§平面与立体相交求截交线课件

平面截切基本形式截交线与截断面截平面截交线截断面§4-2平面与立体相交求截交线截切——用平面与立体相交，截去立体的一部分。截平面

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用以截切物体的平面。截交线

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截平面与物体表面的交线。截断面

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因截平面的截切，在物体上形成的平面。截交线截平面一、平面和平面立体的截交线截交线的性质：1)截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形。(封闭性)2)截交线的每条边是截平面与棱面的交线。（共有性）3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点，多边形的各边是截平面与立体表面上不同平面的交线。1、求截交线的方法空间分析：截平面与体的相对位置，确定截交线的形状；截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特性。线面交点法：求平面立体棱线与截平面的交点，顺序连接各交点，即为所求。面面交线法：求截平面与平面立体表面的交线。s’a’b’c’c”a”b”sPvs”(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点1’、2’、3’为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1’2’3’(2)根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”11”2”23(3)连接各点同面投影即等截交线的三个投影(4)补全棱线投影3”例.三棱锥被正垂面所截切2、单一平面与平面立体截交求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。分析：截平面为正垂面截交线的正面投影积聚为直线。截平面与四条棱线相交，从正面可直接找出交点。1'11"2'2"2(4')43'33"作出各对应点的投影，依次连接各点。

补全棱锥体的外形投影。4"••正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。分析：由图可知，截交线的正面投影积聚为一直线。水平投影，除顶面上的截交线外，其余各段截线都积聚在六边形上。1'12'（3'）234'（5'）451"2"3"4"5"6'（7'）676"7"如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。a'(b')baa"b"分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面，截平面与棱线的交点均在棱面的投影上。此题还应作出两截平面的交线AB的投影。••BA3、多个平面与平面立体截交例题

五棱柱截切后的投影A,B,C在棱线上Pqq′P′aecbdb″e″(d″)f″(g″)a″(c″)P″q″g′a′b′c′d′e′f′例.求四棱锥被截切后俯视图,左视图121(2)Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个面上.三面共点：2●1●逐个截平面分析和绘制截交线.当平面体只有局部被截切时,先假想为整体被截切,求截交线后再取局部.例.求立体切割后投影23541116654326ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4（5）2（3）例.平面立体切口投影1（2）3412642156346（5）3（4）ⅢⅠⅥⅣⅡⅤ1’2’3’(4’)1”3”4”1243

例.立体被截切后投影截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点都是它们的共有点。截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转体轴线的相对位置。一、平面和曲面立体的截交线曲面立体截交线形状平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是①由曲线围成的平面图形，②由曲线和直线围成的平面图形，③由直线围成的平面多边形。曲面立体截交线求法1.利用截平面的积聚性,找出截平面2.在截平面的积聚性投影上找出若干个点（最高、最低、最前、最后、最左、最右点及一般点）3．利用“面上找点”确定点的其他两面投影4，连接各点曲面立体面上找点素线法：选取曲面上一系列素线，求它们与截平面的一系列共有点的方法。纬圆法：选取曲面上一系列纬圆，求它们与截平面的一系列共有点的方法。主要内容4.4.1圆柱截交线4.4.2圆锥截交线4.4.3圆球截交线面与圆柱相交所得截交线形状矩形椭圆圆截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。P

截平面与圆柱轴线平行截交线为矩形PHPPv截平面与圆柱轴线倾斜截交线为椭圆PPv截平面与圆柱轴线垂直截交线为圆三.例题

例、求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面的投影，完成侧面投影。1'•2'•1••2•1"2"•3'(4')

•4••34"••3"a••a'(b')b••a"b"•c'(d')••c•d•c"d"•

作图过程：求特殊点即找最高、最低、最左、最右、最前、最后点可确定出椭圆长短轴的端点。求一般点从正面投影上选取A、B、C、D四点分别求出水平面和侧面投影。

光滑地连接各点。圆柱截交线11'1"5"4"8'8"83254ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ4'5'解题步骤1.截平面为正垂面,截交线侧面投影圆,水平投影椭圆;2.求截交线上的特殊点Ⅰ,Ⅳ,Ⅴ,

Ⅷ;3.求若干个一般点Ⅱ,Ⅲ,Ⅵ,Ⅶ;4.光滑且顺次地连接各点,作出截交线,且判别可见性;5.整理轮廓线;762'3'2"3"6'7'6"7"()()()圆柱截交线解题步骤1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

；3．求出若干个一般点Ⅳ、Ⅴ

；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。3453'3"4'5'5'4'1'2'2"1"12()()求如图所示的开槽圆柱的左视图。分析：槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线，与上底面的截交线为正垂线。另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。1'（2'）

••1"2"••1•2•3'（4'）•3•4•3"•4"5'（6'）

•565"•6"•1'（2'）

••1"2"••1•2•3'（4'）•3•4•3"•4"5'（6'）

•565"•6"•2”1”4”3”[例题4]圆柱截交线1.截交线的水平投影为直线和部分圆,侧面投影为矩形;2.求出截交线上的特殊点Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ;3.顺次地连接各点,作出截交线并判别可见性;4.整理轮廓线;1'2'133'4'242134()()()()[例题5]圆柱截交线1.截交线为矩形,椭圆及圆和直线的组合;截交线的水平投影已知,侧面投影为矩形,椭圆和直线的组合;2.求截交线上的特殊点Ⅰ,Ⅱ,

Ⅲ,Ⅳ;3.求一般点Ⅴ;4.顺次地连接各点,作截交线,判别可见性;5.整理;3'31'122'4'455'3"2"5"1"4"()例、已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。分析：圆柱的轴线是侧垂线，截断体分别由侧平面、正垂面、水平面截切圆柱体而成的。侧平面与圆柱轴线垂直，截交线为圆弧，其正面投影为直线，侧面投影为圆弧。正垂面与圆柱轴线倾斜，截交线为部分椭圆，正面投影为直线，侧面投影与圆重合。水平面与圆柱轴线平行截交线为矩形，正面、侧面投影均直线。1'

·

•1•2"•2(3')•2'•33"•4'•(5')•4•4"5"•5•6'(7')•7"6"6•

7•1"

·cdc"d"c'(d')•()()••••主要内容4.2.1圆柱截交线4.2.2圆锥截交线4.2.3圆球截交线一.面与圆锥相交截交线圆椭圆三角形双曲线加直线段抛物线加直线段截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的形状不同。截平面垂直于圆锥轴线，倾角为θ=90ο，截交线为圆形。Pvθ截平面与圆锥轴线倾斜，倾角θ>α截交线为椭圆。PvθαθαPvαPvPv截平面过锥顶截交线为三角形。截平面与圆锥轴线倾斜面，倾角θ=α

截交线为抛物线。截平面与圆锥轴线平行或倾角θ<α，截交线为双曲线。PSⅠc''a''b''abc'b'a'特殊点c一般点由点连线整理加深解题步骤1分析截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；2求出截交线上的特殊点A、C；3求出一般点B；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。[例题3]求圆锥截交线1.截平面为正垂面侧平面,截交线为部分椭圆和梯形的组合;其水平投影为部分椭圆和直线的组合,侧面投影为部分椭圆和梯形的组合;2.求出截交线上的特殊点Ⅰ,Ⅱ;3.出一般点Ⅲ

;4.光滑且顺次地连接各点,作出截交线,判别可见性;5.整理轮廓线;a2213"3"1"1'a'2"2"2'333'[例题5]分析并想象出圆锥穿孔后的投影主要内容4.2.1圆柱截交线4.2.2圆锥截交线4.2.3圆球截交线一.面与圆球相交所得截交线圆Ph1、截平面为平行面

截平面为正平面，正面投影为截交线圆的实形。球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交线的投影可能是圆、直线或椭圆。PvPv截平面为水平面，水平投影为截交线圆的实形。截平面为正垂面，截交线的水平投影及侧面为椭圆。3、截平面为垂直面2、截平面为水平面二.求圆球截交线上点平行圆画法:在圆球表面上取若干个平行于投影面的平行圆,求这些平行圆与截平面的交点;三.圆球截交线[例题1]求圆球截交线1.截平面为正垂面,截交线为圆;截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆;2.求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ;3.求出若干个一般点A、B、C、D;4.光滑且顺次地连接各点,作出截交线,且判别可见性;5.整理轮廓线;1"2"123"4"34565"6"787"8"a"b"c"d"bacd2'1'3'4'5'6'7'8'a'bc'd'例、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。分析：半球的通槽由三个平面构成，一个水平面和两个侧平面截切圆球它们与球面的截交线都是分别平行于投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧的半径；可根据截平面位置确定。1、通槽的水平投影作图：过槽底部作辅助水平面，水平投影为圆，并在圆周上截取与正面投影相对应的前后两段圆弧。2、通槽侧面投影的作图：两侧平面距球心等远，两圆弧的半径相等，两段圆弧的侧面投影重合。22"1[例题