角形的中位线定理、等边三角形的定义及其性质，考查了推理能力和计算能力，考查了空间想象能力．3.函数有（

）A.极大值－1，极小值3 B.极大值6，极小值3C.极大值6，极小值－26 D.极大值－1，极小值－26参考答案：C【分析】对原函数求导，通过导函数判断函数的极值，于是得到答案.【详解】根据题意，，故当时，；当时，；当时，.故在处取得极大值；在处取得极小值，故选C.【点睛】本题主要考查利用导数求函数极值，难度不大.4.若等比数列中，则此数列的公比为(

)A.3

B.-3

C.±3

D.±9参考答案：C略5.若全集，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.一轮船行驶时，单位时间的燃料费u与其速度v的立方成正比，若轮船的速度为每小时10km

时，燃料费为每小时35元，其余费用每小时为560元，这部分费用不随速度而变化.已知该轮船最高速度为25km/h,则轮船速度为(

)km/h时，轮船行每千米的费用最少.

A.10

B.15

C.20

D.25参考答案：C略7.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的个数为（

）A.4 B.3 C.2 D.1参考答案：B【分析】把原方程转化为与的图象的交点个数问题，由，可知的图象关于对称，再在同一坐标系下，画出两函数的图象，结合图象，即可求解．【详解】由题意，原方程等价于与的图象的交点个数问题，由，可知的图象关于对称，作出在上的图象，再根据是偶函数，图象关于轴对称，结合对称性，可得作出在上的图象，如图所示．再在同一坐标系下，画出的图象，同时注意其图象过点，由图可知，两图象在区间内有三个交点，从而原方程有三个根，故选B．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用函数的奇偶性，在同一坐标系内作出两函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．8.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是

A．抽签法

B．随机数法

C．系统抽样法

D．分层抽样法参考答案：D9.用数学归纳法证明时，到时，不等式左边应添加的项为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】先列出当和时左边的式子，然后相减即可.【详解】解：当时，左边=当时，左边=所以不等式左边应添加的项为故选：C.【点睛】本题主要考查数学归纳法的基本步骤，数学归纳法的第二步从到时命题增加项可能不止一项.10.不等式的解集为，则a，c的值分别为A．a=-6,c=-1

B．a=6，c=1

C．a=1,c=1

D．a=-1,c=-6参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ．参考答案：12.双曲线上一点P到其一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是____________________.

参考答案：略13.如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为

参考答案：0.86414.已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.参考答案：15.已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且，，则a=__________．参考答案：由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为，由题意可得：，据此可得：，则球的表面积：，结合解得：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞；1名既会唱歌也会跳舞；现从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法________种参考答案：1517.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，且顶点P在底面ABCD的射影为底面的中心，若，棱锥体积为，则侧棱AP与底面ABCD所成的角是____________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.棱台的三视图与直观图如图所示.

（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.参考答案：（1）根据三视图可知平面，为正方形，所以.因为平面，所以，又因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

根据三视图可知为边长为2的正方形，为边长为1的正方形，平面，且所以，，，，.因为在上，所以可设.因为，所以.所以，.设平面的法向量为，根据令，可得，所以.设与平面所成的角为，.所以，即点在的中点位置.19.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，等差数列{bn}中，b1=2，点P（bn，bn+1}在一次函数y=x+2的图象上．（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；（2）设cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式可得an，再利用等差数列的通项公式可得bn．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）由2an=Sn+2得：2a1=S1+2；即2a1=a1+2，解得a1=2．同理可得：2a2=S2+2；2a1=a1+a2+2，解得a2=4；由2an=Sn+2┅①得2an﹣1=Sn﹣1+2┅②；（n≥2）将两式相减得：2an﹣2an﹣1=Sn﹣Sn﹣1；2an﹣2an﹣1=an；an=2an﹣1（n≥2）所以：当n≥2时：an==2n；n=1时也成立．故：an=2n；又由等差数列{bn}中，b1=2，点P（bn，bn+1）在直线y=x+2上．得：bn+1=bn+2，且b1=2，所以：bn=2+2（n﹣1）=2n；（2）；数列{cn}的前n项和Tn=22+2×23+3×24+…+n?2n+1，2Tn=23+2×24+…+（n﹣1）×2n+1+n?2n+2，∴﹣Tn=22+23+…+2n+1﹣n?2n+2=﹣n?2n+2，可得：Tn=（n﹣1）?2n+2+4．20.命题不等式的解集是.命题函数在定义域内是增函数.若

为假命题，为真命题，求的取值范围.参考答案：，解不等式得

，即

为假命题，为真命题，一真一假.

当真假时有，当假真时有.

综上所述：.21.已知动点P到点F(2，0)的距离与到直线l：x=的距离之比为2.

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）直线l的方程为x+y-2=0,l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．参考答案：（1）设点的坐标为，则由题意得，

化简得，即为点的轨迹C的方程.

（2）将代入中，并化简得：，

则，，所以|AB|=略22.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．参考答案：【考点】平面与平面平行的判定．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B1C1，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面；（2）证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1∥平面BCHG．【解答】证明：（1）∵G、H分别为A