2021年山东省青岛市第六十四中学高三数学理月考试题含解析

2021年山东省青岛市第六十四中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D2.在△ABC中，已知，则∠C=(

) A．30° B．150° C．45° D．135°参考答案：C考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．解答： 解：∵a2+b2=c2+ba，即a2+b2﹣c2=ab，∴由余弦定理得：cosC==，∴∠C=45°．故选：C．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．3.函数的图像大致是

参考答案：A略4.在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限参考答案：B5.已知是的重心，点是内一点，若，则的取值范围是(

)

A、

B、

C、

D、参考答案：C略6.对于直线和平面，有如下四个命题：

(1)若m∥，mn，则n；

(2)若m，mn，则n∥

(3)若，,则∥；

(4)若m，m∥n，n，则

其中真命题的个数是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A7.如图是函数的部分图像，若|AB|=4，则（）A.-1 B.1 C. D.参考答案：D【分析】由图可设A（a，），则B（a，），可得（，），利用向量模的坐标运算，求得T4，从而可得ω的值，代入x=-1计算可得结果．【详解】设A（a，），函数f（x）sin（ωx+）的周期为T，则B（a，），∴（，），∵|AB|212=16，∴T2＝16，∴T4，解得：ω．∴f（x）sin（x+），∴f（-1），故选：D．【点睛】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象解析式的确定及应用，涉及向量模的坐标运算及其应用，属于中档题．8.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（

）A．(16,32)

B．(18,34)

C.(17,35)

D．(6,7)参考答案：B9.三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为(

) A．5π B． C．20π D．4π参考答案：A考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；球．分析：根据题意，证出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中线OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱锥P﹣ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出PC=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积解答： 解：取PC的中点O，连结OA、OB∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中线OA=PC又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平面PAB内的相交直线∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB因此Rt△BPC中，中线OB=PC∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球心，∵Rt△PCA中，AC=，PA=∴PC=，可得外接球半径R=PC=∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．点评：本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．10.已知是虚数单位，则复数的虚部为：

(

)A．

B．

C．

D．1参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若向量,,则的最大值为

.参考答案：因为向量,,所以，所以，所以的最大值为16，因此的最大值为4.12.如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形。，是上一动点，则的最小值为

参考答案：513.已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数f（x）=log2的图象上，设O为原点，已知三角形OAB的面积为S，则平行四边形ABCD的面积为．参考答案：4S【考点】函数与方程的综合运用．【分析】先判断函数f（x）为奇函数，则得到C，D点的坐标为（﹣3，﹣1），D（﹣，﹣2），即可得到OA=OC，OB=OD，则得到S△OCD=S△OAB=S△OBC=S△OCD=S，问题得以解决．【解答】解：f（x）=log2，则＞0，解得x＜﹣1或x＞1，∵f（﹣x）=log2=log2=﹣log2=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵点，平行四边形ABCD的四个顶点都在函数f（x）=log2的图象上，∴C，D点的坐标为（﹣3，﹣1），D（﹣，﹣2），∴OA=OC，OB=OD，∴S△OCD=S△OAB=S△OBC=S△OCD=S，∴平行四边形ABCD的面积为4S，故答案为：4S14.已知正实数满足，则的最小值等于_______.参考答案：9由得，由得。所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值等于9.【答案】【解析】15.已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是

．参考答案：[﹣1，1]．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a?cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．16.如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，则BC=．参考答案：3考点： 余弦定理的应用．专题： 综合题；解三角形．分析： 先求出cos∠ABC=，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得；由∠ADB与∠CDB互补，可得3b2﹣a2=﹣6，即可得出结论．解答： 解：∵sin=，∴cos∠ABC=，在△ABC中，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得①，∵∠ADB与∠CDB互补，∴cos∠ADB=﹣cos∠CDB，∴，∴3b2﹣a2=﹣6②解①②得a=3，b=1，∴BC=3．故答案为：3．点评： 本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17.函数在点处的切线方程为__________________________;参考答案：4x-y-4=0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；（Ⅱ）若不等式在区间(0,+∞)上恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）函数的导函数为

-----2分由已知，可知

-------4分即，所以………………5分（Ⅱ）即为，又即恒成立，设------------6分所以---------------------7分当时，，不满足题意；--------------------9分当时，由，得，列表如下：↘极小值↗

---------------------------------------11分所以解得即实数的取值范围是---------------------------------------13分方法二即为，又所以恒成立，设---------------------------------7分则---------------------------------8分由，可得，列表如下：↗极大值↘

------------------------------------------------11分所以，故即实数的取值范围是---------------------------------------13分19.（15分）（2015?浙江模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+2=2an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=log2an，Tn=+…+，求满足Tn≤的最大正整数n的值．参考答案：【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由数列递推式求得首项，取n=n﹣1得另一递推式，作差后可得数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（Ⅱ）由bn=log2an求得bn，然后利用错位相减法求得Tn，作差判断出Tn为递增数列，再由数列的函数特性求得满足Tn≤的最大正整数n的值为6．解：（Ⅰ）由Sn+2=2an（n∈N*）．当n=1时，求得a1=2，当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，两式作差得：an=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1（n≥2），∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则；（Ⅱ）bn=log2an=，∴Tn=+…+=①，②，①﹣②得：=．∴．令f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）==，∴f（n）为增函数，又∵f（6）=2﹣，∴满足Tn≤的最大正整数n的值为6．【点评】：本题考查了等比关系的确定，考查了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．20.已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的圆心在射线上，且与直线相切于点．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若，直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|的取值范围．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出圆C的直角坐标方程，即可求圆C的极坐标方程；（2）将（t为参数）代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，利用韦达定理、参数的意义，即可求弦长|AB|的取值范围．【解答】解：（1）∵点的直角坐标为（1，﹣1），射线的方程为y=x（x＞0），所以圆心坐标为（1，1），半径r=2，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣2=0．（2）将（t为参数）代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=4，即t2+2t（cosα+sinα）﹣2=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1?t2=﹣2．∴．∵，∴，∴．即弦长|AB|的取值范围是．【点评】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．21.(本题满分14