平面弯曲杆件(一)(魏德敏)教学课件

一、截面的几何特性静矩OxydAxyCxcyc形心例如，扇形的形心计算如下θθRR1、静矩和形心组合图形的形心10106040A1A210106040A1A2xyxy面积划分为分割法和负面积法。示例，图示L型图形1、静矩和形心惯性矩OxydAxyhbxydyyx1例如，矩形截面极惯性矩ρ2、惯性矩、惯性积惯性积例如，矩形截面的极惯性矩又如，圆形截面的惯性矩(x,y)(-x,y)若截面有一对称轴，则该截面对于该对称轴和另一与之垂直轴的惯性积为零组合截面hbxyd例如，图示截面2、惯性矩、惯性积OxyxyCabxCyC坐标转换惯性矩由于hbxx1例如矩形截面3、平行移轴公式示例：T型截面。求形心轴惯性矩1503015030A1A21、求形心位置yzyCzCzC145zC2452、求惯性矩3、平行移轴公式二、弯曲概念平面弯曲平面弯曲：1、截面具有一个对称轴矩形T型花篮型2、荷载作用在对称面内y对称面弯曲后梁轴线仍在对称面内。弯曲⒈受力特点:作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线⒉变形特点:使原为直线的轴线变为曲线F工程应用吊车火车轴车刀单跨静定梁支座反力和位移条件BA简支梁yA=0,yB=0BA外伸梁yA=0,yB=0BA悬臂梁yA=0,θA=0思路弯曲内力弯曲应力弯曲变形弯曲强度弯曲刚度截面的几何特性三、剪力和弯矩Q称为剪力，M称为弯矩。剪力符号：使脱离体有顺时针方向的趋势为正。弯矩符号：使脱离体的弯曲变形凹向上为正+

-+

-一般情况下，须先计算梁的支座反力，在从待求内力截面出切开，取脱离体，利用平衡关系求解内力。BAPRBRAQMPRAQMRB左上右下左下右上左顺右逆左逆右顺用内力截面法求梁的剪力和弯矩。aΣY=0,-Q+RA=0Q=RAΣm1=0,M-RAa=0M=RAa1-1示例：简支梁。求截面1-1的剪力和弯矩。1)支反力ΣmA=0,RB×6-20×2-40×4=0RB=33.3kNΣY=0,RA+RB-20-40=0RA=26.7kN2)截面内力ΣY=0,-Q+26.7-20=0Q1=6.7kNΣm1=0,M-26.7×3+20×1=0M1=60kNmQM20kN40kN2m2m

2mRARB1m20kN26.7kNPaaPaCAB示例：悬臂梁。求截面1-1、2-2的剪力和弯矩。1)截面1-1Σm1=0,M1+P×a=0M1=-PaΣY=0,-Q1-P=0Q1=-P2)截面2-2ΣY=0,-Q2-P=0Q2=-PΣm2=0,M2+P×a-Pa=0M2=01122PQ1M1PQ2M2Pa截面1-1：ΣY=0→Q1=4-2×4=-4kNΣm1=0→M1=4×4-2×4×2=0截面2-2：ΣY=0→Q2=4kNΣm2=0→M2=-4×4=-16kNmq=2kN/m4m4m4mq=2kN/mP=4kNRA=4kNRB=8kNRA=4kNq=2kN/m112Q1M12P=4kNM2Q2P=4kN示例2：外伸梁如右图，求j截面1-1、截面2-2和截面3-3的剪力和弯矩。1、求支反力2、求内力33M3Q3P=4kNRB=8kN截面3-3：ΣY=0→Q3=-8+4=-4kNΣm3=0→M3=-4×4=-16kNm剪力:所求截面一侧所有力的代数和弯矩:所求截面一侧所有力对所求截面形心力矩的代数和四、剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程Q=Q(x)、M=M(x)剪力图：正号剪力画在上侧弯矩图：正号弯矩画在下侧PxlP-Q图Pl-M图Q(x)M(x)P剪力方程：Q(x)=-P(0＜x＜l)示例1：悬臂梁受集中力注意：弯矩图画在凸侧、受拉侧，该侧配纵向受力钢筋。弯矩方程：M(x)=-Px(0≤x＜l)示例2：悬臂梁受均布荷载qxlQ(x)M(x)剪力方程：Q(x)=-qx(0≤x＜l)弯矩方程：M(x)=-qx2/2(0≤x＜l)Q图ql-M图-示例3：简支梁受均布荷载作剪力图和弯矩图支反力：RA=ql/2,RB=ql/2剪力方程：Q(x)=ql/2-qx(0＜x＜l)弯矩方程：M(x)=qxl/2-qx2/2(0≤x≤l)注意：分布荷载为均布荷载的区段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；跨中剪力为零，弯矩达到极大。qlxRARBQ(x)M(x)RAQ图ql/2ql/2M图ql2/8支反力：RA=Pb/l,RB=Pa/l剪力方程和弯矩方程AC段：Q(x)=Pb/l(0＜x＜a)M(x)=Pbx/l(0≤x≤a)CB段：Q(x)=Pb/l-P(a＜x＜l)M(x)=Pbx/l-P(x-a)(a≤x≤l)aPlxRARBQ(x)M(x)RAbQ(x)M(x)RAP示例4：简支梁受集中力Q图-+Pb/lPa/lM图Pab/l支反力：RA=-m/l,RB=m/l剪力方程和弯矩方程AC段：Q(x)=-m/l(0＜x＜a)M(x)=-mx/l(0≤x≤a)CB段：Q(x)=-m/l(a＜x＜l)M(x)=-mx/l+m(a≤x≤l)amlxRARBQ(x)M(x)RAbQ(x)M(x)RA示例4：简支梁受集中力偶Q图--m/lM图mb/lma/lm

例简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：1.求支座约束力可利用平衡方程对所求约束力进行校核。(a)

xBAl/2l/2CqFAFB2.建立剪力方程和弯矩方程

AC段：

CB段：

(a)

xBAl/2l/2CqFAFB3．求控制截面内力，绘FS,M图

FS图：AC段内剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值即可CB段内剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值连一水平线即为该段剪力图。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

qlM图：AC段内弯矩方程是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，需求出两个端截面的弯矩。需判断顶点位置，该处弯矩取得极值。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql2五、荷载、剪力和弯矩之间的关系荷载、剪力和弯矩之间的关系BAq(x)QMQ+dQM+dMdx剪力图上某点的切线斜率等于梁上相应点的荷载集度；弯矩图上某点的切线斜率等于剪力图上相应点的剪力值。dxx剪力图、弯矩图规律1、q(x)=0,Q为常数，M为一次函数+-Q>0Q<0Q=0M递增M递减M不变2、q(x)=常数，Q为一次函数，M为二次函数。Q=0时，M取极值q>0q<0Q递增Q递减M下凹M上凸3、集中力P，Q突变，突变值为P，M转折QMPP4、集中力偶m，M突变，突变值为m，Q不变MQmm简易法求支座反力求控制截面的内力利用荷载、剪力和弯矩之间的关系作图2kN/m3kN示例4-1：悬臂梁CAB2m2m求支座反力MCRC求控制截面的内力3kNMBQBQ3kN-7kN-M6kNm16kNm示例4-2：简支梁BAqCa2aqa2求支座反力RARB求控制截面的内力C右截面MC右QC右RBMC左QC左RBqa2C左截面Q(qa)1/35/3-+5/3aM(qa2)25/184/3