数学建模自动控制时域分析

数学建模自动控制时域分析第1页，课件共98页，创作于2023年2月控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。(a)外加扰动注意：以上定义只适用于线形定常系统。3.1稳定性和代数稳定判据一、稳定性的定义第2页，课件共98页，创作于2023年2月(b)稳定(c)不稳定注意：控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。第3页，课件共98页，创作于2023年2月大范围稳定:不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。(a)大范围稳定第4页，课件共98页，创作于2023年2月(b)小范围稳定否则系统就是小范围稳定的。注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。第5页，课件共98页，创作于2023年2月(a)不稳定第6页，课件共98页，创作于2023年2月临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。原因：(1)分析时依赖的模型通常是简化或线性化；(2)实际系统参数的时变特性；(3)系统必须具备一定的稳定裕量。第7页，课件共98页，创作于2023年2月假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号δ(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t→∞时，若：系统（渐近）稳定。

稳定的条件：二、稳定的充要条件第8页，课件共98页，创作于2023年2月理想脉冲函数作用下

R(s)=1。对于稳定系统,t

时,输出量

c(t)=0。第9页，课件共98页，创作于2023年2月由上式知：如果pi和i均为负值,

当t时,c(t)0。第10页，课件共98页，创作于2023年2月自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。注意：稳定性与零点无关S平面系统特征方程第11页，课件共98页，创作于2023年2月无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。劳思(routh)判据劳思阵列赫尔维茨(Hurwitz)判据赫尔维茨行列式例课堂习题劳思(routh)判据的特殊情况三、代数判据第12页，课件共98页，创作于2023年2月性质：第一列符号改变次数==系统特征方程含有正实部根的个数。劳思阵列第13页，课件共98页，创作于2023年2月特征方程：

劳斯阵列：

第14页，课件共98页，创作于2023年2月如果符号相同系统具有正实部特征根的个数等于零系统稳定；如果符号不同符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统不稳定。控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。“第一列中各数”注：通常a0>0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。劳思(routh)判据第15页，课件共98页，创作于2023年2月特殊情况1：第一列出现0

特殊情况2：某一行元素均为0劳思(routh)判据的特殊情况第16页，课件共98页，创作于2023年2月特殊情况：第一列出现0。各项系数均为正数解决方法：用任意小正数代之。特殊情况1：第一列出现0第17页，课件共98页，创作于2023年2月特殊情况：某一行元素均为0解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。各项系数均为正数求导得:例如：特殊情况2：某一行元素均为0第18页，课件共98页，创作于2023年2月时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间ts3.2阶跃响应性能指标第19页，课件共98页，创作于2023年2月上升时间tr调节时间ts第20页，课件共98页，创作于2023年2月trtpABσ%=100%BAts第21页，课件共98页，创作于2023年2月3.3一阶系统分析一阶系统的形式闭环极点(特征根)：-1/T第22页，课件共98页，创作于2023年2月一阶系统的单位阶跃响应(t0)第23页，课件共98页，创作于2023年2月时间增长，无稳态误差第24页，课件共98页，创作于2023年2月性质：1）T暂态分量

瞬态响应时间

极点距离虚轴

2）T暂态分量

瞬态响应时间

极点距离虚轴

(t0)第25页，课件共98页，创作于2023年2月t=Tc(t)=63.2%实验法求Tt=3Tc(t)=95%允许误差5%

调整时间ts=3Tt=4Tc(t)=98.2%允许误差2%

调整时间ts=4T3）斜率:第26页，课件共98页，创作于2023年2月4）ln[1-c(t)]与时间t成线性关系判别系统是否为惯性环节测量惯性环节的时间常数第27页，课件共98页，创作于2023年2月(t0)一阶系统的单位斜坡响应第28页，课件共98页，创作于2023年2月

3）稳态误差=T。性质：1）经过足够长的时间(≥4T)，输出增长速率近似与输入相同；2）输出相对于输入滞后时间T；第29页，课件共98页，创作于2023年2月(t0)只包含瞬态分量一阶系统的单位脉冲响应第30页，课件共98页，创作于2023年2月闭环极点（特征根）：-1/T衰减系数：1/T第31页，课件共98页，创作于2023年2月对于一阶系统输入信号微分响应微分输入信号积分响应积分积分时间常数由零初始条件确定。例线性定常系统的一个性质第32页，课件共98页，创作于2023年2月欠阻尼、临界阻尼、过阻尼、无阻尼、负阻尼脉冲响应斜坡响应3.4二阶系统分析一、瞬态响应阶跃响应第33页，课件共98页，创作于2023年2月系统的特征方程闭环特征方程根（闭环极点）欠阻尼：0<<1临界阻尼：=1过阻尼：>1无阻尼：=0第34页，课件共98页，创作于2023年2月欠阻尼：0<<1(t0)阻尼自然频率第35页，课件共98页，创作于2023年2月(t0)无稳态误差；含有衰减的复指数振荡项: 其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定 振荡幅值随ξ减小而加大。第36页，课件共98页，创作于2023年2月(t0)衰减系数：第37页，课件共98页，创作于2023年2月无阻尼：=0(t0)无阻尼的等幅振荡稳定边界：无阻尼自震荡频率第38页，课件共98页，创作于2023年2月临界阻尼：=1(t0)系统包含两类瞬态衰减分量单调上升，无振荡、无超调、无稳态误差。第39页，课件共98页，创作于2023年2月过阻尼：>1(t0)精确解：系统包含两类瞬态衰减分量单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。第40页，课件共98页，创作于2023年2月负阻尼（ξ<0）-1<ξ<0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。ξ<-1振荡发散单调发散第41页，课件共98页，创作于2023年2月几点结论1）二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性：ξ<0时，阶跃响应发散，系统不稳定；ξ=0时，出现等幅振荡0<ξ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重，但响应愈快，ξ≥1时，无振荡、无超调，过渡过程长；第42页，课件共98页，创作于2023年2月第43页，课件共98页，创作于2023年2月2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。第44页，课件共98页，创作于2023年2月3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。第45页，课件共98页，创作于2023年2月过阻尼：>1(t0)欠阻尼：0<<1无阻尼：=0临界阻尼：=1第46页，课件共98页，创作于2023年2月评价系统快速性的性能指标评价系统平稳性的性能指标二阶欠阻尼系统的阶跃响应的瞬态指标二、

瞬态响应指标及其与系统参数的关系第47页，课件共98页，创作于2023年2月评价系统快速性的性能指标第48页，课件共98页，创作于2023年2月上升时间tr:(1)响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。(2)对无超调系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。峰值时间tp:响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。调整时间ts:响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的±2%或±5%）内所需的时间。第49页，课件共98页，创作于2023年2月最大超调量Mp：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：振荡次数N：在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。评价系统平稳性的性能指标第50页，课件共98页，创作于2023年2月上升时间峰值时间调整时间二阶欠阻尼系统的阶跃响应的瞬态指标第51页，课件共98页，创作于2023年2月最大超调量振荡次数第52页，课件共98页，创作于2023年2月1、二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。2、增加ξ降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N，系统快速性降低，tr、tp增加；3、ξ一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。4、Mp、N仅与ξ、ωn有关，而tr、tp、ts与ξ、ωn有关，通常根据允许的最大超调量来确定ξ。ξ一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。第53页，课件共98页，创作于2023年2月上升时间tr(t0)ξ一定时，ωn越大，tr越小；ωn一定时，ξ越大，tr越大。第54页，课件共98页，创作于2023年2月峰值时间tp峰值时间等于阻尼振荡周期的一半ξ一定时，ωn越大，tp越小；ωn一定时，ξ越大，tp越大。第55页，课件共98页，创作于2023年2月最大超调量Mp：仅与阻尼比ξ有关。ξ越大，Mp越小，系统的平稳性越好ξ=0.4~0.8

Mp=25.4%~1.5%。第56页，课件共98页，创作于2023年2月调整时间ts包络线第57页，课件共98页，创作于2023年2月实际的ωnts—ξ曲线当ξ由零增大时，ωnts先减小后增大，∆=5%，ωnts的最小值出现在ξ＝0.78处；∆=2%，ωnts的最小值出现在ξ＝0.69处；出现最小值后，ωnts随ξ几乎线性增加。第58页，课件共98页，创作于2023年2月当0<ξ<0.7时当一定时，ωn越大，ts越小，系统响应越快。第59页，课件共98页，创作于2023年2月振荡次数NN仅与ξ有关:越大，N越小，系统平稳性越好。第60页，课件共98页，创作于2023年2月试分析：1）该系统能否正常工作？ 2）若要求=0.707，系统应作如何改进？=0无阻尼等幅不衰减振荡工作不正常三

改善二阶系统的瞬态响应第61页，课件共98页，创作于2023年2月第62页，课件共98页，创作于2023年2月S平面上零点和极点到虚轴距离之比为四

具有零点的二阶系统的瞬态响应第63页，课件共98页，创作于2023年2月当a=时，即为无零点的二阶系统阶跃响应曲线。当其它条件不变时，附加一个闭环零点：超调量上升时间、峰值时间第64页，课件共98页，创作于2023年2月闭环零点 影响瞬态分量的初始幅值和相位； 不影响衰减系数和阻尼振荡频率。响应曲线的类型取决于闭环极点具体形状由闭环极点和闭环零点共同决定。第65页，课件共98页，创作于2023年2月附加的闭环零点从左侧极 点靠近。a附加零点的影响=0.5时，若a>4，则零点可忽咯不计。第66页，课件共98页，创作于2023年2月三阶系统的瞬态响应高阶系统的单位阶跃响应闭环主导极点3.5

高阶系统分析第67页，课件共98页，创作于2023年2月二阶因子引起的阻尼振荡一阶因子引起的非周期指数衰减三阶系统的瞬态响应第68页，课件共98页，创作于2023年2月其中：第69页，课件共98页，创作于2023年2月1）当=，系统即为二阶系统响应曲线；2）附加一个实数极点（0<<），原二阶系统的单位阶跃响应： 超调量上升时间峰值时间第70页，课件共98页，创作于2023年2月>1,即1/T>n

呈二阶系统特性；实数极点P3距离虚轴远；共轭复数极点p1、p2距离虚轴近特性主要取决于p1、p2。

<1,即1/T<n

呈一阶系统特性；实数极点P3距离虚轴近；共轭复数极点p1、p2距离虚轴远特性主要取决于p3。第71页，课件共98页，创作于2023年2月假设系统极点互不相同R(s)=1/sa,aj为C(s)在极点s=0和s=-pj处的留数；bk、ck是与C(s)在极点处的留数有关的常数。高阶系统的单位阶跃响应第72页，课件共98页，创作于2023年2月3）极点的性质决定瞬态分量的类型；实数极点非周期瞬态分量；共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。2）如果所有闭环极点都在s平面的左半平面，则随着时间t→∞，c(∞)=a。，系统是稳定的。第73页，课件共98页，创作于2023年2月极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；（衰减系数pj、kk）第74页，课件共98页，创作于2023年2月系统零点分布对时域响应的影响1）系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。2）通常如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数量级，则该极点和零点构成一对偶极子，可以对消。第75页，课件共98页，创作于2023年2月主导极点：（距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬态响应起主导作用。高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。闭环主导极点第76页，课件共98页，创作于2023年2月3.6稳态误差分析偏差误差第77页，课件共98页，创作于2023年2月误差:输入信号作用下的系统响应稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量控制信号作用下扰动作用下一、

误差的基本概念第78页，课件共98页，创作于2023年2月系统在控制信号作用下的稳态误差稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量第79页，课件共98页，创作于2023年2月系统在扰动作用下的稳态误差稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量第80页，课件共98页，创作于2023年2月定义系统结构对稳态误差的影响系统在控制信号作用下二、

稳态误差系数第81页，课件共98页，创作于2023年2月稳态误差系数单位阶跃输入单位斜坡输入单位抛物线输入稳态位置误差系数稳态速度误差系数稳态加速度误差系数第82页，课件共98页，创作于2023年2月V=0

0型系统V=1

I型系统V=2

II型系统稳态误差系数和稳态误差系统结构对稳态误差的影响第83页，课件共98页，创作于2023年2月0型系统的稳态误差有差系统V=0第84页，课件共98页，创作于2023年2月I型系统的稳态误差一阶有差系统V=1第85页，课件共98页，创作于2023年2月II型系统的稳态误差二阶有差系统V=2第86页，课件共98页，创作于2023年2月稳态误差系数和稳态误差系统在控制信号作用下减小和消除稳态误差方法提高系统的开环增益增加开环传递函数中积分环节系统的稳定性第87页，课件共98页，创作于2023年2月注意:(1)尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。(2)如果输入量非单位量时