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数学建模微分方程模型关晓飞同济大学数学科学学院什么是微分方程?最最简单的例子引例一曲线通过点(1,2),且在该曲线任一点MXy)处的切线的斜率为2X,求该曲线的方程。解若设曲线方程为y=f(x),(1)根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式:2x(2)du对(1)式两端积分得:y=」2xx=x2+C(3)又因曲线满足条件yl=1=2代入(3)得c=1因此,所求曲线的方程为y=x-+1.回答什么是微分方程建立关于未知变量、未知变量的导数以及y=xy,自变量的方程y"+2y'-3y=e,dedM=-k(-20)M二、微分方程的解法积分方法,分离变量法可分离变量的微分方程g(y)y=f(xx可分离变量的微分方程例如=2x2y5→y5=2xx解法设函数g(y)和∫(x)是连续的,∫g(y)=f5(dx分离变量法设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函数,G(y)=F(x)+C为微分方程的解典型例题例1求解微分方程=2x的通解.解分离变量=2xdlx,两端积办d=「2xdx,Iny=x+Cl∴y=Cex为所求通解初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.y=f(x,y)阶yy过定点的积分曲线y"=∫(x,y,y')二阶:yoyr=xo=yo过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线xydx+(x+l)dy=0例2.解初值问题解:分离变量得dy=-xdxy1+x两边积分得h/=n1x2+1+in/C即y√x2+1=C(C为任意常数)由初始条件得C=1,故所求特解为y√x

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