高中数学人教B版课后习题74数学建模活动周期现象的描述

7.4数学建模活动:周期现象的描述课后篇巩固提升基础达标练1.单摆离开平衡位置O的位移s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系为s=6sin2πt+π6,则单摆在摆动时,从最右边到最左边的时间为()A.2s B.1sC.12s D.1解析由题意,知周期T=2π2π=1s,从最右边到最左边的时间是半个周期,为答案C2.某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足y=500sin(ωx+φ)+9500(ω>0),已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.x12y100009500则此楼群在第3季度的平均单价大约是()A.10000元 B.9500元C.9000元 D.8500元解析因为y=500sin(ωx+φ)+9500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9500=10000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9500=9500,即sin所以2易得3ω+φ=-π2+2kπ,k∈Z又当x=3时,y=500sin(3ω+φ)+9500,所以y=9000.答案C3.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A.f(x)=2sinπ4x-π4+7(1≤x≤12,x∈N+)B.f(x)=9sinπ4x-π4(1≤x≤12,x∈N+)C.f(x)=22sinπ4x+7(1≤x≤12,x∈N+D.f(x)=2sinπ4x+π4+7(1≤x≤12,x∈N+)解析令x=3可排除D,令x=7可排除B,由A=9-52=2可排除C;或由题意,可得A=9-52=2,b=7,周期T=2πω=2×(7-f(x)=2sinπ4x+φ+7.∵当x=3时,y=9,∴2sin3π4+φ+7=9,即sin3π4+φ=1.∵|φ|<π2∴φ=-π4∴f(x)=2sinπ4x-π4+7(1≤x≤12,x∈N+).答案A4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)=50+4sint2(t≥0),则人流量增加的时间段是(A.[0,5] B.[5,10]C.[10,15] D.[15,20]解析由2kπ-π2≤t2≤2kπ+π2,k∈Z,知函数F(t)的单调递增区间为4kπ-π,4kπ+π,k∈Z.当k=1时,t∈[3π答案C5.有一小球从某点开始来回摆动,与平衡位置的距离s(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数解析式是s=Asin(ωt+φ),A>0,ω>0,0<φ<π2,函数图像如图所示,则φ=.解析根据图像,知16,0,1112,0两点的距离刚好是34个周期,所以34T=11所以T=1,则ω=2πT=2因为当t=16时,函数取得最大值所以2π×16+φ=π2+2kπ,k∈又0<φ<π2,所以φ=π答案π能力提升练1.如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题:(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式;(2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多长时间?解(1)由已知可设y=40.5-40cosωt(ω>0,t≥0),由已知周期为12分钟,可知ω=2π12,即ω=所以y=40.5-40cosπ6t(t≥0)(2)令y=40.5-40cosπ6t=60.得cosπ6t=-1所以π6t=23π或π6t=解得t=4或t=8,故第四次距离地面60.5米时,用时为12+8=20(分钟).2.已知弹簧上挂着的小球做上下振动,它与平衡位置(静止时的位置)的距离h(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为h=3sin2t+π4.(1)求小球开始振动的位置;(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间;(3)经过多长时间小球往返振动一次?(4)每秒内小球能往返振动多少次?解(1)令t=0,得h=3sinπ4=322,(2)由题意知,当h=3时,t的最小值为π8,即小球第一次上升到最高点的时间为π8当h=-3时,t的最小值为5π8,即小球第一次下降到最低点的时间为5(3)T=2π2=π,即经过约πs(4)f=1T=1π,素养培优练某港口水深y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据.t/时03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Asinωt+b(A>0,ω>0)的图像.(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似解析式;(2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底与水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?解(1)由已知数据,描出曲线如图:易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3,b=10,则ω=2πT=π6,y=3sinπ6t+(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.