第章朴素集合论课件

前言学习这门课程有两大任务：学习这门课程的知识、学习逻辑推理的方法。

一、首先我们要明确：拓扑学研究的是什么？

拓扑学研究的对象就是高度抽象了的这些数学空间的具有最基础结构的空间。它们只具有最基本的数学要求：开集。我们把这样的空间称为拓扑空间。

拓扑学以拓扑空间为基本研究对象，运用集合运算的知识，延拓出闭集、导集、闭包、序列、基、子基等概念。

二、其次，只有掌握了这门课程的证明方法（逻辑推理的方法），才能称得上学好了这门课程。

学习这门课程，提醒大家注意以下几点：

（1）熟练掌握证明集合运算的常用方法。

如：要证明A

B，A=B，A为开集(A∈T)，f连续，A为闭集，x∈d(A)，x∈

收敛，X为间，正则空间，正规空间，完全正则空间，X为紧致空间等，应从哪儿入手？

（2）熟练掌握各种定义、定理，因为证明某个命题，往往是从定义出发去证明的。（3）证明某个命题，要证到什么程度才算证完，要心中有数。证明的开头应如何写？

（4）每一步推理均要有根有据，根据只能是前面的定义、定理，有时也可参考一下集合的文氏图。

（5）证明时用到的根据切不可将数学分析中的结论想当然地引入，因为数学分析中的实数空间是非常完美的度量（拓扑）空间，既是的，又是的，…。而要证的命题不一定具备这样的条件。第1章集合论初步

在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算，关系，映射以及集合的基数等方面的知识．§1．1集合的基本概念

集合指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体．一、集合的概念

1.元素、空集、单点集2.集合的表示法：3.常见的集合与元素关系的记号设A，B是两个集合．如果，A

B，我们则称A为B的子集；如果A是B的子集，但A又不等于B，即A

B，A≠B，我们称A为B的真子集.(2)子集、真子集注:设X是一个集合，我们常用P(X)表示X的所有子集构成的集族，称为集合X的幂集．例如，集合{1,2}的幂集是P={{1},{1,2},{2},

}我们常常需要讨论以集合作为元素的集合，这类集合常称为集族.例如，A={{1},{1,2},{1,2,3}}是一个集族.它的三个元素分别为:{1},{1,2},{1,2,3}二、集族

三、幂集§1.2集合的基本运算一、并、交、补（差）二、运算定律（5）DeMongan律

A-（B∪C）＝（A-B）∩（A-C）

A-（B∩C）＝（A-B）∪（A-C）定义1.2.2设X是一个基础集．对于X的任何一个子集A，我们称X－A为A（相对于基础集X而言）的补集或余集，并且记作CA，为了方便起见有时也记作．我们应当提醒读者，补集的定义与基础集的选取有关．基础集§1．3关系

定义1．3．1设X和Y是两个集合．集合

{（x，y）|x∈X，y∈Y}称为X与Y的笛卡儿积，记作X×Y，读为X叉乘Y．一般说来集合X与集合Y的笛卡儿积X×Y完全不同于集合Y与集合X的笛卡儿积Y×X．1、笛卡儿积X×Y定义1.3.3设X，Y是两个集合．如果R是X与Y的笛卡儿积X×Y的一个子集，即R

X×Y，则称R是从X到Y的一个关系．定义1.3.4设R是从集合X到集合Y的一个关系，即R

X×Y．如果(x，y）∈R，则我们称x与y是R相关的，并且记作xRy．2、关系如果A

X，则Y的子集{y∈Y|存在x∈A使得xRy}称为集合A对于关系R而言的象集，或者简单地称为集合A的象集，或者称为集合A的R象，并且记作R（A），R（X）称为关系R的值域．定义1.3.5设R是从集合X到集合Y的一个关系，即R

X×Y．这时笛卡儿积Y×X的子集

{（y，x）∈Y×X|xRy}是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且记作．3、关系的运算（1）、逆、原象设RX×Y，SY×Z．则

SR＝{（x，z）∈X×Y|存在y∈Y使得xRy并且ySz}（2）复合定理1.3.1设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系，T是从集合Z到集合U的一个关系．则：（3）运算性质定理1.3.2设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系．则对于X的任意两个子集A和B，我们有：（1）R（A∪B）＝R（A）∪R（B）；（2）R（A∩B）R（A）∩R（B）；（3）（S

R）（A）＝S(R(A))．习题

设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系．则对于X的任意两个子集A和B以及Z中的任意一个子集C，我们有：§1．4等价关系定义1.4.1设X是一个集合．从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系．集合X中的关系{（x，x）|x∈X}称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△（X）或△．1、恒同关系

2、等价关系集合X中的一个关系如果同时是自反，对称，和传递的，则称为集合X中的一个等价关系．i)关系R是自反的△(X)

R，

对于任何x∈X，有xRx；ii)关系R是对称的R=R-1

对于任何x，y∈X，如果xRy则yRx；iv)关系R是传递的R

R

R，

任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz．定义1.4.3设R是集合X中的一个等价关系．集合X中的两个点x，y，如果满足条件：xRy，则称x与y是R等价的，或简称为等价的；3、等价类、商集对于每一个x∈X，集合X的子集：

{y∈X|yRx}称为x的R等价类或等价类，常记作或[x]，

即：[x]={y∈X|yRx}

集族{

|x∈X}称为集合X相对于等价关系R而言的商集，记作X／R．即：X／R＝{

|x∈X}Rx][并且任何一个y∈都称为R等价类的一个代表元素；定理1.4.1设R是非空集合X中的一个等价关系．则：

(1)如果x∈X，则x∈，因而；

(2)对于任意x，y∈X，或者=，或者证明（1）设x∈X，由于R是自反的，4、等价类的性质因此x∈

,∴≠．

所以xRx，设z∈[x]∩[y].此时有zRx,且zRy．由于R是对称的，所以xRz．又由于R是传递的，所以xRy．（2）对于任意x，y∈X，如果对于任何一个t∈，有tRx，由上述xRy和R的传递性可见tRy，即t∈．这证明在初等数论中我们早就知道整数模（素数）p的等价关系将整数集合Z分为互不相交的等价类，每一个等价类记作，称为整数x的模p同余类．同理可证．因此=

(注意:要证或者…或者…,应从以下入手:否定掉一个,去证另一个)

作业:熟练掌握等价关系,等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的构成§1．5映射定义1.5.1设F是从集合X到集合Y的一个关系．如果对于每一个x∈X存在唯一的一个y∈Y使得xFy，则称F是从X到Y的一个映射，并且记作F：X→Y．换言之，F是一个映射，如果对于每一个x∈X：（1）存在y∈Y，使得xFy；（2）如果对于∈Y有和，则．1、定义2.单射、满射、双射（一一映射）f：X→Y是一个映射对于每一个x∈X存在唯一

的一个y∈Y使得xfy.f:X→Y是一个满射f是一映射且f（X）=Yf:X→Y是一个单射象、原象、复合、逆、定义域、值域常值映射、恒同映射定理1.5.2设X和Y是两个集合，f:X→Y．如果A，B

Y则（1）（A∪B）＝（A）∪（B）；（2）（A∩B）＝（A）∩（B）；（3）（A-B）＝（A）-（B）．3、性质映射的原象保持集合的并，交，差运算．

映射的象的并，交，差运算．P23习题1，2.

P23习题2(2、4).

P23习题1(1)、2(3).

P23习题1(2、3).

定理1.3.2

定理1.5.3设X和Y是两个集合．又设f:X→Y．如果f是一个一一映射，则便是一个从Y到X的映射（因此我们可以写：Y→X），并且是既单且满的．此外我们还有：和定理1.5.3及P26习题3、9定义1．5．4设X和Y是两个集合，A是X的一个子集．映射f:X→Y和g：A→Y如果满足条件g

f即对于任何a∈A有f（a）=g（a），则称g是f的限制，也称f是g的一个扩张，记作．特别地，恒同映射：X→X在X的子集A上的限制：A→X称为内射．这时我们有对于任何a∈A，(a)=a．限制定义1.5.5设是n＞0个集合，1≤i≤n．从笛卡儿积到它的第i个坐标集的投射（或称第i个投射）：X→

定义为对于每一个投射、自然投射定义1.5.6设R是集合X中的一个等价关系．从集合X到它的商集X/R的自然投射：p:X→X/R定义为对于每一个x∈X，p（x）=．作业:熟练掌握本节的所有定义与定理注意定理1.3.2(2)与定理1.5.2的区别熟练记忆P.23习题1.2与定理1.5.2复习

1、等价关系集合X中的一个关系如果同时是自反，对称，和传递的，则称为集合X中的一个等价关系．i)关系R是自反的△(X)

R，

对于任何x∈X，有xRx；ii)关系R是对称的R=R-1

对于任何x，y∈X，如果xRy则yRx；iv)关系R是传递的R

R

R，

任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz．2、等价类、商集1）对于每一个x∈X，x的R等价类

[x]={y∈X|yRx}

3）集合X相对于等价关系R而言的商集

X／R＝{

|x∈X}定理1.4.1设R是非空集合X中的一个等价关系．则：(1)如果x∈X，则x∈，因而；

(2)对于任意x，y∈X，或者=，或者4）、等价类的性质3、映射1）、定义f：X→Y是一个映射对于每一个x∈X存在唯一

的一个y∈Y使得xfy.f:X→Y是一个满射f（X）=Yf:X→Y是一个单射定理1．5．2设X和Y是两个集合，f:X→Y．如果A，B

Y，则（1）（A∪B）＝（A）∪（B）；（2）（A∩B）＝（A）∩（B）；（3）（A-B）＝（A）-（B）．2）、性质映射的原象保持集合的并，交，差运算．

映射的象的并，交，差运算．P23习题1，2.

定理1.5.3设X和Y是两个集合．又设f:X→Y．如果f是一个一一映射，则便是一个从Y到X的映射（因此我们可以写：Y→X），并且是既单且满的．此外我们还有：和定理1.5.3及P23习题3、9投射、自然投射定义1.5.2设X和Y是两个集合，F：X→Y(读做F是从X到Y的一个映射)．(记住这个记号).对于每一个x∈X，使得xFy的唯一的那个y∈Y称为x的象或值，记作F（x）；对于每一个y∈Y，如果x∈X使得xFy（即y是x的象），则称x是y的一个原象．（注意：y∈Y可以没有原象，也可以有不止一个原象．）由于映射本身便是关系，因此，如果F是从集合X到集合Y的一个映射，那么：（1）对于任何A

X，象F（A）有定义，并且F(A)={F(x)|x∈A}象、原象、复合、逆、定义域、值域

(2)对于任何B

Y，原象（B）有定义，并且（B）={x∈X|F(x)∈B}(注意:

(x)与

({x})的异同,前者不一定有意义,而后者总存在；前者表示元素，后者表示集合)

（3）如果Z也是一个集合并且G：Y→Z，则关系的复合G

F作为一个从X到Z的关系有定义；(4)作为从Y到X的一个关系有定义，但一般说来不是一个从Y到X的映射(这要看F是否是一一映射)；（5）F的定义域有定义，并且它就是X；(意味着X中的每个元素都必须有象)（6）F的值域有定义，并且它就是F（X）．(F(X)不一定充满Y)定理1.5.1设X，Y和Z都是集合．如果F：X→Y和G：Y→Z，则G

F：X→Z；并且对于任何x∈X，有

G

F（x）＝G(F(x))(这实际上是映射的积的本质)今后我们常用小写字母f，g，h，……表示映射．定义1．5．3设X和Y是两个集合，X→Y．如果Y中的每一个点都有原象（即f的值域为Y，亦即f（X）=Y），则称f是一个满射，或者称f为一个从X到Y上的映射；如果X中不同的点的象是Y中不同的点（即对于任何，如果，则有，则称f是一个单射；如果f既是一个单射又是一个满射，则称f为一个既单且满的映射，或者一一映射．2、单射、满射、一一映射集合X中的恒同关系△（X）是从X到X的一个一一映射，我们也常称之为（集合X上的）恒同映射或恒同，有时也称之为单位映射，并且也常用记号或i：X→X来表示它．根据定义易见，对于任何x∈X，有i(x)=x．概言之，恒同映射便是把每一个点映为这个点自身的映射．如果f（X）是一个单点集，则称f是一个常值映射，并且当f（X）={y}时，我们也说f是一个取常值y的映射．常值映射、恒同映射定理1．5．3设X和Y是两个集合．又设f:X→Y．如果f是一个—一映射，则便是一个从Y到X的映射（因此我们可以写：Y→X），并且是既单且满的．此外我们还有：和证明(略)定理1．5．4设X，