2021-2022学年安徽省合肥市第五十九中学高二数学文下学期期末试题含解析

2021-2022学年安徽省合肥市第五十九中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列条件中，能判断两个平面平行的是(

) A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面参考答案：D考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：利用两个平面平行的判定定理判断即可．解答： 解：对于A，一个平面内的一条直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交．对于B，一个平面内的两条直线平行于另一个平面，如果这两条直线平行，则这两个平面可能相交．对于C，一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，如果这无数条直线平行，则这两个平面可能相交．对于D，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，满足平面与平面平行的判定定理，所以正确．故选：D．点评：本题考查平面与平面平行的判定定理的应用，基本知识的考查．2.设满足约束条件：，则的最小值为

（）A．6

B．－６Ｃ．Ｄ．－７参考答案：B3.下列曲线中离心率为的是（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B4.动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是(

)A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=参考答案：C【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【专题】计算题．【分析】根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程．【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，即（2x﹣3）2+4y2=1．故选C．【点评】此题是个基础题．考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力．5.设表示平面，表示直线，给定下列四个命题：(1)；

(2);(3);

(4).其中正确命题的个数有（

）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B略6.公差不为零的等差数列的前n项和为.若是的等比中项,,则等于

A.

18

B.

24

C.

60

D.

90.

参考答案：C7.若两条直线与互相垂直，则a的值等于（

）．

A．3 B．3或5 C．3或－5或2 D．－5参考答案：C由两条直线垂直或知，即，即，解得，，．故选．8.若a,b是任意实数,且a＞b,则（

）A．a2＞b2

B.＜1

C.lg(a－b)>0

D.()a＜()b参考答案：D

9.若的等比中项，则的最大值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.设函数在区间[1，3]上是单调函数，则实数a的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数z=1+2i（i为虚数单位），则||=

．参考答案：考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的有关概念即可得到结论．解答： 解：∵z=1+2i，∴=1﹣2i，则||==，故答案为：点评：本题主要考查复数的有关概念，比较基础．12.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且成等差数列，则

.参考答案：

13.如图，第一个多边形是由正三角形“扩展”而来，第二个多边形是由正四边形“扩展”而来，…，如此类推，设由正n边形“扩展“而来的多边形的边数记为an．则+++…+=_________．参考答案：14.设数列的前n项和为，令=，称为数列的“理想数”，已知数列的“理想数”为101，那么数列2，的“理想数”为___________.参考答案：102略15.若点P在曲线上移动，设点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_____________参考答案：16.下面算法的输出的结果是（1）

(2）

(3）

参考答案：（1）2006

(2）

9

(3）817.已知函数f（x）=，则f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于．参考答案：﹣3或1考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的意义即可得出．解答：解：∵f（1）=lg1=0，f（a）+f（1）=0，∴f（a）=0．当a＞0时，由上面可知a=1；当a≤0时，f（a）=a+3=0，解得a=﹣3，符号条件．综上可知：a=﹣3或1．故答案为﹣3或1．点评：本题考查了分段函数的求值和分类讨论的思想方法，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．【分析】（1）先证明直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直，可得PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，确定平面POC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求出平面PDC的法向量，利用距离公式，可求B点到平面PCD的距离．（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1），求出平面CAQ的法向量、平面CAD的法向量=（0，0，1），根据二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，利用向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．则P（0，0，1），A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；所以，易证：OA⊥平面POC，所以，平面POC的法向量，所以PB与平面POC所成角的余弦值为

…．（2），设平面PDC的法向量为，则，取z=1得B点到平面PCD的距离…．（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1）因为=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，所以=，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=或λ=3（舍去），所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.（12分）已知函数对任意实数均有=，其中常数为负数，且在区间[0,2]上有表达式=(-2).（1）求的值；（2）写出在[-3,3]上的表达式，并讨论函数在[-3,3]上的单调性；（3）求出在[-3,3]上的最小值与最大值，并求出相应自变量的取值。参考答案：解：(1).

(2)当时，

当，

当

综上所诉，所以，的单调递增区间为（-3,-1）,（1,3）;

的单调递减区间为（-1,1）（3）由（2）知，的最大值为和的较大者；的最小值为的较小者。=-k,

比较，略。

略20.(本小题满分12分)如图，四棱锥的底面是正方形，，，点是的中点，作交于点.（1）求证：；（2）求证：；（3）求二面角的大小.参考答案：解：如图建立空间直角坐标系，设.

（1）,,所以，即，因此，.…4分（2）,，故，所以.又，

所以

………………8分（3）由（2）知，故是二面角的平面角。设，则.

因为，所以，即.所以,所以，点.又点，所以.故，所以，即二面角的大小为60

………………12分21.(本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,内接于⊙,是⊙的直径,是过点的直线,且.

(Ⅰ)求证:是⊙的切线;(Ⅱ)如果弦交于点,,,,求.参考答案：22.把复数z的共轭复数记作，已知，求z