2025-2026学年江苏省盐城市阜宁中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省盐城市阜宁中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若1+2i=iz(i为虚数单位)，则复数z的虚部为(

)A.i B.1 C.−i D.−12.下列命题：

①“a=1”是“复数a+i1−i(a∈R)为纯虚数”的充要条件；

②四条首尾相连的线段确定一个平面；

③一个平面可以将空间分成两部分；

④直线绕定点运动形成锥面；

⑤有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥．

正确的有(    )项．A.0 B.1 C.2 D.33.如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转一周后所得的一开口容器(下表面密封)，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为(

)A.π2+36

B.π2+164.如图，某海滨城市A附近海面上有一台风，在城市A测得该台风中心位于方位角为150°，距离为2503km的海面P处，并以25km/h的速度沿北偏西60°的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为250km的圆形区域.则(    )小时后该城市开始受到台风侵袭．A.5

B.10

C.15

D.205.已知(1tanα−β2−tanα−βA.−7981 B.7981 C.−6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2−b2=A.π12 B.5π12 C.7π127.八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点O为该正八边形的中心，设|OA|=1，下列结论中正确的个数是(

)

①OB⋅OE=−2；

②|OA−OC|=22|DH|；

③OA在OD上的投影向量为−A.4 B.3 C.2 D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。8.若△ABC的三个内角A，B，C的正弦值为sinA，sinB，sinC，则(

)A.sinA，sinB，sinC一定能构成三角形的三条边

B.1sinA,1sinB,1sinC一定能构成三角形的三条边

C.sin2A9.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，G，H分别在线段DC，DA上，且满足DG=λDC，DH=μDA，λ，μ∈(0,1)，则下列说法正确的是(

)A.当λ=μ=12时，四边形EFGH是矩形

B.当λ=μ=23时，四边形EFGH是梯形

C.当λ≠μ时，四边形EFGH是空间四边形

D.当λ≠μ时，直线EH，10.已知函数f(x)=sin(2x−π6)−sinA.函数f(x)在[2π3,π]上单调递增

B.函数f(x)的图象可以由y=sin2x图象向左平移π12个单位长度得到

C.f(x)=f(π6−x)

D.若函数y=f(x)+1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11.在斜△ABC内，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=2026c212.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则13.已知函数f(x)=sin2ωx2+12sinωx−12(ω>0)，x∈R.若四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题13分)

已知复数z=m−i(m∈R)，且z−⋅(1+3i)为纯虚数(z−是z的共轭复数)．

(1)求实数m的值；

(2)设复数z1=m+4i1+i，求|z115.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B．

(1)若C=2π3，求B；16.(本小题15分)

如图，已知在平面四边形ABCD中，AB=2，BC=6，CD=DA=4．

(1)若BD平分∠ABC，求BD的长；

(2)设∠BAD=α，∠BCD=β，

①若α=120°，求四边形ABCD的面积；

②当四边形ABCD面积最大时，求证：α+β=180°．17.(本小题17分)

如图，已知三棱锥A−BCD，三角形ABD为等边三角形，BD=AC，BC⊥CD．

(1)若点O为BD的中点，证明：AO⊥OC；

(2)当BC=CD时，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

(3)当异面直线AB与CD所成角的余弦值为14时，求BCCD18.(本小题17分)

在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．

(1)在斜三角形ABC中：

(i)若sinA=2026sinBsinC，cosA=2026cosBcosC，求tanA+tanB+tanC的值．

(ⅱ)若2sin2B+3sin2C=2sinAsinBsinC+sin2A，求tanA的值．

参考答案1.D

2.D

3.A

4.B

5.A

6.B

7.C

8.AD

9.BC

10.ABD

11.2202512.1513.(0,114.(1)因为z=m−i，则z−=m+i，

所以z−⋅(1+3i)=(m+i)⋅(1+3i)=(m−3)+(3m+1)i，又z−⋅(1+3i)为纯虚数，

所以m=3；

(2)z1=m+4i1+i=3+4i1+i=(3+4i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−3i+4i+42=7+i2=12+72i，

所以|z1|=14+494=522；

(3)因为i2025=i506×4+1=i，

所以z2=a+i2025z=a+i3−i=(a+i)(3+i)(3−i)(3+i)=3a+ai+3i−110=3a−110+a+310i，

因为复数z2=a+i16.解：(1)因为BD平分∠ABC，可得cos∠ABD=cos∠DBC，

由余弦定理，可得AB2+BD2−AD22×AB×BD=BC2+BD2−CD22×BC×BD，

所以22+BD2−422×2×BD=62+BD2−422×6×BD，解得BD2=28，

所以BD=27；

(2)①在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB×ADcosα，

所以BD2=22+42−2×2×4cos120°=28，解得BD=27，

在△CBD中，可得cosβ=BC2+CD2−BD22×BC×CD=62+42−(27)22×6×4=12，

因为0°<β<180°，所以β=60°，

由四边形ABCD面积S=S17.解：(1)证明：设BD=AC=2，取BD中点O，连接OA，OC，∴OD=1，

∵△ABD为等边三角形，O为BD中点，

∴BD=AD=AC=2，AO⊥BD，

∵在△BCD中，O为中点，BC⊥CD，

∴OC=12BD=1，

∵在△AOD中，AD=2，OD=1，

∴AO=3，

∵在△AOC中，AO=3,OC=1,AC=2，

∴AO⊥OC．

(2)设BD=AC=2，取BD中点O，连接OA，OC，∴OD=1，

取AC，AD中点E，F，连接OF，EF，OE，由(1)得OF=12AC=1，BD=AB=AC=2，

在△ACD，△ABD中，∵E，F，O为AD，AC，BD中点，

∴OE//AB，EF//CD且OE=12AB=1,EF=12CD，

故异面直线AB与CD所成角为OE与EF所成的角∠OEF，

在△BCD中，BC=CD，BD=2，BC⊥CD，

∴EF=12CD=22，

在△OEF中，cos∠OEF=OE2+EF2−OF22×OE×EF=24，

故异面直线AB与CD所成角的余弦值为24．

(3)设EF=x，18.解：(1)(i)因为sinA=2026sinBsinC，cosA=2026cosBcosC，

则两式相除，得sinAcosA=2026sinBsinC2026cosBcosC，即tanA=tanBtanC，

两式相减，得cosA−sinA=2026(cosBcosC−sinBsinC)，

即cosA−sinA=2026cos(B+C)=2026cos(π−A)=−2026cosA，

整理2027cosA=sinA，故tanA=2027，

在斜三角形中，由tan(B+C)=tanB+tanC1−tanBtanC=tan(π−A)=−tanA可得恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

将tanA=tanBtanC代入tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanA=tan2A，

因此tanA+tanB+tanC=20272；

(ii)由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，得sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=C2R，

代入原式得2(b2R)2+3(c2R)2=2(a2R)(b2R)(c2R)+(a2R)2，

化简得2b2+3c2=abcR+a2，

又因为三角形面积公式S=12bcsinA，且abcR=2bcs