2021年湖南省长沙市资福乡联校高三数学理模拟试卷含解析

2021年湖南省长沙市资福乡联校高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知满足，则下列选项中不一定能成立的是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C2.若均为单位向量，，，，则的最大值是A.2

B.

C.

D.1参考答案：A3.已知（其中），若的图象如图（1）所示，则函数的图象是()

参考答案：A4.已知等比数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法一定成立的是（

）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则参考答案：C当时，，又当时，，当时，，，即；当时，，，即；当时，，，即；当时，，综上可得当时，，故选C.

5.执行右图的程序框图，任意输入一次与，则能输出数对的概率为

A．

B．

C．D．参考答案：B6.已知集合，则集合=

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.函数f(x)＝－(cosx)|lg|x||的部分图象是

参考答案：C8.若定义在上的函数满足对任意，都有，则下列说法一定正确的是（

）A．是奇函数

B．是偶函数

C．是奇函数

D．是偶函数参考答案：B

∵，∴

∴9.已知向量与不共线，且向量=+m，=n+，若A，B，C三点共线，则实数m，n（）A．mn=1 B．mn=﹣1 C．m+n=1 D．m+n=﹣1参考答案：A【考点】平行向量与共线向量．【分析】由题意可得∥，再根据两个向量共线的性质可得=，由此可得结论．【解答】解：由题意可得∥，∴=λ?，故有=，∴mn=1，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．10.若满足约束条件则（

）A.有最小值-8，最大值0

B.有最小值-4，最大值0C.有最小值-4，无最大值

D.有最大值-4，无最小值参考答案：C对应的可行域如图.当直线过点时，z有最小值-4；由图可知z没有最大值.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列命题：①函数y=2sin（﹣x）﹣cos（+x）的最小值等于﹣1；②函数y=sinπxcosπx是最小正周期为2的奇函数；③函数y=sin（x+）在区间[0，]上单调递增；④若sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α一定为第二象限角；正确的个数是

．参考答案：2【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】由=，得到cos（+x）=sin（﹣x）进一步化简y=2sin（﹣x）﹣cos（+x），则可判断①正确；利用倍角公式化简后，再通过函数的周期性和奇偶性判断②；由相位的范围可得函数在区间[0，]上不是单调函数判断③；由sin2α＜0，得到α在第二或四象限，结合cosα﹣sinα＜0即可判断④正确．【解答】解：∵=，∴cos（+x）=sin（﹣x）．∴y=2sin（﹣x）﹣cos（+x）=2sin（﹣x）﹣sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）．∵x∈R，∴ymin=﹣1．故①正确；∵函数y=sinπxcosπx=sin2πx，∴f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，T=，故②不正确；∵0≤x≤，∴．∴函数y=sin（x+）在区间[0，]上不是单调函数；故③不正确；∵sin2α=2sinα?cosα＜0，∴α为第二或四象限角．又∵cosα﹣sinα＜0，∴α在第二象限．故④正确．∴正确的命题个数是2．故答案为：2．【点评】本题考查命题的真假性判断，以及三角函数的最值、单调性、奇偶性以及象限角的综合应用，属于中档题．12.如图，在中，，点P是BN上一点，若则实数值为

参考答案：略13.定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是

.参考答案：略14.已知函数的部分图象如图所示，则

参考答案：615.某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．参考答案：略16.曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是．参考答案：x﹣y﹣2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．【解答】解：y'=﹣2+3x2y'|x=﹣1=1而切点的坐标为（1，﹣1）∴曲线y=x3﹣2x在x=1的处的切线方程为x﹣y﹣2=0故答案为：x﹣y﹣2=017.在平面直角坐标系中，圆C的方程为若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax3﹣x2+1（x∈R），其中a＞0．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若对?x∈[﹣1，]，不等式f（x）＜a2恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数求出x=2处的斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）要使对?x∈[﹣1，]，不等式f（x）＜a2恒成立，即f（x）max＜a2；利用导数判断单调性求出f（x）的最大值即可．【解答】解：（1）由a=1，所以f（x）=x3﹣+1，f（2）=3；又f'（x）=3x2﹣3x，所以k=f'（x）=6；所以切线方程为y﹣3=6（x﹣2）；切线方程为：y=6x﹣9．（2）f'（x）=3ax2﹣3x

令f'（x）=3ax2﹣3x=0；?x1=0，x2=；因为a＞0，所以y=f（x）在（﹣∞，0]，[，+∞）递增，在（0，）递减；要使对?x∈[﹣1，]，不等式f（x）＜a2恒成立，即f（x）max＜a2，1°．当时，即0＜a≤2时，y=f（x）在[﹣1，0]递增，在（0，）递减；f（x）max=f（0）=1＜a2

所以1＜a≤2；

2°．当时，即a＞2时，y=f（x）在[﹣1，0]递增，在（0，）递减，在[，]递增；，f（）==f（0）=1?a=3；

①当2＜a＜3时，=f（0）=1＜a2

所以2＜a＜3；②当a≥3时，=f（）＜a2，即8a2﹣a﹣5＞0对?a≥3都成立；

综合1，2得：a＞119.求函数的最大值与最小值。参考答案：解：……………4分……………6分由于函数在中的最大值为

最小值为

故当时取得最大值，当时取得最小值……………10分略20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上.该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度.如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑形成顶角为的等腰三角形，且，如果地面上有()高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).(1)

当轮胎与、同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为；(2)假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求的最大值.

(精确到1cm).参考答案：解：(1)当轮胎与AB、BC同时接触时，设轮胎与AB边的切点为T，轮胎中心为O，则|OT|=40，由∠ABC=1200，知∠OBT=600，

…………………..2分故|OB|=.

.……………………..4分

所以，从B点到轮胎最上部的距离为+40，……..6分此轮胎露在水面外的高度为d=+40-(+h)=，得证.

…..8分(2)只要d40，

…………..12分即40，解得h16cm.，所以h的最大值为16cm.

…..14分21.已知抛物线的焦点为，过任作直线(与轴不平行)交抛物线分别于两点，点关于轴对称点为，（1）求证：直线与轴交点必为定点；（2）过分别作抛物线的切线，两条切线交于，求的最小值，并求当取最小值时直线的方程。

参考答案：解：设，∵抛物线的焦点为∴可设直线的方程为：，消去并整理得：,直线的方程为∴直线与轴交于定点（2），∴过点的切线方程为：即：③，同理可得过点的切线方程为：④③—④得：()∴③+④得：∴,∴,取等号时，，直线的方程为：或。略22.（2017?赣州一模）某学校对男女学生进行有关“习惯与礼仪”的调查，分别随机抽查了18名学生进行评分（百分制：得分越高，习惯与礼仪越好），评分记录如下：男生：44，46，46，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94．女生：51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，78，77，77，83，83，89，100（1）请用茎叶图表示上面的数据，并通过茎叶图比较男女生“习惯与礼仪”评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体的值，给出结论即可）．（2）记评分在60分以下的等级为较差，评分在60分以上的等级为较好，请完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“习惯与礼仪”与性别有关？并说明理由．等级性别较差较好合计男生

女生

合计

附：P（K2≥k）0.0500.0100.001K2=k3.8416.63510.828参考答案：【考点】独立性检验的应用；茎叶图．【分析】（1）填写茎叶图，通过茎叶图中的数据知，男生“习惯与礼仪”评分的平均值小于女生“习惯与礼仪”评分的平均值，且男生“习惯与礼仪”评分分散程度较大些；（2）填写2×2列联表，计算观测值K2，比较得出结论．【解答】解：（1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出茎叶图，如图所示；通过茎叶图知，男生“习惯与礼仪”评分分布在44～94之间，且集中在4