山东省德州市2017届高三下学期二模考试数学理试题Word版含

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山东省德州市2017届高三放学期4月二模考试

高三数学（理科）试题

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选

项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.

1.设全集UR，会合2，1x1，则(U)Mx|xx20Nx|( )2INeM2（）A．2,0B．2,1C．0,1D．0,22.若复数(1mi)(3i)（i是虚数单位，mR）是纯虚数，则复数m3i的模等于（）1iA．1B．2C．3D．43.rr60rrrr已知平面向量a和b的夹角为，a(2,0)，|b|1，则|a2b|（）A．20B．12C．43D．234.已知cos3)72，那么（），cos(，且05102A．B．C．4D．1263某产品的广告开支x万元与销售额y万元的统计数据如表：

广告开支x2345销售额y26394954依照上表可得回归方程$a，据此模型展望，广告开支为6万元时的销售额为（）y万元A．B．C．D．726.以下说法正确的选项是（）A．命题“xR，使得x2x10”的否认是：“xR，x2x10”B．命题“若x23x20，则x1或x2”的否命题是：“若x23x20，则x1或x2”

...

C．直线l1：2axy10，l2：x2ay20，l1//l21的充要条件是a2D．命题“若xy，则sinxsiny”的逆否命题是真命题7.执行以以以以下列图的程序框图，则输出的结果是（）

A．7B．8C．9D．108.已知双曲线x2y21（a，b0）的两条渐进线与抛物线y24x的准线分别交于a2b2A，B两点，O为坐标原点，若SAOB23，则双曲线的离心率e（）A．3B．7C．2D．1322

9.已知某空间几何体的三视图以以以以下列图，则该几何体的体积为（）

...

A．40B．34C．1042D．6433333|lnx|,0xe,2xb（bR）的四个实根从10.已知函数f(x)x),e设方程f(x)f(2ex2e,小到大依次为x1，x2，x3，x4，对于知足条件的任意一组实根，以下判断中必然成立的是（）A．x1x22B．e2x3x4(2e1)2C．0(2ex3)(2ex4)1D．1x1x2e2

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11.对于x的不等式|x2||x8|a在R上恒成立，则a的最大值为．x3与y112.已知(x,y)||x|1,|y|1，A是曲线yx2围成的地区，若向地区上随机投一点P，则点P落入地区A的概率为．3xy60,13.设x，y知足拘束条件xy20,则目标函数zaxby（a0，b0）的最x0,y0,大值为10，则a2b2的最小值为．14.现有12张不同样样样的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能够时同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同样样样取法的种数为．...

15.若对任意的xD，均有g(x)f(x)h(x)成立，则称函数f(x)为函数g(x)到函数

h(x)在区间D上的“任性函数”．已知函数f(x)kx，g(x)x22x，

h(x)(x1)(lnx1)，且f(x)是g(x)到h(x)在区间1,e上的“任性函数”，则实数k的

取值范围是．

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.）

16.已知函数f(x)4sinxcos(x)3，x0,.36

（Ⅰ）求函数f(x)的值域；

（Ⅱ）已知锐角ABC的两边长a，b分别为函数f(x)的最小值与最大值，且ABC的外

接圆半径为32，求ABC的面积．417.已知等比数列an的前n项和为Sn，且6Sn3n1a（aN）．（Ⅰ）求a的值及数列an的通项公式；（Ⅱ）设bn(1)n1(2n22n1)，求bn的前n项和Tn．(loga2)2(logan1)23n318.以以以以下列图的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后获取的，其中BAEGAD45，AB2AD2，BAD60．

（Ⅰ）求证：BD平面ADG；

（Ⅱ）求直线GB与平面AEFG所成角的正弦值．

来自某校一班和二班的共计9名学生志愿服务者被随机平均分派到运送矿泉水、打扫卫

...

生、保持序次这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位最罕有一名一班志愿者的概率是20．21（Ⅰ）求打扫卫生岗位恰好一班1人、二班2人的概率；（Ⅱ）设随机变量X为在保持序次岗位服务的一班的志愿者的人数，求X散布列及希望．20.已知函数f(x)1x22alnx(a2)x，aR．2（Ⅰ）当a1时，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）当a0时，议论函数f(x)单调性；（Ⅲ）可否存在实数a，对任意的m，n(0,)，且mn，有f(m)f(n)a恒成mn

立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明原因．

21.已知椭圆C：x2y21(ab0)经过点(1,23)，左右焦点分别为F1、F2，圆a2b23x2y22与直线xyb0订交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，Q为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交

椭圆C于M、N两个不同样样样的点．

|MN|（1）试一试究的值可否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明原因．

（2）记QF2M的面积为S1，OF2N的面积为S2，令SS1S2，求S的最大值．

..

高三数学（理科）试题答案

一、选择题

1-5:ACDCA6-10:BDDBB二、填空题12.52515.e2,213.4813三、解答题

16.解：（Ⅰ）f(x)4sinx(1cosx3sinx)32sinxcosx23sin2x22sin2x3cos2x2sin(2x)，3∵0x，∴2x2，6333∴3sin(2x)1，23∴函数f(x)的值域为3,2．（Ⅱ）依题意a3，b2，ABC的外接圆半径r32sinAa34，2r322sinBb2223，cosB12r323，cosA3，32sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB6，3∴SABC1absinC12362．22317.解：（Ⅰ）∵等比数列an知足6Sn3n1a（aN），n1时，6a19a；n2时，6an6(SnSn1)3n1a(3na)23n.∴ann11时也成立，∴169a，解得a3，3，n

.

3

6，3

...

∴an3n1.

(1)n1(2n22n1)(1)n1(2n22n1)n111.（Ⅱ）bn2)2(log3an2n2(n2(1)2(n1)2(log3an1)1)n当n为奇数时，Tn(11(11111122)222)⋯2(n21)2；123n1)(n当n为偶数时，Tn(11)(11)⋯11112.2(n(n123n1)1)综上，Tn1(1)n1(n1．1)218.（Ⅰ）证明：在BAD中，∵AB2AD2，BAD60．由余弦定理BD2AD2AB22ABADcos60，BD3，AB2AD2DB2，

∴ADDB，在直平行六面体中，GD平面ABCD，DB平面ABCD，∴GDDB，又ADIGDD，∴BD平面ADG．（Ⅱ）解：如图以D为原点成立空间直角坐标系Dxyz，∵BAEGAD45，AB2AD2，∴A(1,0,0)，B(0,3,0)，E(0,3,2)，G(0,0,1)，uuur(1,3,2)uuuruuur3,1)，AE，AG(1,0,1)，GB(0,r(x,y,z)，设平面AEFG的法向量nruuurnAEx3y2z0,1，得y3，z1，ruuurxz0,令x3nAGr(1,3,1)，∴n3设直线GB和平面AEFG的夹角为，

...

uuurruuurr21GBn，∴sin|cosGB,n||uuurr|7|GB||n|所以直线GB与平面AEFG所成角的正弦值为21．7

19.解：（Ⅰ）记“最少一名一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，则A的对峙事

件为“没有一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”，

设有一班志愿者x个，1x9，那么P(A)1C93x20，解得x5，即来自一班的C9321志愿者有5人，来自二班志愿者4人；记“打扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人”为事件C，那么P(C)C51C425，C9314所有打扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人的概率是5．14（Ⅱ）X的所有可能值为0,1，2,3．P(X1)C51C425C52C4110C53C405C93，P(X1)C93，P(X3)，1421C9342所以X的散布列为X0123P1510521142142E(X)0115210355．21142142320.解：（Ⅰ）当a1时，

...

f(x)1x22lnx3x，f'(x)x23x23x2(x1)(x2)．2xxx当0x1或x2时，f'(x)0，f(x)单调递加；当1x2时，f'(x)，f(x)单调递减，所以x1时，f(x)极大值f(1)5；2x2时，f(x)极小值f(2)2ln24．（Ⅱ）当a0时，f'(x)x2a(a2)x2(a2)x2a(x2)(xa)，xxx①当a2，即a2时，由f'(x)0可得0x2或xa，此时f(x)单调递加；由f'(x)0可得2xa，此时f(x)单调递减；②当a2，即a2时，f'(x)0在(0,)上恒成立，此时f(x)单调递加；③当a2，即2a0时，由f'(x)0可得0xa或x2，此时f(x)单调递增；由f'(x)0可得ax2，此时f(x)单调递减．综上：当a2时，f(x)增区间为(0,2)，(a,)，减区间为(2,a)；当a2时，f(x)增区间为(0,)，无减区间；当2a0时，f(x)增区间为(0,a)，(2,)，减区间为(a,2)．（Ⅲ）假定存在实数a，对任意的m，n(0,)，且mn，有f(m)f(n)a恒成m1立，没关系设mn0，则由f(m)f(n)a恒成立可得：f(m)amf(n)an恒成立，m1令g(x)f(x)ax，则g(x)在(0,)上单调递加，所以g'(x)0恒成立，

即f'(x)a0恒成立，

∴x2a(a2)a0x22x2a0，x，即x0恒成立，又x∴x22x2a0在x0时恒成立，

...

∴a1(x22x)2min

，

2

∴当a1，n(0,)，且mn，有f(m)f(n)a恒成立.时，对任意的mm1221.解：（Ⅰ）由已知可得：圆心到直线xyb0的距离为1，即b1，所以b2，2又椭圆C经过点(1,23)，所以141，获取a3，3a23b2所以椭圆C的标准方程为x2y21．32（Ⅱ）（1）设Q(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，OQ的方程为xmy，则MN的方程为xmy1.xmy,x26m2,x026m2,由x2y2得2m23即2m231,y26,26.322m2y02m233所以|OQ|1m2|y0|61m2，2m23xmy1,由x2y2，得(2m23)y24my40，321,所以y1y24m，y1y24，2m22m233|MN|1m2|y1y2|1m2(y1y2)24y1y21m216m216(2m23)22m231m2431m243(1m2)，2m232