2021年安徽省滁州市钢城中学高三数学理期末试题含解析

2021年安徽省滁州市钢城中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略2.对于，给出下列四个不等式（

）

①

②

③

④

其中成立的是

A．①与③

B．①与④

C．②与③

D．②与④参考答案：D

3.函数的图象大致是

参考答案：D略4.已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数x的值为（

）

A．

B．1

C．

D．2参考答案：B5.函数的值域是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.设,则“”是“”的（

）（A）充分条件

（B）必要条件

（C）充分必要条件

（D）既非充分又非必要条件参考答案：

B7.已知函数是定义在R上的不恒为0的偶函数，且对任意都有，则（

）

A；

0

B：

C：

1

D：参考答案：A略8.某程序框图如图所示，若输入输出的n分别为3和1，则在图中空白的判断框中应填入的条件可以为（）A．i≥7？ B．i＞7？ C．i≥6？ D．i＜6？参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=0，n=3满足条件n为奇数，n=10，i=1，不满足条件，不满足条件n为奇数，n=5，i=2不满足条件，满足条件n为奇数，n=16，i=3不满足条件，不满足条件n为奇数，n=8，i=4不满足条件，不满足条件n为奇数，n=4，i=5不满足条件，不满足条件n为奇数，n=2，i=6不满足条件，不满足条件n为奇数，n=1，i=7由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为1．故在图中空白的判断框中应填入的条件可以为i≥7？故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是A.10 B.9 C.8 D.7参考答案：B【分析】根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知所以因为为线段长度，都大于0，由基本不等式可知，此时所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．10.若向量；则(

)

参考答案：选

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程的解为＿＿＿＿＿＿＿.参考答案：12.在直角坐标系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），则满足且在圆上的点P的个数为

▲

．参考答案：2略13.已知，则的值为 ．参考答案：．试题分析：考点：倍角的正切．14.若复数z满足，则的共轭复数是．参考答案：1+i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵，∴﹣i?i=﹣i（1+i），则=1﹣i则的共轭复数是1+i．故答案为：1+i．15.设…，则…＝

．

参考答案：略16.已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为________.参考答案：17.定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．参考答案：﹣3＜m≤【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【分析】函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=?x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1?（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即?﹣3＜m≤．?＜m≤∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)已知函数（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.参考答案：19.设数列的前项和为，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，

求数列的前n项和.参考答案：解：由题设知，

得），两式相减得：，

即，

又得，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为，所以所以

令…，则…

①…

②①…②得…

略20.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，，，，，E为PA的中点.（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积.

参考答案：（1）取的中点，连和，过点作，垂足为，∵，，∴，又，∴四边形为平行四边形，................................................（2分）∴，，在直角三角形中，∴，而分别为的中点，∴且，又，∴且，四边形为平行四边形，........................（4分）∴

，

平面，平面，∴平面......（6分）

（2）由第（1）问得平面，则点和点到平面的距离相等，......（8分）∵，，∴，.....................................（10分）∴..............................（12分）

21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件推导出，同此能求出椭圆C的方程．（2）直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，利用点差法l′的方程为，从而得到l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，由此推导出l′恒过定点．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为=2.（Ⅰ）分别写出的普通方程，的直角坐标方程；（Ⅱ）已知M，N分别为曲线的上、下顶点，点P为曲线上任意一点，求的最大值．参考答案：（Ⅰ），（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ）由将参数方程化为普通方程，由将=2化为普通方程；（Ⅱ）由点到直线的距离公式求出的表达式，再由二次函数求最值.试题解析：（1）曲线的普通方程为，……2分

曲线的普通方程为.

……4分

（2）法一：由曲线：，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知.因此