正弦级数与余弦

第八节

正弦级数与余弦级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数二、函数展开成正弦级数或余弦级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数0p(n

=

1,2,)b

=

2

p

f

(

x)

sin

nxdxn一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.定理(1)当周期为2p的奇函数f

(x)展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为an

=

0

(n

=

0,1,2,)2/21(2)当周期为2p的偶函数f

(x)展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为0p=

2pf

(

x)

cos

nxdx

(n

=

0,1,2,)abn

=

0

(n

=

1,2,)n证明(1)设f

(x)是奇函数,p-pa

=n1f

(

x)cos

nxdx

=

0

(n

=

0,1,2,3,)奇函数p

0同理可证(2)p-pb

=nf

(

x)sin

nxdx

=

2

p

f

(

x)sin

nxdx

(n

=

1,2,3,)p1p偶函数3/21定理证毕.定义如果f

(x)为奇函数,傅氏级数

bn

sin

nx¥n=1称为正弦级数.na

cos

nx如果

f

(

x)为偶函数,

傅氏级数a0

+¥2

n=1称为余弦级数.4/21例1

设f

(x)是周期为2p

的周期函数,它在[-p,p)上的表达式为f

(x)=x

,将f

(x)展开成傅氏级数.解所给函数满足狄利克雷充分条件.因为f

(p

-0)„f

(-p

+0)故在点x

=(2k

+1)p

(k

=0,–1,–2,)处不连续,收敛于

f

(p

-

0)

+

f

(-p

+

0)

=

p

+

(-p)

=

0,2

2在连续点x(x

„(2k

+1)p)处收敛于f

(x),5/21-

pp-

p2p-

2p-

3p3px0

x

„(2k

+1)p时f

(x)是以2p为周期的奇函数,yp和函数图象(n

=

0,1,2,)p

0b

=

2

p

f

(

x)sin

nxdxn=

16/21p-ppf

(

x)

cos

nxdx

=

0anp

0nb

=

2

p

f

(

x)sin

nxdx

=

2

px

sin

nxdxppp00]n2sin

nxn2

x

cos

nxpn+[-=

2

(-1)[

x

cos

nxp

0p-

cos

nxdx]

=0n=

-

2

cos

np

=

2

(-1)n+1

,n(n

=

1,2,)f

(

x)

=

2(sin

x

-

1

sin

2

x

+

1

sin

3

x

-)¥=

2n=12(-1)n+1n3sin

nx.

(-¥

<

x

<

+¥;

x

„

–p,–3p,)7/21y

=

2(sin

x

-

1

sin

2

x

+

1

sin

3

x

-

1

sin

4

x

+

1

sin

5

x)2

3

4

5y

=

x观察两函数图形8/21二、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓设f

(x)定义在[0,l]上,延拓成以2l为周期的函数F

(x).,g(x)

-

l

<

x

<

00

£

x

£

l令F

(x)=

f

(x)且F

(x

+2l)=F

(x),偶延拓奇延拓则有如下两种情况

.9/21奇延拓:g(

x)

=

-

f

(-

x)-

f

(-x)0

<

x

£

lx

=

0-

l

<

x

<

0

f

(x)则F

(x)=

0f

(x)的傅氏正弦级数¥

bn

sin

nxn=1f

(

x)

«(0

£

x

£

l

)xy0l-l10/21偶延拓:g(

x)

=

f

(-

x)0

£

x

£

l-

l

<

x

<

0

f

(x)则F

(x)=

f

(-x)f

(x)的傅氏余弦级数¥2

n=1na

cos

nxa0

+f

(

x)

«xy0l-l(0

£

x

£

l

)11/21例2

将函数f

(x)=x

+1(0

£

x

£

p)分别展开成正弦级数和余弦级数.解(1)求正弦级数.对f

(x)进行奇延拓,p

0nb

=

2

p

f

(

x)sin

nxdx

=

2

p(

x

+

1)sin

nxdx2p-

2

p

+

2

n=

n

(1

-

pcos

np

-

cos

np)

=

p

2

n当n

=2,4,6,当n

=1,3,5,0p

0p2

-

cos

np

nsin

np=

np

-

x

cos

nx

+x

+1

=

2[(p

+

2)

sin

x

-

psin

2x

+

1

(p+

2)

sin

3x

-

psin

4

x

+

1

(p+

2)

sin

5

x]p

2

3

4

512/21p

2

3x

+

1

=

2

[(p

+

2)sin

x

-

p

sin

2

x

+

1

(p

+

2)sin

3

x

-](0

<

x

<

p

)函数f

(x)=x

+1(0

£

x

£

p)x

=0,p处级数和为0，不能代表原来函数f

(x)的值。13/21(2)求余弦级数.对f

(x)进行偶延拓,p00a

=

2

p

(

x

+1)dx

=

p

+

2,pp00p

nn2n=

2

p

(

x

+

1)

cos

nxdx

=

2

x

sin

nx

+

cos

nx

+

sin

nx

an2=

n2

p

(cos

np

-

1)

=

-04n2

p当n

=2,4,6,当n

=1,3,5,32

52pp

4

1

1x

+

1

=

2

+

1

-

(cos

x

+

cos

3

x

+

cos

5

x

+](0

£

x£

p)14/21三、小结1、基本内容:奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;2、注意几个问题：不是只有周期函数才能展成傅氏级数;在[0,l]上,展成周期为2l的傅氏级数不唯一;15/21思考题16/21设f

(x)是在[a,b]上定义的函数,应如何选择A,B,才能使F

(t

)=f

(At

+B)成为[-p,p]上定义的函数.思考题解答应使A(-p)

+

B

=

a,

Ap+

B

=

b,217/21B

=

b

+

a

.2p即A

=b

-a

,一、设f

(x)是周期为2p的周期函数,它在[-p,p)上的表18/21p

p2p

,

p

£

x

<

p

2-

p

,-p

£

x

<

-

p2

2达式为f

(x)=

x

,-2

£

x

<2.二、将函数f

(x)=2

x

2

(0

£

x£

p)分别展开成正弦级数和余弦级数.练习题三、将以2p

为周期的函数f

(x)=x

在(-p,p)内展开成¥1傅里叶级数,并求级数(-1)n=02n+1的和.2n

+

1¥19/21四、证明:当0

£

x

£

p时,n=1pxx2

p2n2cos

nx=

4

-

2

+

6

.n¥n=1(-1)n+1

2

np一、f

(x)=[+

n2psin

2

]sin

nx

.(

x

„

(2n

+1)p,

n

=

0,–1,–2,)n

n

nn24

2)

-

3

]sin