2021年河南省郑州市第六十一中学高三数学文模拟试卷含解析

2021年河南省郑州市第六十一中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域为（0，+）且为正数，则函数

（

）

A．存在极大值

B．存在极小值

C．是增函数

D．是减函数参考答案：答案:C2.已知是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.已知数列{an}，{bn}，满足a1=b1=3，an+1﹣an==3，n∈N*，若数列{cn}满足cn=b，则c2017=（）A．92016 B．272016 C．92017 D．272017参考答案：D【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】本题可先等差数列{an}和等比数列{bn}的通项，再利用数列{cn}的通项公式得到所求结论．【解答】解：∵数列{an}，满足a1=3，an+1﹣an=3，n∈N*，∴an=a1+（n﹣1）d=3+3（n﹣1）=3n．∵数列{bn}，满足b1=3，=3，n∈N*，∴bn=b1qn﹣1=3×3n﹣1=3n．∵数列{cn}满足cn=b，∴c2017==b3×2017=272017．故选D．【点评】本题先利用等差数列和等比数列的通项公式求出数列的通项，再用通项公式求出新数列中的项，本题思维量不大，属于基础题．4.已知a、b为单位向量，其夹角为60，则（2a－b）·b=(

)A.

－1

B.0

C.1

D.2参考答案：B5.已知复数z满足=3，i是虚数单位，则（）A．1+3i B．1﹣3i C．3i D．﹣3i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵=3，∴z+3i=3z﹣3i，∴z=3i，则=﹣3i，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.下列方程在区间（﹣1，1）内存在实数解的是（）A．x2+x﹣3=0 B．ex﹣x﹣1=0 C．x﹣3+ln（x+1）=0 D．x2﹣lgx=0参考答案：B【考点】55：二分法的定义．【分析】利用方程和函数之间的关系分别进行判断即可得到结论．【解答】解：A．设f（x）=x2+x﹣3，则函数f（x）在（0，1）内单调递增，则f（1）=1+1﹣3=﹣1＜0，f（x）在（0，1）内不存在零点；B．由ex﹣x﹣1=0，解得x=0，在区间（﹣1，1）内，满足题意；C．设f（x）=x﹣3+ln（x+1），则函数在（﹣1，1）上单调递增，f（1）＜0，f（x）在（﹣1，1）内不存在零点；D．当x∈（0，1）时，x2∈（0，1），lgx∈（﹣∞，0），则x2﹣lgx＞0，此时方程在（﹣1，1）内无解，故选B．7.阿基米德在《论球与圆柱》一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式

，若在两边同乘以，并令，则左边

.因此阿基米德实际上获得定积分的等价结果.则

（

）

A．-2

B．1

C.-1

D．2参考答案：D试题分析：，故选D.考点：定积分的计算.8.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为，则(

)A.23 B.32 C.35 D.38参考答案：C【分析】由题意可得儿子的岁数成等差数列，其中公差，，根据等差数列的前项和公式即可得结果.【详解】由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为，其中公差，，即，解得，故选C.【点睛】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9.已知为等边三角形，，设满足，若，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.已知函数，且，则函数的一个零点是A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：+y2=1上的一点，则的取值范围是

．参考答案：[﹣1，]

【考点】椭圆的简单性质．【分析】由，，得=（）?（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4再结合y的范围即可求出结论【解答】解：设P（x，y），∵，，∴=（）?（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4∵y∈[﹣1，1]，∴﹣3y2﹣2y+4，∴的取值范围是：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，向量数量积的基本运算技巧，选好基底是解决向量问题的基本技巧之一，及二次函数的值域问题，属于中档题，12.已知O为△ABC的外心,,若,且32x+25y=25,则==_____.参考答案：略13.如果存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是__________.参考答案：【知识点】绝对值不等式的解法E2【答案解析】k＞-3

∵存在实数x使不等式|x+1|-|x-2|＜k成立，|x+1|-|x-2|表示数轴上的x到-1的距离减去它到2的距离，最小值等于-3，故k＞-3，故答案为：k＞-3．【思路点拨】利用表示数轴上的x到-1的距离减去它到2的距离，它|的最小值等于-3，而且存在实数x使不等式|x+1|-|x-2|＜k成立，可得k＞-3．14.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为_______.

参考答案：15.已知

.参考答案：

16.设是一元二次方程的两个虚根.若，则实数

．参考答案：417.已知圆M：x2+y2=4，在圆M上随机取一点P，则P到直线x+y=2的距离大于2的概率为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015（Ⅰ）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率.参考答案：19.在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午时，测得一轮船在海岛北偏东，俯角（与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，当目标视线在水平视线的下方时称为俯角）为的处。到时分又测得该轮船在岛西偏北，俯角为的处。

(1)该轮船的航行速度是每小时多少千米？

(2)又经过一段时间后，轮船到达海岛正西方向的处，此时轮船距岛有多远？参考答案：（1）中,,

--------2分同理中,

--------2分中,

--------2分20.（本题满分12分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．（Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．

参考答案：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，.………………4分（Ⅱ）由题意可知，分数在内的学生有5人，记这5人分别为，，，，，分数在内的学生有2人，记这2人分别为，.抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）.…………………………8分其中2名同学的分数都不在内的情况有10种，分别为：（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）.∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率.…………………………12分21.（本小题满分16分） 如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD把折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上。

（I）求证：

（2）求证：平面平面参考答案：（I）略；（II）略.试题分析：(1)由投影的定义可得，进而可得，结合得出进一步证明；（2）根据ABCD是矩形可得，由（1）可得从而可以证明平面平面试题解析：证明：（I）由于A1在平面BCD上的射影O在CD上，

则

则…………4分

又

则

故…………8分

（II）因为ABCD为矩形，所以

由（I）知

又

从而有平面平面…………16分考点：空间几何元素的位置关系.22.(12分)已知椭圆的中心