上海外高桥中学2021年高三数学文期末试题含解析

上海外高桥中学2021年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数有是

（

）

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数参考答案：B2.函数的单调递增区间是A.

B.(0,3)

C.(1,4)

D.参考答案：D3.在△ABC中，=，P是直线BN上的一点，若=m+，则实数m的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4参考答案：B【考点】向量在几何中的应用．【分析】设=n，利用向量的线性运算，结合=m+，可求实数m的值．【解答】解：由题意，设=n，则=+=+n=+n（﹣）=+n（﹣）=+n（﹣）=（1﹣n）+，又∵=m+，∴m=1﹣n，且=解得；n=2，m=﹣1，故选：B．4.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为（），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称参考答案：D【考点】正弦函数的对称性；三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据函数f（x）在x=处取得最小值，求得a=b，f（x）=asin（x﹣），可得f（﹣x）=asinx，从而得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x+θ）（a，b常数，a≠0，x∈R），根据函数f（x）在x=处取得最小值，则f（）=a+b=﹣，∴a=b，∴f（x）=asinx﹣acosx=asin（x﹣），∴f（﹣x）=asin（﹣x﹣）=﹣asinx，故函数f（x）为奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，故选：D．6.已知等差数列的前n项和为Sn，且S2＝4，S4＝16，数列满足，则数列的前9和为（

）A．80 B．20 C．180 D．166参考答案：C．设等差数列的公差为d，因为，所以，两式相减为常数，所以数列也为等差数列．因为为等差数列，且S2＝4，S4＝16，所以，，所以等差数列的公差，所以前n项和公式为，所以．故选C．7.已知等比数列的前项和为，，则实数的值是A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.复数（i是虚数单位）的共轭复数的虚部为A.

B.0

C.1

D.2

参考答案：9.已知f（x）=ex﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：?x∈R，f（x）＞0，命题q：?x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：?x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：?x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命题，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0参考答案：C【考点】全称命题；特称命题．【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p，q的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可．【解答】解：f′（x）=ex﹣1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（0）=e0﹣0=1﹣0=1＞0，∴?x∈R，f（x）＞0成立，即p是真命题．g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，则：?x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题．则￢p：?x0∈R，f（x0）≤0，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0，综上只有C成立，故选：C10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（

）

A．2

B．1

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为

.参考答案：略12.关于函数,有下列命题：①其图象关于轴对称；②当时,是增函数；当时,是减函数；③的最小值是；④在区间上是增函数；⑤无最大值,也无最小值．其中所有正确结论的序号是

．参考答案：①,③,④13.在正方体的8个顶点与12条棱的中点共20个点中,（i）在这20个点确定的平面中，有

个不同的平面垂直；（用数字作答）（ii）在这20个点确定的直线中,有

条不同的直线垂直

（用数字作答）参考答案：答案:（i）

5

（ii）

2714.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值_______．参考答案：2【分析】作出可行域，求出区域的顶点坐标，将顶点坐标一一代入，即可判断函数的最大值。【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图求得区域的顶点分别为，，，分别将三点代入目标函数得：，，，所以的最大值为【点睛】本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数的最值。15.已知向量与的夹角为,且,若,且,则实数的值为

.参考答案：16.在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为

▲；参考答案：略17.是坐标原点，若为平面区域内的动点，则的最小值是__________.参考答案：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面直角坐标系中，A、B分别是椭圆：的左、右顶点，P(2,t)（t∈R,且t≠0）为直线x＝2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F。（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t＝-1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形。参考答案：（1）由题意：上顶点C(0，1)，右焦点E(-，0)，所以l：y＝-x+1，令x＝2，得t＝1-……………2分(2)直线AC：y＝k1(x+2)，与联立得：C:，同理得D:

…………………4分由C，D，P三点共线得：kCP＝kDP，得+＝-4（定值）…………8分(3)要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，设点P(2,t)，则OP：y＝x，分别与直线AC：y＝k1(x+2)与AD：y＝k2(x+2)联立得：xE＝，xF＝，下证：xE+xF＝0，即+＝0化简得：t(k1+k2)-4k1k2＝0………………12分由(2)可知C:，D:由C，D，P三点共线得：kCP＝kDP，得t(k1+k2)-4k1k2＝0（得证）………………16分19.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为元,并且每件商品需向总店交元的管理费,预计当每件商品的售价为元时,一年的销售量为万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式;（Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润最大,并求出的最大值．参考答案：解:（Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润（万元）与售价的函数关系式为.

……………3分（Ⅱ）

…………6分令，得或

……………8分.①当，即时，时，，在上单调递减，故

……………10分②当，即时，时，；时，在上单调递增；在上单调递减，故

……………12分答:当每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元；

当每件商品的售价为元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元.

……………13分

略20.（14分）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．

(Ⅰ)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．

(Ⅱ)若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．参考答案：解析：(Ⅰ)().(Ⅱ)随机变量ζ的取值为0、1、2、3.由n次独立重复试验概率公式Pn(k)=,得P(ζ=0)=,P((ζ=1)=,P((ζ=2)=,P((ζ=3)=.随机变量ζ的分布列是

ζ0123P

ζ的数学期望是E(ζ)=×0+×1+×2+×3=(Ⅱ)设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,由,得p=.21.设函数，其中向量，，．（1）求的单调递增区间；（2）在中，分别是角的对边，已知，的面积为，求的值．参考答案：（1）==+1令解得故的单调递增区间为注：若没写，扣一分

（2）由得而，所以，所以得又，所以

略22.（本小题满分分）在中，角所对的边分别为，向量，且.*K*s*5*u（Ⅰ）求的值；