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第五节函数的极值与最大值最小值第三章二、函数的极值及其求法机动目录上页下页返回结束设函数定义:(1)(2)当x

˛

(x0

)时则称

为 的极大点

,称 为函数的极大值

;则称

为 的极小点

,称 为函数的极小值

.极大点与极小点统称为极值点.注意:函数的极值是函数的局部性质.或结论:若函数

在x0

点取到极值,则不存在.注意:ab局部性质导数为0

或不存在的点例如机动目录上页下页返回结束点击图中任意处动画播放\暂停定理1

(极值第一判别法)设函数f

(x)在x0

的某邻域内连续,且在空心邻域内有导数,当x由小到大通过x0

时,f

(x)“左正右负”,则f

(x)在x0

取极大值.f

(x)“左负右正”,则f

(x)在x0

取极小值;f

(x)“左右同号”,则x0不是极值点.(自证)求连续函数极值的一般步骤∶机动目录上页下页返回结束确定函数的定义域.在定义域求出函数导数为零或导数不存在的点,用这些点把定义域分成若干个部分区间.求出函数导数大于零或小于零的区间.列表,在各部分区间内根据函数导数的符号,利用定理1进行判别这些点是否为极值点,最后求极值.例1.解:定理2

(极值第二判别法)-+证:例2.解:定理3

(判别法的推广)0f

(n)

(x

)

„

0,n为偶数n为奇数证:+-例如,都是充分的.说明:例如:二、最大值与最小值问题极值可疑点 端点最大值最小值特别:•一个•单调(小)•实际意义(小)f

(x)

=

x40

<例3.解:f

¢(x)

=

2

6xx1

=

0,

x2

=1,

x3

=

22故函数在

x

=

0

取最小值

0

;

在

x

=1及5

取最大值-18x

+12

=

6(x

-1)(x

-

2),

-

6x2

+18x

-12=

-6(x

-1)(x

-

2),

-

1

£521

2-14例3.说明:(自己练习)例4.20B100CA

x解:2

-

3),y¢=

5

k(x

=15AD

=15

km

时运费最省.D例5.

光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播.一束机动目录上页下页返回结束光线由空气中A点经过水面到达B点,已知光在空气中和水中的传播速度分别为v1和v2

,试确定光线传播的路径.q1q2o

xBAh12h解:建立坐标系(如图),光从A点到B点所需的时间为C

D机动目录上页下页返回结束又在[0,l]上连续,由介值定理,在(0,l)内存在点唯一的零

且是 在(0,

l)内的唯一极小值点,从而也是[0,l]上的最小值点.而由得于是（折射定律）例6.解:hbdFa例7.P解:j

(a

)

=

cosa

+

m

sinaj

(a

)j

(a)

<

0,F解:FaPj

(a

)

=

cosa

+

m

sinaj

(a

)例8.xq解:q

=

0,x

=

2.4

˛

(0,

+¥

)2.4

m内容小结正

负负

正大小大小-+(

Th.3)思考与练习1.B提示:2.D提示:3.提示:f

(x0

)

=

-4

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