全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编

全国各省高中数学比赛初赛试题汇编(含答案)全国各省高中数学比赛初赛试题汇编(含答案)PAGEPAGE41全国各省高中数学比赛初赛试题汇编(含答案)PAGE2018各省数学比赛群集

2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题〔70分〕1、当x[3,3]时，函数f(x)|x33x|的最大值为__18___.2、在ABC中，已知ACBC12,ACBA4,则AC___4____.3、从聚拢3,4,5,6,7,8中随机采用3个不同样样的数，这3个数可以产生等差数列的概率为3_______._____104、已知a是实数，方程x2(4i)x4ai0的一个实根是b〔i是虚部单位〕，则|abi|的值为_____22___.5、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:x2y21的右核心为F，一条过原点O且124倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若FAB的面积为83，则直线的斜1____.率为___26、已知a是正实数，kalga的取值限制是___[1,)_____.7、在周围体ABCD中，ABACADDB5,BC3,CD4该周围体的体积为_____53_______.8、已知等差数列an和等比数列bn知足：a1b13,a2b27,a3b315,a4b435,则anbn___3n12n___.〔nN*〕9、将27,37,47,48,55，71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的布列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边a,b,c均为整数，且abc，则知足条件的三元数组(a,b,c)的个数为__24___.

二、解答题〔本题80分，每题20分〕

11、在ABC中，角A,B,C对应的边辩白为a,b,c，证明：

1〕

2〕bcosCccosBacosAcosB2sin2C2abc12、已知a,b为实数，a2，函数f(x)|lnxa|(0).若xbxf(1)e1,f(2)e.ln2121〕求实数a,b；

2〕求函数f(x)的单调区间；

〔3〕若实数c,d知足cd,cd1，求证：f(c)f(d)

13、如图，半径为1的圆O上有必然点M为圆O上的动点.在射线OM上有一动点B,AB1,OB1.线段AB交圆O于另一点

C，D为线段的OB中点.求线段CD长的取值限制.

14、设是a,b,c,d正整数，a,b是方程x2(dc)xcd0的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab的直角三角形.

2018年全国高中数学联合比赛湖北省初赛试题参照答案

〔高一年级〕

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适合辩白品位评分。一、填空题〔本题总分值64分，每题8分。直接将答案写在横线上。〕1．已知聚拢A{x|xa},B{x|xb},a,bN，且ABN{1}，则ab1．2．已知正项等比数列{an}的公比q1，且a2,a4,a5成等差数列，则a1a4a735．a3a6a923．函数f(x)x1的值域为[0,6]．x24x674．已知3sin22sin213(sincos)22(sincos)21，则soc2()1，．35．已知数列{an}知足：a1为正整数，an1an,an为偶数,2an为奇数,3an1,若是a1a2a329，则a15．6．在△ABC中，角A,B,C的对边长a,b,c知足ac2b，且C2A，则sinA7．4

7．在△ABC中，ABBC2，AC3．设O是△ABC的心里，若AOpABqAC，

则p的值为3．q2

8．设x1,x2,x3是方程x3x10的三个根，则x15x25x35的值为－5．二、解答题〔本大题总分值56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分〕9．已知正项数列{an}知足anan1anan24anan1an213anan1且a11，a28，求{an}的通项公式．解在已知等式两边同时除以anan，得an241an13，11anan1因此1an214(1an11)．an1an4分令bn1an11,则b14,bn14bn，即数列{bn}是以b1＝4为首项,4为公比的等比an数列，所以bnb14n14n.8分所以1an114n,即an1[(4n1)21]an.an12分于是，当n1时,an[(4n11)21]an1[(4n11)21][(4n21)21]an2n1n1[(4k11)21]a1[(4k11)21]，k1k11,n1,因此,ann1[(4k11)21],n2.k116分10．已知正实数a,b知足a2b21，且a3b31m(ab1)3，求m的最小值．解令acos,bsin，0，则2mcos3sin31(cossin)(cos2cossinsin2)1．(cossin1)3(cossin1)3

5分

令xcossin，则x2sin()(1,2]，且4csox21．10分isn2于是x(1x212)123xx32xx22x31m．(x1)32(x1)32(x1)22(x1)2(x1)215分由于函数f(x)31)1在(1,2]上单调递减，因此f(2)mf(1)．2(x2因此，m的最小值为f(2)324．20分211．设f(x)loga(x2a)loga(x3a)，其中a0且a1．若在区间[a3,a4]上f(x)1恒成立，求a的取值限制．解f(x)2ax5a25a2a2)．]loagx(6)alxog[(42由x2a0,得x3a，由题意知a33a，故a3，进而(a3)5a3(a2)0，x3a0,222故函数g(x)x(5a2a2)在区间[a3,a4]上单调递加.245分〔1〕若0a1，则f(x)在区间[a3,a4]上单调递减，因此f(x)在区间[a3,a4]上的最大值为f(a3)loga(2a29a9)．在区间[a3,a4]上不等式f(x)1恒成立，等价于不等式loga(2a29a9)1成立，进而2a29a9a，解得a57或a57．22结合0a1得0a1．10分〔2〕若1a3，则f(x)在区间[a3,a4]上单调递加，因此f(x)在区间[a3,a4]2上的最大值为f(a4)loga(2a212a16).在区间[a3,a4]上不等式f(x)1恒成立，等价于不等式loga(2a212a16)1成立，

进而2a212a16a，即221316013411341，解得a．aa44易知13413，所以不符42合．15分综上可知：a的取值范围为(0,1)．20分

2018年全国高中数学联合比赛湖北省初赛试题

〔高二年级〕

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，

只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适合辩白品位评分。

一、填空题〔本题总分值64分，每题8分。直接将答案写在横线上。〕

1．函数f(x)x1的值域为________________．4xx272．已知3si2n2si2n1，3(sincos)22(sincos)21，则co2(s)_______________．3．已知数列{an}知足：a1为正整数，an1an,an为偶数,若是a1a2a329，2an为奇数,3an1,则a．14．设聚拢S{1,2,3,,12}，A{a1,a2,a3}是S的子集，且知足a1a2a3，a3a25，那么知足条件的子集A的个数为

25．过原点O的直线l与椭圆C：x2a．y21(ab0)交于M,N两点，P是椭圆C上异b2于M,N的任一点．若直线PM,PN的斜率之积为1，则椭圆C的离心率为3_______________．6．在△ABC中，ABBC2，AC3．设O是△ABC的心里，若AOpABqAC，则p的值为_______________．q

7．在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AC1,B1C2,AB1p，则长方体的体积最大时，p为_______________．8．设[x]表示不高出的最大整数，则2012[20122k．xk02k1]二、解答题〔本大题总分值56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分〕9．已知正项数列{an}知足anan1anan24anan1an213anan1且a11，

a28，求{an}的通项公式．

10．已知正实数a,b知足a2b21，且a3b31m(ab1)3，求m的取值限制．

11．已知点E(m,n)为抛物线y22px(p0)内必然点，过E作斜率辩白为k1,k2的两条直线交抛物线于A,B,C,D，且M,N辩白是线段AB,CD的中点．〔1〕当n0且k1k21时，求△EMN的面积的最小值；〔2〕若k1k2〔0,为常数〕，证明：直线MN过定点．

2018年全国高中数学联合比赛湖北省初赛试题参照答案

〔高二年级〕

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适合辩白品位评分。一、填空题〔本题总分值64分，每题8分。直接将答案写在横线上。〕1．函数f(x)x1的值域为[0,6x24x7]．62．已知3sin22sin21，3(sincos)22(sincos)21，则soc2()1．33．已知数列{an}知足：a1为正整数，an,an为偶数,an121,an为奇数,3an若是a1a2a329，则a15．4．设聚拢S{1,2,3,,12}，A{a1,a2,a3}是S的子集，且知足a1a2a3，a3a25，那么知足条件的子集A的个数为185．x2y2交于M,N两点，P是椭圆C上异5．过原点O的直线l与椭圆C：a2b21(ab0)于M,N的任一点．若直线PM,PN的斜率之积为1，则椭圆C的离心率为6．336．在△ABC中，ABBC2，AC3．设O是△ABC的心里，若AOpABqAC，则p的值为3．q2

7．在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AC1,B1C2,AB1p，则长方体的体积最大时，p为123．38．设[x]表示不高出x的最大整数，则201220122k2018．[2k1]k0二、解答题〔本大题总分值56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分〕9．已知正项数列{an}知足anan1anan24anan1an213anan1且a11，a28，求{an}的通项公式．解在已知等式两边同时除以anan1，得1an241an13，anan1因此1an214(1an11)．an1an4分令bn1an11,则b14,bn14bn，即数列{bn}是以b1＝4为首项,4为公比的等比an数列，所以bnb14n14n.8分所以1an114n,即an1[(4n1)21]an.an12分于是，当n1时,ann12n11)21]n21)21]an2[(41)1]an1[(4[(4n1n1[(4k11)21]a1[(4k11)21]，k1k11,n1,因此,ann1k11)22.[(41],nk116分10．已知正实数a,b知足a2b21，且a3b31m(ab1)3，求m的取值限制．解令acos,bsin，0，则2

mcos3sin31(cossin)(cos2cossinsin2)1．(cossin1)3(cossin1)35分令xcossin，则x2sin()(1,2]，且4csox21．10分isn2于是x21)mx(12123xx32xx22x31．(x1)32(x1)32(x1)22(x1)2(x1)215分由于函数f(x)31)1在(1,2]上单调递减，因此f(2)mf(1)．2(x2又f(1)1,f(2)324，所以42m[324,1)．20分2411．已知点E(m,n)为抛物线y22px(p0)内必然点，过E作斜率辩白为k1,k2的两条直线交抛物线于A,B,C,D，且M,N辩白是线段AB,CD的中点．〔1〕当n0且k1k21时，求△EMN的面积的最小值；〔2〕若k1k2〔0,为常数〕，证明：直线MN过定点．解AB所在直线的方程为xt1(yn)m，其中t11，代入y22px中，得k1y22pt1y2pt1n2pm0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有y1y22pt1，进而x1x2t1(y1y22n)2mt1(2pt12n)2m．

则M(pt12nt1m,pt1)．CD

所在直线的方程为xt2(yn)m，其中t2

1

，同理可得N(pt22nt2m,pt2)．

k2

5

分

〔1〕当n

0时，

E(m,0)

，M(pt12

m,pt1)，N(pt22

m,pt2)

，|EM||pt1|1t1

2

，

|EN||pt2|1t2

2．

又k1

k2

1，故

t1

t2

1，于是△

EMN

的面积

S1|EM||EN|1|p2t1t2|(1t12)(1t22)p22t12t22222p24p2，2当且仅当|t1||t2|1时等号成立．所以，△EMN的面积的最小值为p2.10分〔2〕kMNp(t1t2)1，2t22n(t1t2)p(t1)(t1t2)npMN所在直线的方程为ypt11[x2nt1m]，n(pt1(t1t2)p即y(t1t2n)pt1t2xm．15分p又k1k211，即t1t2t1t2，代入上式，得y(tt2n)pt1t2xm，t1t21p即(t1t2)(ypxny)m．pp当yp0时，有xny0，即y为方程的一组解，mnpxm所以直线MN恒过定点(mn,p)．20分

2018年上海市高中数学比赛

一、填空题〔本题总分值60分，前4小题每题7分，后4小题每题8分〕

1.如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1,它的6条对角线又A1围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2,这样连续下去,则所有这些B1A2F1F2六边形的面积和是.B2E22.已知正整数a1,a2,aj3,1ij10,则a10C1E1,a10知足:C2ai2D2的最小或许值是.D13.若tantantan17，cotcotcot4,cotcot65cotcotcotcot17.，则tan54．已知关于x的方程lgkx2lgx1AD仅有一个实数解，则实数k的取值限制是.F

5．如图，AEF是边长为x的正方形ABCD的内接三角形，已知BCEAEF90，AEa,EFb,ab，则x.

6．方程2m3n3n12m13的非负整数解m,n.

7．一个口袋里有5个大小同样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不同样样的概率

是.〔用数字作答〕

8．数列an界说以下：a11,a22,an22n1nan,n1,2,.若nan12n2am22011，则正整数m的最小值为.2012

二、解答题9．〔本题总分值14分〕如图，在平行四边形ABCD中，ABx，BC1，对角线AC与BD的夹角BOC45，记直线AB与CD的间隔为h(x)．求h(x)的表达式，并写出x的取值限制．DCOAB10．〔本题总分值14分〕给定实数a1，求函数f(x)(asinx)(4sinx)的最小1sinx值．

11．〔本题总分值16分〕正实数x,y,z知足9xyzxyyzzx4，求证：4〔1〕xyyzzx；

〔2〕xyz2．

12．〔本题总分值16分〕给定整数n(3)，记f(n)为聚拢1,2,,2n1的知足以下

两个条件的子集A的元素个数的最小值：

〔a〕1A,2n1A；

〔b〕A中的元素〔除1外〕均为A中的另两个〔可以同样〕元素的和．

〔1〕求f(3)的值；

〔2〕求证：f(100)108．

2018年上海市高中数学比赛答案

1、932、9243、114、,045、a26、3,0,2,2b)2a2(a7、28、402559．解由平行四形角平方和等于四条的平方和得OB2OC21(AB2BC2)1(x21)．①22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕在△OBC中，由余弦定理BC2OB2OC22OBOCcosBOC，因此OB2OC22OBOC1，②由①，②得OBOCx21③2．2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔5分〕因此SABCD4SOBC41OBOCsinBOC22OBOCx21，2故ABh(x)x21，2因此h(x)x21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔10分〕2x由③可得，x210，故x1．因OB2OC22OBOC，合②，③可得

121)x21，2(x222解得〔合x1〕1x2．1上所述，h(x)x21，1x21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔14分〕2x10．解f(x)(asinx)(4sinx)1sinx3(a1)a2．1sinx1sinx当1a7，03(a1)2，此33(a1)f(x)1sinxa223(a1)a2，1sinx且当sinx3(a1)11,1不等式等号成立，故fmin(x)23(a1)a2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔6分〕当a7，3(a1)2，此“耐克”函数yt3(a1)在0,3(a1)3t内是减，故此fmin(x)f(1)23(a1)a25(a1)．2223(a1)a2,1a7;上所述，fmin(x)5(a1)73⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔14分〕,2a.311．〔1〕txyyzzx，由平均不等式333xyyzzx2xyz3(xy)(yz)(zx)23．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔4分〕于是49xyzxyyzzx9t33t2，因此3t23t23t20，而3t23t20，因此3t20，即t2，进而3xyyzzx4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔10分〕3〔2〕又因(xyz)23(xyyzzx)，

因此(xyz)24，故xyz2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔16分〕12．解〔1〕聚拢A1,2,,231，且A足〔a〕，〔b〕．1A,7A．由于1,m,7m2,3,,6不足〔b〕，故A3．

又1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7,

1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不知足〔b〕，故A4．而聚拢1,2,4,6,7足〔a〕，〔b〕，因此f(3)5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔6分〕〔2〕开始明f(n1)f(n)2,n3,4,．①事上，若A1,2,,2n1，足〔a〕，〔b〕，且A的元素个数f(n)．令BA2n12,2n11，由于2n122n1，故Bf(n)2．又2n122(2n1),2n111(2n12)，因此，聚拢B1,2,,2n11，且B足〔a〕，〔b〕．进而

f(n1)Bf(n)2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔10分〕

其次证明：

f(2n)f(n)n1,n3,4,．②事上，A1,2,,2n1足〔a〕，〔b〕，且A的元素个数f(n)．令BA2(2n1),22(2n1),,2n(2n1),22n1，由于2(2n1)22(2n1)2n(2n1)22n1，因此B1,2,,22n1，且Bf(n)n1．而2k1(2n1)2k(2n1)2k(2n1),k0,1,,n1，22n12n(2n1)(2n1)，进而B足〔a〕，〔b〕，于是由①，②得

重复利用②，③可得

f(2n)Bf(n)n1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔14分〕

f(2n1)f(n)n3．③

f(100)f(50)501f(25)25151f(12)12377f(6)6192f(3)3199108．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔16分〕

2018年全国高中数学联合比赛〔四川初赛〕

一、单项选择题〔本大题共6个小题，每题5分，共30分〕1、设聚拢Sx|x25x60，Tx|x2|3，则ST=〔〕A、{x|5x1}B、{x|5x5}C、{x|1x1}D、{x|1x5}2、正方体ABCDA1B1C1D1中BC1与截面BB1D1D所成的角是〔〕A、B、C、D、26433、已知f(x)x22x3，g(x)kx1，则“|k|2”是“f(x)g(x)在R上恒成立”的〔〕A、富饶但不用要条件B、必要但不富饶条件C、充要条件D、既不富饶也不用要条件4、设正三角形1的面积为S1，作1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为2，面积为S2，这样下去作一系列的正三角形3,4,，其面积相映为S3,S4,，设S11,TnS1S2Sn，则limT=〔〕nn64C、3D、2A、B、2535、设抛物线y24x的核心为F，极点为O，M是抛物线上的动点，则|MO|的最大值|MF|为〔〕323C、4D、3A、B、3336、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r的一

个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为〔〕

A、rB、2rC、312rD、315r二、填空题〔本大题共6个小题，每题5分，共30分〕ADFEBC7、如图，正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD订交于F，则FDDE的值是．8、(x2x1)6的张开式中的常数项是．〔用详尽数字作答〕x9、设等比数列{an}的前n项和为Sn(an1)2．，知足Sn，则S20的值为410、不高出2018的惟有三个正因数的正整数个数为．11、已知锐角A,B知足tan(AB)2tanA，则tanB的最大值是．12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde，知足条件“abcde”的概率是．三、解答题〔本大题共4个小题，每题20分，共80分〕13、设函数f(x)sinx3cosx1，〔I〕求函数f(x)在[0,]上的最大值与最小值；2R恒成立，求bcosc的值．〔II〕若实数a,b,c使得af(x)bf(xc)1对任意xa

14、已知a,b,cR，知足abc(abc)1，〔I〕求S(ac)(bc)的最小值；〔II〕当S取最小值时，求c的最大值．

15、直线ykx1与双曲线x2y21的左支交于A、B两点，直线l经过点(2,0)和AB

的中点，求直线l在y轴的截距b的取值限制．

16、设函数fn(x)xn(1x)2在[1,1]上的最大值为an〔n1,2,3,〕．2〔I〕求数列{an}的通项公式；

〔II〕求证：对任何正整数n(n2)，都有an1成立；2)2(n〔III〕设数列{an}的前n项和为Sn，求证：对任意正整数n，都有Sn7成立．162018年全国高中数学联合比赛〔四川初赛〕参照解答一、选择题〔本大题共6个小题，每题5分，共30分〕1、C2、A3、A4、B5、B6、D二、填空题〔本大题共6个小题，每题5分，共30分〕38、59、010、1411、227、412、215三、解答题〔本大题共4个小题，每题20分，共80分〕13、解：〔I〕由条件知f(x)2sin(x)1，〔5分〕3由0x知，x51sin(x)136，于是23123因此x时，f(x)有最小值212；22当x时，f(x)有最大值2113．〔10分〕6〔II〕由条件可知

2asin(x)2bsin(xc)ab1对任意的xR恒成立，33∴2sin()2sin()cos2cos()sin(1)0axbx3cbx3cab3∴2(abcos)sin(x)2sinccos()(ab1)0cbx33

abcosc0∴bsinc0,〔15分〕ab10由bsinc0知b0或sinc0。若b0时，则由abcosc0知a0，这与ab10矛盾！若sinc0，则cosc1〔舍去〕，cosc1，解得1bcosc．〔20分〕,(21)，因此，abc12ka114、解：〔I〕由于(ac)(bc)abacbcc2ab(abc)cab〔5分〕ab2ab12，等号成立的条件是ab1，ab当ab1,c21时，S可取最小值2．〔10分〕〔II〕当S取最小值时，ab1，进而c(abc)1，即c2(ab)c10