河南省焦作市孟州河雍办事处逸夫中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

河南省焦作市孟州河雍办事处逸夫中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，角A、B、C的对边长分别a、b、c，满足，，则△ABC的面积为A. B. C. D.参考答案：C【分析】由二次方程有解，结合三角函数性质可得只有△，此时可求，进而可求，然后结合余弦定理可求，代入可求．【详解】把看成关于的二次方程，则，故若使得方程有解，则只有△，此时，，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解可得，，．故选：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的存在条件的灵活应用及同角平方关系，二倍角公式，辅助角公式及余弦定理的综合应用，属于中档试题．2.半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕圆心O旋转时，?的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．[﹣1，﹣1+] C．[﹣，] D．[﹣，+]参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，﹣1），设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E（﹣cosθ，﹣sinθ），F（﹣cos（θ+），﹣sin（θ+）），0≤θ＜2π，运用向量的坐标和向量的数量积的坐标表示，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求范围．【解答】解：以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，﹣1），设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E（﹣cosθ，﹣sinθ），F（﹣cos（θ+），﹣sin（θ+）），0≤θ＜2π，则?=（1﹣cosθ，1﹣sinθ）?（﹣cos（θ+），﹣sin（θ+））=cosθcos（θ+）+sinθsin（θ+）﹣（cos（θ+）+sin（θ+））=cos﹣sin（θ+）=﹣sin（θ+），当sin（θ+）=1，即θ=时，取得最小值﹣；当sin（θ+）=﹣1，即θ=时，取得最大值+．即有?的取值范围是[﹣，+]．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的范围，考查坐标法的运用，同时考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．3.如图,设向量,,若＝λ＋μ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是(

)参考答案：D4.若x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1,0）处取得最小值，则的a取值范围是A.

B.(-4,2)

C.

D.(-4,1)

参考答案：B5.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．6.若实数a、b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略7.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.表面积为24的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A．12π B． C．π D．π参考答案：C【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由正方体的表面积为24，得到正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的体积即可．【解答】解：表面积为24的正方体的棱长为：2，正方体的体对角线的长为：2，就是球的直径，∴球的体积为：S=π（）3=4π．故选：C．9.已知向量与不共线，且，，若，，三点共线，则实数，应该满足的条件是（

）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：依题意，，∴，即，求得，故选A.考点：共线向量定理.10.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=8，S3=6，则a9=(

) A．8 B．12 C．16 D．24参考答案：C考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由给出的等差数列的第5项和前3项和代入通项公式及前n项和公式求等差数列的首项和公差，然后直接运用通项公式求a9．解答： 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则，解得：a1=0，d=2，所以a9=a1+8d=0+8×2=16．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了计算能力，此题属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是

；表面积是

．参考答案：12.已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=8cosθ+6sinθ，则曲线C上到直线l的距离为4的点个数有个．参考答案：2【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】化直线的参数方程为普通方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，由圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断曲线C上到直线l的距离为4的点个数．【解答】解：由，消去t得：2x﹣y+5=0，由ρ=8cosθ+6sinθ，得ρ2=8ρcosθ+6ρsinθ，即x2+y2=8x+6y，化为标准式得（x﹣4）2+（y﹣3）2=25，即C是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．又圆心到直线l的距离是，故曲线C上到直线l的距离为4的点有2个，故答案为：2．【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．13.等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式

．

参考答案：略14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且=，a2=5，则S6=．参考答案：722【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】=，可得an+1+1=3（an+1），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴an+1+1=3（an+1），∴5+1=3（a1+1），解得a1=1．∴数列{an+1}是等比数列，公比为3，首项为2．∴an+1=2×3n﹣1，解得an=2×3n﹣1﹣1，则S6=﹣6=722．故答案为：722．15.已知向量a=(，1)，b=(m，1)．若向量a，b的夹角为，则实数m=_____参考答案：试题分析：，所以，解方程得考点：向量的数量积运算16.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=-2的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是

。参考答案：417.角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα=﹣；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ=﹣2．对于下列结论：①P（﹣，﹣）；②|PQ|2=；③cos∠POQ=﹣；④△POQ的面积为．其中所有正确结论的序号有．参考答案：①②④【考点】三角函数线．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式得到OP所对应的角，结合平方关系求解的正余弦值得答案，判断命题①；求出Q的坐标，由两点间的距离公式计算|PQ|2，然后判断真假；把两角差的余弦用诱导公式化为正弦，展开后计算得答案，再判断真假；直接由面积公式求值，然后判断真假．【解答】解：如图，对于①，由tanα=﹣，得，∴．又，且，解得：．设P（x，y），∴x=，．∴P（）．命题①正确；对于②，由tanβ=﹣2，得，又sin2β+cos2β=1，且，解得：．∴Q（）．∴|PQ|2==．命题②正确；对于③，cos∠POQ=cos（）=﹣sin（α﹣β）=﹣sinαcosβ+cosαsinβ==．命题③错误；对于④，由③得：sin∠POQ=，∴．命题④正确．∴正确的命题是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数线，训练了三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式的用法，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在处取得的极小值是.(1)求的单调递增区间；(2)若时，有恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解析：(1)，由题意，令得的单调递增区间为和.(2)，当变化时，与的变化情况如下表：-4(-4，-2)-2(-2,2)2(2,3)3

0

0

单调递增单调递减

单调递增

1

所以时，.于是在上恒成立等价于，求得.19.已知函数f(x)＝xm+ax的导函数f′(x)＝2x+1，,点An(n,Sn)在函数y=f(x)(n∈N*)的图像上，（1）求证：数列为等差数列；

（2）设，求数列的前项和参考答案：解：(1)由f′(x)＝2mx+a=2x+1得m=a=1,故f(x)＝x2+x，………………

2分则依题意有

Sn=n2+n,当n=1时，；

……………

3分

当n，……………

4分综上，，……………

5分

故数列为等差数列……………

6分(2)=……………

7分

①

②……………8分②－①:……

10分

……………

12分

20.在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观．在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A片区，3个场馆分布在B片区，3个场馆分布在C片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需要排队等候．已知A片区的每个场馆的排队时间为2小时，B片区和C片区的每个场馆的排队时间都为l小时．参观前小红突然接到公司通知，要求她一天后务必返回，于是小红决定从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．（Ⅰ）求小红每个片区都参观1个场馆的概率；（Ⅱ）设小红排队时间总和为(小时)，求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：（Ⅰ）设“小红每个片区都参观1个场馆”为事件，则；（4分）（Ⅱ）可能的取值为3，4，5，6．（5分）； ；； ．（9分）的分布列为：（11分），数学期望．（13分）21.（本小题满分12分）在中，角所对的边为，已知。（1）求的值；（2）若的面积为，且，求的值。参考答案：解：（1）

……4分

（2）

，由正弦定理可得：

由（1）可知

，得到

…………8分由余弦定理可得

…………10分由可得或，所以或

………12分本试题主要是考查了解三角形的运用。（1）因为，得到结论。（2）

，由正弦定理可得：

由（1）可知，结合面积公式得到的值，结合余弦定理求解得到a,b,c的值。

22.在平面直角坐标系xOy中，倾斜