2021-2022学年湖南省湘潭市轧桥中学高一数学理测试题含解析

2021-2022学年湖南省湘潭市轧桥中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的图象关于直线x=对称C．函数f（x）在区间上（﹣，）是增函数D．由函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可得到函数f（x）的图象参考答案：C【考点】正弦函数的图象；命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】A．根据三角函数的周期公式进行计算．B．根据三角函数的对称性进行判断．C．根据三角函数的单调性进行判断．D．根据三角函数的图象关系进行判断．【解答】解：A．f（x）的最小正周期T==π，故A错误，B．当x=时，f（）=3sin（2×﹣）=3sin（π﹣）=3sin=≠±3，不是最值，故f（x）的图象关于直线x=不对称，故B错误，C．当﹣＜x＜时，﹣＜2x﹣＜，则y=sinx在（﹣，）上单调递增函数，故C正确，D．函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣），则不能得到函数f（x）的图象，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．2.已知在区间上是增函数，则的范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.若，，则的表达式为

A．

B．

C．

D．参考答案：B4.设f(x)=，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.函数的定义域是（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略6.若是第一象限角，则是(

)

第一象限角

第二象限角

第三象限角

第四象限角参考答案：B7.已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时f（x）的解析式是f（x）=(

)A．﹣x（x﹣1） B．﹣x（x+1） C．x（x﹣1） D．x（x+1）参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用奇函数的性质即可得出．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，∵当x＞0时f（x）=x（1﹣x），∴f（﹣x）=﹣x（1+x），∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x（1+x），故选：D．【点评】本题考查了奇函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.设全集U是实数集R，，则图中阴影部分所表示的集合是

（▲）A． B．C． D．参考答案：C略9.函数的定义域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C10.已知向量则（）A.23

B.57

C.63

D.83参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知下列四个命题：①函数满足：对任意都有；②函数不都是奇函数；③若函数满足，且，则；④设、是关于的方程的两根，则，其中正确命题的序号是__________。参考答案：①，③，④略12.若等差数列满足，则当___________时，的前项和最大.参考答案：8略13.（4分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是_________（结果用数值表示）．参考答案：14.设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为

．参考答案：1【考点】7F：基本不等式．【分析】由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，可得z=x2﹣3xy+4y2．于是==，利用基本不等式即可得到最大值，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．于是+﹣==，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2．∴===1，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．∴+﹣==≤1，当且仅当y=1时取等号，即+﹣的最大值是1．故答案为1．15.已知函数，则__________．参考答案：【分析】根据函数表达式得到函数的周期，得到，进而得到结果.【详解】依题意可得，其最小正周期，且，故.故答案为：.【点睛】这给题目考查了正弦函数的周期的求法和应用，属于基础题.16.若集合A={},B={

参考答案：[,1]17.若函数是函数的反函数，其图象过点，且函数在区间上是增函数，则正数的取值范围是_____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，．（1）求tanθ的值；（2）求的值．参考答案：【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由，．利用二倍角公式即可出tanθ的值；（2）根据tanθ的值求出sinθ和cosθ，利用二倍角和和与差的公式化简可求出的值．【解答】解：（1）由tan2θ=，．可得：tan2θ﹣tanθ﹣=0，∵．∴tanθ=．（2）由（1）可知tanθ=，即，sin2θ+cos2θ=1，可得：sinθ=，cosθ=．那么===2．19.设全集为R,集合，．

（1）分别求，；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）已知，若，求实数的取值集合．参考答案：解析:（1）A∩B＝x∣3≤x﹤6

———3分

或，或或———8分

（2）如图示（数轴略）

解之得20.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn，且成等差数列。（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值。参考答案：（1）；（2）最大项的值为,最小项的值为试题分析：(1)根据成等差数列,利用等比数列通项公式和前项和公式,展开.利用等比数列不是递减数列,可得值,进而求通项.(2)首先根据(1)得到,进而得到,但是等比数列的公比是负数,所以分两种情况:当的当n为奇数时，随n的增大而减小，所以;当n为偶数时，随n的增大而增大，所以，然后可判断最值.试题解析：（1）设的公比为q。由成等差数列，得.即，则.又不是递减数列且，所以.故.（2）由（1）利用等比数列的前项和公式，可得得当n为奇数时，随n的增大而减小，所以，故.当n为偶数时，随n的增大而增大，所以，故.综上，对于，总有，所以数列最大项的值为，最小值的值为.考点：等差中项,等比通项公式;数列增减性的讨论求最值.21.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求A；（2）点M在BC边上，且，，求.参考答案：(1).(2).【分析】(1)本题首先可通过边角互换将转化为，然后将其化简为，即可计算出的值，最后得出结果；(2)通过可以计算出的长度，然后借助余弦定理即可得出结果。【详解】（1）因为，所以，即，整理得，因为，所以，解得.（2）由题意得，，因为，所以，即，由余弦定理可知，即，解得（舍去），即.【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查解三角形的相关性质，考查了正弦定理以及余弦定理的灵活应用，考查了推理能力，是中档题。22.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.（1）若M为BC边的中点，求证:;（2）若，求△ABC面积的最大值.参考答案：（1）详见解析；（2）1.【分析】（1）证法一：根据为边的中点，可以得到向量等式，平方，再结合余弦定理，可以证明出等式；证法二：分别在和中，利用余弦定理求出和的表达式，利用，可以证明出等式；（2）解法一：解法一：记面积为．由题意并结合（1）所证结论得：，利用已知，再结合基本不等式，最后求可求出面积的最大值；解法二：利用余弦定理把表示出来，结合重要不等式，再利用三角形面积公式可得，令设，利用辅助角公式，可以求出的最大值，即可求出面积的最大值.【详解】（1）证法一：由题意得

①

由余弦定理得

②将②代入①