幂的运算（提高）知识讲解

PAGE幂的运算（提高）【学习目标】1.掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.会用同底数幂的除法性质进行计算．理解并掌握负整数指数幂和较小的数的科学记数法.【要点梳理】【高清课堂396573幂的运算知识要点】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质.即（都是正整数）.（3）性质的逆运用：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(，均为正整数).（2）性质的逆运用：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(为正整数).（2）性质的逆运用：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：要点四、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点五、零次幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）.要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点六、负整数次幂和科学记数法任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数..科学记数法—表示较小的数绝对值小于1的数可记成±a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）这种记数方法也叫科学记数法.用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质【高清课堂396573幂的运算例1】1、计算：(1)；(2)．【答案与解析】解：（1）．（2）．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：．类型二、幂的乘方与积的乘方2、（秋•惠安县月考）已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．【思路点拨】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出即可．【答案与解析】解：2a+b+3=2a•2b•23=5×3×8=120．【总结升华】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．举一反三：【变式】已知，则＝．【答案】－5；提示：原式∵∴原式＝＝－5.3、计算：（1）（2）【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解：（1）．（2）．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式】（•安顺）计算：=．【答案】9．解：（﹣3）•（﹣）2011=（﹣3）2•（﹣3）2011•（﹣）2011=（﹣3）2•[﹣3×（﹣）]2011=（﹣3）2=9.类型三、同底数幂的除法4、已知，，求的值．【答案与解析】解：．当，时，原式．【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含，的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．举一反三：【高清课堂整式的除法例3】【变式】已知，求的值．【答案】解：由得，即，，∵底数不等于0和1，∴，即，．类型四、负整数次幂和科学记数法5、已知，，则的值＝________．【思路点拨】先将变形为底数为3的幂，，，然后确定、的值，最后代值求．【答案与解析】解：∵，∴．∵，，∴，．∴．【总结升华】负整数指数幂的性质，在整数指数幂的范围内依然适用，解决本题的关键是运用负整数指数幂的定义确定、的值.举一反三：【变式】计算：（1）；（2）；【答案】解：（1）原式．（2）原式．6、已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，一个体积是480m3的房间内的空气质量是多少？（保留3个有效数字）【答案与解析】解：∵，∴