电路分析基础第九章2012级

1第九章 阻抗和导纳变换方法的概念

B复数(自学)相量C相量的线性性质和微分性质B基尔霍夫定律的相量形式

A三种基本电路元件VCR的相量形式

A§9-1§9-2§9-3§9-4§9-5§9-6§9-7§9-8VCR相量形式的统一

——

阻抗和导纳的引入

A正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比——相量模型的引入

A§9-9

正弦稳态混联电路的分析B§9-10

相量模型的网孔分析法和节点分析法

B§9-11相量模型的等效B§9-12

有效值

有效值相量

B§9-13

两类特殊问题

相量图法

B计划学时：8§9-1

变换方法的概念变换方法的基本思路如图9-1所示，可分为三个步骤：图9-1

变换方法的思路1、把原来的问题变换为一个较容易处理的问题。2、在变换域中求解问题。3、把变换域中求得的解答反变换为原来问题的解答。图9-1中，三个实线箭头依次表明了这三个步骤3§9-3

相量1、正弦稳态的概念正弦稳态：正弦激励下电路的稳定状态称为正弦稳态。正弦稳态电路：在正弦激励的动态电路中，若各电压、电流均为与激励同频率的正弦波，则该电路称为正弦稳态电路。2、相量的概念回顾欧拉恒等式：e

jj=

cosj

+

j

sin

j当

j

=

w

t时

,e

jw

t

=

cos

w

t

+

j

sin

w

t正弦函数就可用复数表示为：cos

w

t

=Re[

e

jw

t

]sin

w

t

=

Im[

e

jw

t

]可写作：设正弦电压为：u(t

)

=

Um

cos(wt

+

j

)j

(w

t

+j

)

jj

jw

tu

(t

)

=

Re[U

m

e

]

=

Re[U

m

e

e

].

.=

Re[U

m

e

jw

t

]

=

Re[U

m

—

w

t

]m

m.=

U

—

j.其中：U

m

=

U e

jj.U

m

称为电压振幅相量。.同理，可以定义I

m

为电流振幅相量。辐角j

为u(t)的初相。Um

是一与时间无关的复值常数，其模Um

为u(t)的振幅，5.

.如：

电压振幅相量

U

m

，电流振幅相量

I

m为方便，本章把振幅相量简称为相量。为什么相量只包含振幅和初相，而未包含频率呢？这是因为在正弦交流电路中，激励与响应，电压与电流均为同频率的正弦波，一般为已知条件，所以相量中未包含。相量：能够表征正弦时间函数的复值常数就叫做相量。即U

m

<=>u(t)，则：需要说明的是：相量只能表征或代表正弦波，并不等于正弦波.以电压为例：U

m

和u(t)之间可用

<=>

表示而非等于。..m—

w

t

]u

(

t

)

=

Re[

U相量图：相量在复平面上的图示称为相量图。dtd

(wt

+j)

=

ω注意：辐角(ωt+φ)与角速度（角频率ω）的关系是导数关系Um—jo+jUmsinjjUm

cosj

+1例9-2

若

i1(t)=5cos(314t+60°)A,7i2(t)=-10sin(314t+60°)A,试写出代表这三个正弦电流的各i3(t)=-4cos(314t+60°)A.相量，并绘相量图。解：（1）i1

(t)

=

5cos(314t

+

60

)=

Re(5e

j

60

e

j

314t

).=

Re(I

1m

e

j

314t

)故得代表电流i1的相量为：.I

1m

=

5—

60

A

=

(2.5

+

j4.34)

A28=10

cos(314t

+

60

+

90

)i

(t)

=

-10sin(314t

+

60

)（2）故得代表电流i2的相量为.I

2m

=10—150

A（3）3=

4

cos(314t

+

60

+180

)=

4

cos(314t

-120

)

Ai

(t)

=

-4

cos(314t

+

60

)故得代表电流i3的相量为.I

3m

=

4—

-120

A这三个电流的相量图如图9-9所示。560°°60°°10

150°4

-120°图9-9

例9-29.I

1m

=

5—

60

A

=

(2.5

+

j4.34)

A.I

2

m

=10—150

A.I

3m

=

4—

-120

A101u

(t)

=

50

cos(100pt

-

30

)V同理，得:u2

(t)

=

100

cos(100pt

+150

)V]1u

(t

)

=

Re[

50

e=

50

cos(

100

pt

-

30

)V也可以根据所给相量直接写出。相量提供了振幅及初相的数据，故得j

(100

pt

-30

)由于采用余弦函数表示正弦波，故.

.例9-３

已知

U

1m

=

50—

-

30V

,U

2m

=100—150

,

f

=

50Hz试出它们所代表的正弦电压。ω=2πf=2π×50=100π(rad/S)解:11.

.1

2f

(

t

)

=

Re(

A

1

e

jw

t

),

f

(

t

)

=

Re(

A

2

e

jw

t

)<=>f2(t).即：A1

<=>f1(t),.A2设α1和α2为两个实数，则正弦量α1f1(t)+α2f2(t)可用相量表示为：.

.a1

A1+a2

A2§9-4

相量的线性性质和微分性质1、线性性质：表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。如设正弦量为：.2、微分性质：若Am

为给定正弦量Amcos(ωt+φ)的相量，.则jw

Am

为该正弦量的导数的相量。亦即：.

.

.dt

dtd

djw

tjw

t

jw

tAm

e

)

=

Re(

jw

Am

e

)Re(

Am

e

)

=

Re(）是可交换的；dtd和(a)取实部和求导数的运算（

Ree

jw

t.(b)复值函数A

m对t的导数等于该函数与jω的乘积结论：任意个角频率相同的正弦量以及任意个这种正弦量的任意阶导数的代数和，仍为一个同频率的正弦量。这一结论称为正弦稳态电路的主定理。这一定理包含两个内容:§9-5

基尔霍夫定律的相量形式回顾KCL：在任一时刻，流出电路节点的电流的代数和为零。设：线性非时变电路在单一频率ω的激励下（正弦电源可以有多个，但频率必须相同）进入稳态时，各处的电压，电流都将为同频率的正弦波。因此，在所有时刻，对任一节点，KCL可表示为：n

nk

=1 k

=1k

kme

jw

t

)

=

0

i=

Re

(Ikm=

I.其中：I

kme

jj

k

为流出该节点的第k条支路正弦电流ik的振幅相量。根据线性性质，可得nkmk

=

1.I

=

0nkm.

U

=

0k

=

1为第K

条支路的电压振幅相量.上式中，U

km.式中，

I

km

为第k条支路的电流振幅相量同理，在正弦稳态电路中，沿任一回路，KVL可表示为：总结：在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电流振幅相量和电压振幅相量写出。无法显示该图片。例9-6

图9-11所示为电路中一个节点，已知：i1(t)=10cos(ωt+60°)A,

i2(t)=5sin(ωt)A,求：i3(t)。写出已知电流i1和i2的相量，即：.

.I

1m

=10—

60

A,

I

2

m

=

5—

-

90

A.设未知电流i3的相量为I

3m

则由KCL可得.

.

.I

1m

+

I

2m

-

I

3m

=

0i3i1i2解：由此可得.

.

.I

3

m

=

I

1

m

+

I

2

m

=

10

—

60

A

+

5—

-

90

=

(5

+

j8.66

-

j

5)

A

=

(5

+

j

3.66

)

A

=

6.2—

36

.2

.最后，根据所得相量I

3m

写出相对应的正弦电流i3

，即i3(t)=6.2cos(ωt+36.2°)A相量图及波形图分别如图8-10(a)、(b)所示P14。16其中：17各电压均为同频率的正弦波，以相量表示后得.

.

.U

acm

=

U

abm

+U

bcm解例9-7已知: uab=

-

10cos(ωt+60°)V,ubc=8sin(ωt+120°)V求:

uacuac=uab+ubcabm.U

=

-10—

60

V

=

(-5

-

j8.66)V.U

bcm

=

8—120

-

90V

=

(6.93

+

j4)V18图9-13例9-7.U

acm=

(1.93

-

j

4.66

)V=

5.04

—

-

67

.5

V因此

uac=5.04cos(ωt-67.5°)V.相量图如图9-13所示30°120°30°=

(-5

-

j8.66

+

6.93

+

j

4)V故得§9-6

三种基本电路元件VCR的相量形式我们知道，在关联参考方向下，线性非时变电阻，电容和电感元件的VCR分别为：在正弦稳态电路中，这些元件的电压，电流都是同频率的正弦波。为了用相量进行正弦稳态分析，我们将导出三种元件的相量形式。u

=

Ricci

=

Cdt

dt19uLdu

=

L

diL1、电阻元件VCR的相量形式如右图所示电阻元件电路中，电压，电流为关联参考方向。..m

im

u

me

jwt

]i(t)

=

I

cos(wt

+j

)

=

Re[

I

m

e

jwt]cos(wt

+

j

)=

Re[U若：u(t)=U其中：u

im.

.,I

m

=U

=

U

m

—

j

I

m

—

j根据欧姆定律：U=Ri.

.

.Re[U

m

e

jw

t

]

=

R

Re[

I

m

e

jw

t

]

=

Re[

R

I

m

e

jwt

].

.U

m

=

R

Im上式即为电阻元件VCR的相量形式正弦稳态电路20-u(t)2122232、电容元件VCR的相量形式右图电容元件电路中，电压、电流为关联参考方向。.m

ijw

ti(t

)

=

I

cos(

w

t

+

j

)

=

Re[

I

m

e

jw

t

].u

(t

)

=

U

m

cos(

w

t

+

ju

)

=

Re[U

m

e

]正弦稳态电路-u(t)若：将上两式代入：dt24du(t)i(t)

=

C2526273、电感元件VCR的相量形式因为电感元件的VCR与电容的VCR存在对偶关系。diLuL

=

L

dtduC28iC

=

C

dt.

..

.所以将U

换成

I

，将I换成U，将C换成L，就可得到电感VCR的相量形式：.

.U

m

=

jw

L

Im电压、电流振幅之间的关系和相位之间的关系分别为：Um=ωLIm

φu=φi+90°.

.Im

=

jw

C

U

m293031323334353637u(t)

=

Um

cos(wt

+ju

),

i(t)

=

Im

cos(wt

+ji

)RZ

u

iIm=

R2

+

X

2j

=

j

-j

=

arctg

XX

=

Z

sinjZR

=

Z

cosjZR和X的单位也为Ω若：则：

Z

=

Um3940414243444546474849505152535455565758596061§9-10相量模型的网孔分析法和节点分析法例9-16电路如图9-34（a）所示.其中r=2Ωs已知u

(t)=10

cos(103

t)V解作相量模型如图9-34(b)所示。1

106LZ

=

jwL

=

j103

·

4

·10-3

W

=

j4W求解i1(t)和i2(t)。ZC

=

jwC

=

-

j

103

·500

W

=

-

j2W

+10V--

j23I1mI2m+-1mrI(b))

j4+-1i3W+-1ri(a))

4mH2iu

(t)s500m6263例9-17

电路相量模型如下图所示.试列出节点电压相量方程.解

节点1:1

11

1

1.)U

1m.-(

+

)U

2

m

=1—

0

A+

+5

-

j10

j10

-

j5

-

j5

j10(1

+即.

.(0.2

+

j0.2)U

1m

-

j0.1U

2

m

=1—

06465666768697071727374与此相对应时的时域电路，如图（d）所示，ω=4rad/s

。L由于

B

=

-

1

=

-0.0209SwL电感元件的参数175H

=

11.96H4

·0.0209L=

-电阻元件的参数用电阻表示，其值为1/0.0644Ω=15.53

Ω例9-21

接续上例

,

若ω=10rad/s

,求等效相量模型。解:64

+144=

(4.35

-

j11.02)W=

R

+

jXZL

=

j

2w

=

j

20WZC

=

-

j80

/

w

=

-

j8WZ

(

j10)

=

(7

+

j20)(1-

j8)

W7

+

j20

+1

-

j8=

904

-

j2292

WR

=

4.35Ω X

=

-11.02Ω思考题:等效相量模型和等效电路如何画?

与例9-20有何区别?762m2、有源单口网络相量模型的等效根据戴维南及诺顿定理可得有源单口网络的等效相量模型例9-22

用戴维南定理求下图所示相量模型中的电流

I10∠0°V+-100Ω2mI-

j50Ωj200Ω100Ω77ocmU—

-

90=

10

· =

4.47—

-63.4

V2.24—

-

26.6

=

10—

0

·

-

j50

=

10—

0

·

-

j

100

-

j50 2

-

j（1）求U

ocm解：+78-10∠0°V+-Uocm-

j50Ωj200Ω100Ω（2）求Z0

=

(20

+

j160

)WZ

0

=

j200

+

100

-

j50

=

j200

+

2

-

j1

100

(-

j50

)

-

j100

-+Uocm-

j50Ωj200Ω100Ω792m（3）求I=

0.0224—

-116.53

A4.47—

-63.4

4.47—

-63.4I2m

=

20

+

j160

+100

=

200—

53.132m80I100Ω(20+

j160)W4.47—

-63.4

V-+§9-12

有效值

有效值相量1、有效值周期电流、电压的表征：瞬时值：因其随时间变化，在实际中并不需要知道其每 一瞬间的大小。平均值：因正弦波在一个周期内的平均值为0，无法表示。最大值：只能表示某一特定瞬间的大小，无法全面表示。有效值8182设有两个相同的电阻，分别通以周期电流i和直流电流Ia）周期电流i流过电阻R时，R在周期T内消耗的电能为：

T

T

Ti

Rdt

=

R

i

dt0

02

20P

(t

)dt

=b)直流电流I流过电阻R时，在相同的时间T内R消耗的电能为：PT=RI2T若在周期电流的一个周期T内（或nT内），这两个电阻R消耗的电能相等，就平均作功能力来说，这两个电流是等效的。定义：该直流电流I的数值就可以表征周期电流i的大小，称I为i的有效值。Ti

dtRI

T

=

R022Tu

dt同理，周期电压U的有效值：U

=02

1TTi

dt=>

I

=021T上式说明：周期电流的有效值等于它的瞬时值的方均根值即：84下面我们计算一下正弦电流、电压的有效值：则：i

=

Im

cos(

wt

+

ji

)已知:Ti

dtI

=02=Tim02

2I

cos

(1T1wt

+

q

)dt==TT0I

20I

2 m

dtT

2T12T1 m

[cos(

2wt

+

2q

)

+1]dtim=

0.707

Im=

I

2

/

2同理：正弦电压U的有效值U

=

Um

/ 2

=

0.707Um上两式说明：正弦波的有效值为其振幅的

1/ 2

倍。说明：目前使用的50Hz交流电表测读的大都是有效值。日常使用的220V交流电，指的就是有效值，其振幅为:2 220

=

311V2U

cos(wt

+ju

)设：正弦波电压U(t)=Um

cos(wt

+ju

)==

2U—

ju

=

2U对应的电压相量为：

U

=

U

—

jm

m

u在正弦稳态电路的计算问题中，我们关心的是正弦量的有效值。因此我们定义：U

=

U

—

ju电压有效值相量2、有效值相量.U

是一个复数，它的模为正弦电压的有效值，它的幅角为正弦电压的初相。注意：KCL、KVL以及阻抗和导纳的定义式对有效值相量仍成立说明：除非特别声明，本书所称的相量均系指有效值相量，振幅相量附加下标m。例9-23.

.已知

U

1

=

50—

-

30V

,U

2

=

220—150V

,

f

=

50Hz试写出它们所代表的正弦电压。解由给定的相量可知U

=

50,U

=

50 2

,j

=

-301

1m

1U

=

220,U

=

220 2

,j

=

1502

2

m

2又

ω=2πf=100π故得:

u1

(

t

)

=

50u

2

(

t

)

=

220872

cos( 100

pt

-

30

)V2

cos( 100

pt

+

150

)V例9-24；.

.

.

.

.相量模型如图9-50所示，试求I

1

,I

2

,I

3

和U

1

,U

2如已知ω=1rad/s，试求i1,i2,i3和u1,u2.解:

电路对电源的等效阻抗为10

+

j5Z

=

(1

+

j2

+

10

·

j5

)W

=

(1

+

j2

+

j4

+

2)W

=

(3

+

j6)Wj5Ω1I10∠0°V+-j2Ω1Ω10Ω3I2I+

U

1

-88-+U

28910.

.U

1

=

I

1

(

j2W

)

=

2.982—

90V.

.U

2

=

I

3

(10W

)

=

6.668—

0V10

+

j5.

.I

3

=

I

1· =

0.6668—

0

A=1.334—

-

90

A10

+

j5j5由分流规律得：.

.I

2

=

I

1·求得各相量均为有效值相量。A

=1.491—

-

63.43

A3

+

j610—

0.I

1

=当ω=1rad/s时，有：190i

(t)

=i

(t)

=2

·1.491cos(t

-

63.43

)

A

=

2.108cos(t

-

63.43

)

A2

2

·1.334

cos(t

-

90

)

=

1.886sin

tAi3

(t)

=

2

·0.6668cos

tA

=

0.9428cos

tA§9-13

两类特殊问题

相量图法相量分析法分三步：变换、相量运算和反变换。典型的电路分析问题就是按照上述方法求出响应的时间函数非典型的电路分析问题不要求求出响应的时间函数，只许求出有效值或相位关系，称为两类特殊问题。用相量分析法做到第二步即可。在前几节中，相量图是在答案给出后，绘制的各正弦电压、电流相位关系图。相量图法是先定性地画出相量图，然后根据图形的特征解决问题。912Us

cos(wt)例9-25

图9-51(a)电路中

us

(t)

=+--+RCu

(t)su t

)0i

t

)图9-51(a)R+

---C求:输出电压uo(t)对us(t)的相位关系。U+U0+USjw

C1图9-51（b）解:

(一)用相量图法由相量模型图9-51（b）,

其中U

=

U

—

00S

S0+j+11)在水平方向作I

相量，其初相为零，称为参考相量。I因电阻的电压和电流同相,

所以U

和

I

同相。0电容的电压UC

滞后电流I

90°。UC193U0w

CR=

arctgj

=

arctg

U

CSU4)根据KVL：U

=

U

+

US

C

05)因

UO=RI,

UC=I/ωCU0φS超前

U

φ0由相量图可知Uo

oo)111R

Rw

CRw

CRw

Cw

C1)

=

U

—

j=

U

—

arctg()2

—

-

arctg(R2

+

(=

UsR

-

j.

.U

o

=

U

s(二)用相量分析法解R+---CU+U0+USjw

C941图9-51（b）由相