2022年贵州省遵义市南白第一中学高三数学理期末试题含解析

2022年贵州省遵义市南白第一中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图为函数的图象，在点处的切线为，与轴和直线分别交于点，点,当的面积为时的点恰好有两个，则的取值范围是()A. B.C. D.参考答案：A2.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，图中的曲线为半圆弧或圆，则该几何体的体积是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【详解】由题意可知几何体是组合体，的圆柱与一个四棱锥组成，如图：．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．3.已知集合，，则（

）

A． B． C． D．参考答案：C试题分析：,所以，故选C.考点：1.特殊三角函数值；2.集合的运算.4.在△ABC中，tan=2sinC，若AB=1，求△ABC周长的取值范围(

) A．（2，3] B．[1，3] C．（0，2] D．（2，5]参考答案：A考点：正弦定理；两角和与差的正切函数．专题：解三角形．分析：利用三角形的三角和为π及三角函数的诱导公式化简已知的等式，利用三角形中内角的范围，求出∠C的大小，三角形的正弦定理将边BC，CA用角A的三角函数表示，利用两角差的正弦公式展开，再利用三角函数中的公式asinα+bcosα=sin（α+θ）将三角形的周长化简成y=Asin（ωx+φ）+k形式，利用三角函数的有界性求出△ABC周长的取值范围．解答： 解：由tan=2sinC及=﹣，得cot=2sinC，∴=4sincos∵0＜＜，cos＞0，sin＞0，∴sin2=，sin=，=，C=．∴C=由正弦定理，得===，△ABC的周长y=AB+BC+CA=1+sinA+sin（﹣A）=1+（sinA+cosA）=1+2sin（A+），∵＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，所以，△ABC周长的取值范围是（2，3]，故选：A．点评：解决三角函数的取值范围问题一般利用三角函数的诱导公式、两个角的和、差公式、倍角公式以及公式asinα+bcosα=sin（α+θ）将三角函数化为y=Asin（ωx+φ）+k形式．5.等差数列的前n项和为，若，那么（

）A．130

B．120

C．91

D．81参考答案：C6.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C所求几何体为一个圆柱体和圆锥体构成.其中圆锥的高为.体积=.选C.7.学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（

）A.抽样表明，该校有一半学生为阅读霸B.该校只有50名学生不喜欢阅读C.该校只有50名学生喜欢阅读D.抽样表明，该校有50名学生为阅读霸参考答案：A【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果.【详解】根据频率分布直方图可列下表：阅读时间（分）[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]抽样人数（名）10182225205

抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸.故选A.【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.

8.下列命题是真命题的是

(

)A.是的充要条件

B.，是的充分条件C.，＞

D.，＜0参考答案：B9.若则下列结论中不正确的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D10.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，，则使的x的值是(

) A．2n（n∈Z） B．2n﹣1（n∈Z） C．4n+1（n∈Z） D．4n﹣1（n∈Z）参考答案：D考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据f（x）是奇函数且f（x+2）=﹣f（x）求出函数的周期，以及﹣1≤x≤0时的解析式，然后求出在[﹣1，1]上满足方程f（x）=﹣的解，最后根据周期性即可选得答案．解答： 解：∵f（x）是奇函数且f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）∴函数f（x）的周期T=4．∵当0≤x≤1时，f（x）=x，又f（x）是奇函数，∴当﹣1≤x≤0时，f（x）=x，令x=﹣解得：x=﹣1而函数f（x）是以4为周期的周期函数，∴方程f（x）=﹣的x的值是：x=4k﹣1，k∈Z．故选D．点评：本题主要考查函数的奇偶性和递推关系，利用函数的奇偶性和周期性结合来转化是关键，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知球O的半径为13，其球面上有三点A、B、C，若AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是．参考答案：60【考点】球内接多面体．【分析】求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．【解答】解：∵AB=12，AC=BC=12，∴cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴△ABC的外接圆的半径为=12，∴O到平面ABC的距离为5，∵S△ABC==36，∴四面体OABC的体积是=60．故答案为：60．12.函数在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为

参考答案：13.设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】本题可以按照等可能事件的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式写出概率【解答】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，∴试验发生包含的事件数6，∵方程x2+ax+a=0有两个不等实根，∴a2﹣4a＞0，解得a＞4，∵a是正整数，∴a=5，6，即满足条件的事件有2种结果，∴所求的概率是=，故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．14.对任意两个实数，定义若，，则的最小值为．参考答案：因为，所以时，解得或。当时，，即，所以，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为。15.已知函数的值为

；满足的值

。x123131321参考答案：答案：1：216.若实数x满足x＞﹣4，则函数f（x）=x+的最小值为

．参考答案：2【考点】基本不等式．【专题】函数思想；数学模型法；不等式．【分析】由题意可得x+4＞0，变形可得f（x）=x+=x+4+﹣4，由基本不等式可得．【解答】解：∵x＞﹣4，∴x+4＞0，∴f（x）=x+=x+4+﹣4≥2﹣4=2当且仅当x+4=即x=﹣1时取等号，故答案为：2．【点评】本题考查基本不等式求最值，凑出可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．17.将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本，则样本中还有一名学生的编号是____________．参考答案：13试题分析：系统抽样制取的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为．考点：系统抽样．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且csinC﹣asinA=（b﹣a）sinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．参考答案：【考点】HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由csinC﹣asinA=（b﹣a）sinB．由正弦定理得c2﹣a2=b2﹣ab，即a2+b2﹣c2=ab．再利用余弦定理即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=，可得B=﹣A且A∈，可得cosA+cosB=cosA+cos=sin．利用A∈，+A∈，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵csinC﹣asinA=（b﹣a）sinB．由正弦定理得c2﹣a2=b2﹣ab，即a2+b2﹣c2=ab．∴cosC==．又∵C∈（0，π），∴C=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=，∴B=﹣A且A∈，故cosA+cosB=cosA+cos=cosA+sinA=cosA+sinA=sin．∵A∈，∴+A∈，∴当A+=，即A=时，cosA+sinA取得最大值，为1．19.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为梯形，AB//CD，BC⊥AB，AB=2，BC=，CD=PC=.（I）点E在线段PB上，满足CE//平面PAD，求的值。（II）已知AC与BD的交点为M，若PM=1，且平面PAC⊥平面ABCD，求二面角P-BC-M平面角的余弦值。参考答案：（Ⅰ）2；（Ⅱ）.【分析】（I）延长交于点，根据线面平行的性质定理，证得，由此得到是中点，即有.（II）在直角梯形中证得，根据勾股定理证得，即证得.作交于，可得为的平面角，解直角三角形求得的余弦值.【详解】（Ⅰ）延长交于点，则,故是的中点.则是平面与平面的交线，由平面，则∴为中点，∴．（Ⅱ）在梯形中，，，且，∴∵，∴，故∴，∴且，又，可得，∴作交于，连接.由于,则平面，则，可得为的平面角，且，∴.【点睛】本小题主要考查线面平行的性质定理的应用，考查连面面垂直的性质定理，考查二面角的作法和证法，考查二面角的余弦值的求法，属于中档题.线面平行的性质定理是很容易忽略的知识点，对于已知直线和平面平行的题目，可以考虑用线面平行的性质定理来得出相应的线线平行的结论.20.如图，点C是以AB为直径的圆O上不与A、B重合的一个动点，S是圆O所在平面外一点，且总有SC⊥平面ABC，M是SB的中点，AB=SC=2．

（Ⅰ）求证：OM⊥BC；

（Ⅱ）当四面体S－ABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为，二面角B－SA－C的大小为，分别求的值．参考答案：（Ⅰ）略（Ⅱ），试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，往往通过证明线面垂直得出.本题即是通过证明BC⊥平面SAC，从而得出OM⊥BC的；（Ⅱ）先找出四面体S－ABC的体积最大时成立的条件，进而找出线面角及二面角的平面角，放在三角形中求出的值.也可建立空间直角坐标系，利用空间向量来解决.试题解析：(Ⅰ)证：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC

又SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC∵，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA 2分

O、M分别为AB、SB的中点，故OM平行于SA

∴OM⊥BC 4分(Ⅱ)解：四面体S－ABC的体积

当且仅当时取得最大值 6分

方法一

取BC的中点N，连接MN、AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC

∴， 9分

作CH⊥SA垂足为H，连接BH，由(Ⅰ)知BC⊥SA，∴SA⊥平面BCH，BH⊥SA

故，在中，, 12分方法二

以分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则

C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，S(0，0，2)

进而M(0，，1)，

是平面ABC的一个法向量，

故， 9分

设v=(x，y，z)是平面SAB的一个法向量，则,即

故可取，由（1）知，是平面SAC的一个法向量

故 12分考点：空间点、线、面的位置关系21.(本小题满分12分)已知函数，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）试写出一个函数，使得，并求的单调区间．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ），解：(Ⅰ)因为，所以(Ⅱ).下面给出证明：因为所以符合要求．又因为，由得所以的单调递增区间为，.又由,得,所以的单调递减区间为，.22.(14分)如图，在直角梯形中，，，，椭圆以、为焦点且经过点．（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；（Ⅱ）若点满足,问是否存在直线与椭圆交于两点，且？若存在，求出直线与夹角的正切值的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：解析：（Ⅰ）如图，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系则，，，

………2分设椭圆方程为则解得………………4分∴所求椭圆方程为

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