控制工程基础课件第二章教学课件

控制系统的数学描述控制工程基础2第2章控制系统的数学描述数学模型:

描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，揭示了系统结构及其参数与其性能的关系建立系统的数学模型的目的:

从理论上对系统性能进行分析3学习要点微分方程的建立及线性化拉普拉斯变换及反变换传递函数及典型环节的传递函数系统动态结构框图及其化简4数学模型的种类微分方程（时间域）代数方程（复数域）传递函数方框图信号流图拉氏变换傅氏变换频率特性（频率域）5数学模型的建立方法数学模型的合理性对于分析和研究系统极其重要方法:解析法:根据物理学定律、理论推导变量间的数学关系实验法：加信号测试响应并用数学模型逼近建立数学模型依据的物理定律：机械系统：牛顿定理、力或力矩平衡定律电气系统：欧姆定理、基尔霍夫定理62.1控制系统的微分方程描述建立微分方程的步骤分析系统的各环节的输入量、输出量(设中间变量)从系统的输入端开始，按信号传递变换的过程，依据变量遵循的物理学定律，依次写出各环节的动态微分方程消去中间变量，得到系统输入、输出的微分方程写成标准化的形式(输出量在左侧，输入量在右侧)7一、电气系统描述电气元件、电流和电压间的关系电阻电容电感8例2.1.1简单的R-C无源网络，试写出输入ui(t)和输出uo(t)之间的动态关系式

解：①确定电路中每个环节的输入量和输出量设定中间变量为电流i(t)②列出各环节的原始微分方程③消去中间变量i(t)，得微分方程④化为标准型i(t)9例无源电路网络解：①确定各环节的输入输出量②列写各环节的微分方程--基尔霍夫定律和欧姆定律10例有源电路网络

i1(t)

i2(t)

_

K0

+

ui(t)

uo(t)

C

R

N

P

解：(1)确定各环节的输入输出量(2)各环节的微分方程(3)消去中间变量化为标准型11例2.1.2二阶低通滤波器

解：①确定各环节的输入量和输出量设中间变量为i(t)、uc(t)和iL(t)②列各环节的微分方程—根据欧姆定律uc(t)③消去中间变量i(t)、iL(t)和uc(t)代入(3)(6)代入(1)(5)(6)(7)代入(2)得化为标准型得12二、机械系统描述机械元件、合力和位移间的关系质量块f(t)mx(t)f(t)x(t)k弹簧f(t)x(t)D阻尼器13例2.1.4质量-弹簧-阻尼系统

解：①确定各环节的输入输出量设中间变量为fk(t)和fD(t)fk(t)fD(t)②列各环节的微分方程(牛顿定律)③消去中间变量有④化为标准型有14例2.1.5水平机械位移系统

解：①确定各环节的输入输出量(设中间变量)②列各环节的微分方程fk(t)fD(t)③消去中间变量有④化为标准型有MDKxo(t)xi(t)15例2.1.6加热系统已知单位时间内流入加热箱的液体质量为M，箱内恒有液体质量为M0，比热为c。系统输入为加热器单位时间内产生的热量为q，输出为出口和入口的温差T，试建立输入和输出之间的动态关系式解：①设液体初始温度T0，出口温度为T②根据热量平衡知瞬时流入加热箱的热量应等于流出和消耗的热量，在时间dt内系统的中热量有

加热器产生热量

dQ1=qdt流入液体热量

dQ2=cMT0dt流出液体热量

dQ3=cMTdt箱内液体升温热量

dQ4=cM0d

T而

dQ1+dQ2=dQ3+dQ4得即16单输入、单输出系统微分方程的一般形式

172.1.2非线性系统的线性化实际系统一般都有非线性现象：严格讲：所有系统都是非线性的电机死区齿轮间隙放大器饱和

线性化的原因：非线性系统的理论还远不完善，迭加原理不适用，分析困难。而线性系统有成熟的理论可用18线性化方法非线性因素对系统影响很小可忽略系统变量只发生微小偏移，可通过切线法进行线性化，求其增量方程平衡点附近的微小偏差线性化将非线性函数在平衡点附近进行展开成泰勒级数并忽略高阶小量19

单摆思考题1.对数学模型描述错误的是（）。A.可以从理论上对控制系统进行分析B.数学模型之间可以相互转换C.可以从数学模型中看出系统的物理属性D.建立数学模型的方法有解析法和实验法2.下列说法错误的是（）。A.建立系统的微分方程必须要明确系统的物理结构B.微分方程是一种时域数学模型C.描述控制系统的微分方程都是线性的D.建立微分方程的方法是解析法212.2拉普拉斯变换及反变换

—一种解线性微分方程的简便方法是分析工程控制系统的基本数学方法

时域微分方程复变函数代数方程拉氏变换拉氏反变换22复习复变量和复变函数复数有实部和虚部，两部分都是常数。如：复变量指复数的实部或虚部中含有变量。如：

复变函数F(s)

是复变量s

的函数，也有实部和虚部。如：23复习复变量和复变函数复数相加（减）：两个复数的实部和虚部分别相加得和（差）的实部和虚部。如：复数相乘（除）：积(商)的幅值等于两个复数幅值的乘积(商)，相角等于两个复数相角的和(差)。如：复数分母有理化分子和分母同时乘上分母的共轭复数。如：

24例如：G(s)平面40S平面20252.2.1拉普拉斯变换定义对于函数f(t)

，满足下列条件象函数原函数复变量量纲26简单函数的拉氏变换例2.2.1单位阶跃函数

0t127例2.2.2 指数函数0t128例2.2.3幂函数0t293031应记住的

一些简单函数的

拉氏变换322.2.2拉普拉斯变换的性质叠加性质332衰减定理343延时定理00354微分定理初始条件为零(零初始条件)365初值定理6终值定理

377时间比例尺改变的象函数

388tx(t)的象函数

9卷积分的象函数

39例2.2.5求象函数

解

根据三角函数性质故40例求象函数

解：412.2.3拉普拉斯反变换求拉氏反变换方法：利用拉氏变换表利用部分分式展开法，然后再利用已知函数的拉氏变换和拉氏变换的性质42控制系统象函数的一般形式：

将分母因式分解后，包括三种不同的极点情况，采用部分分式法进行拉氏反变换使分子为零的s值称为函数的零点使分母为零的s值称为函数的极点，即D(s)=0的解431、D(s)=0不相等的实根对分母分解因式再分解为部分分式4445(-)472、D(s)=0含有共扼复根----即D(s)含有不可因式分解的二次因式方法:

待定系数法将不可分解的二次因式做为一项分解为:将右边的部分分式通分,按分子分母对应项系数相等的原则得到关于待定系数的方程组,求解即可.的原函数求法—配方,利用4849503、

D(s)=0含有多重根5152532.2.4用拉氏变换解常系数线性微分方程

步骤利用拉氏变换微分定理对微分方程进行拉氏变换；作因变量的拉氏反变换，求出微分方程的时间解。解

对微分方程进行Laplace变换，得代入初始条件，求得552.3.1传递函数定义在零初始条件下，线性定常系统输出象函数与输入象函数之比。2.3控制系统的传递函数56设线性定常系统的微分方程为：57传递函数的性质传递函数是在拉氏变换基础上，以系统本身参数描述的线性定常系统输入量和输出量的关系式，是s的有理真分式，它表达了系统内在的固有特性，与输入量无关；传递函数有无量纲，根据输入、输出量纲而定；传递函数不表明系统物理特性和物理结构。58传递函数的优点592.3.2典型环节的传递函数比例环节例2.3.1602一阶惯性环节时间常数例

无源滤波电路i(t)61利用复阻抗求传递函数62例弹簧-阻尼系统f(t)63微分环节理想微分环节永磁式直流测速机64近似微分环节例有源电路网络i1(t)

i2(t)

_

K0

+

ui(t)

uo(t)

C

R

N

P

解：消去中间变量得拉普拉斯变换得4积分环节665二阶振荡环节67例68例MkD思考题1.对传递函数的描述错误的是（）。A.是控制系统的数学模型B.与输入信号有关C.不能反映系统的物理属性D.系统的初始条件为零2.对拉普拉斯变换描述错误的是（）。A.是一种数学变换B.可将微分方程转换为代数方程C.复杂函数的拉普拉斯变换可根据性质和简单函数的拉普拉斯变换求出D.解微分方程时必须是零初始条件2.4控制系统的动态结构框图——也称为方框图(函数方块图、方块图)，是系统中各环节的数学模型和信

号流向的图解表示712.4控制系统的动态结构框图方框图单元2.比较点(相加点)3.引出点-+2.4.1动态结构框图的基本组成72实际物理系统函数方块图的绘制步骤:1.从系统的输入端开始到输出端利用复阻抗或等效弹性刚度的概念列写各个环节的输入输出代数方程2.绘出各环节的方框图,标明输入量、输出量3.将同一信号的通路连接在一起,组成完整的方块图73作用力的拉氏变换和位移的拉氏变换比值74复阻抗电压的拉氏变换和电流的拉氏变换比值75例2.4.1汽车在凸凹不平的路面行驶时，路面的高低变化形成激励源，造成汽车的振动和轮胎受力。7677例绘制系统方框图782.4.2动态结构框图的等效变换及简化1．串联的等效各环节传递函数的积792．并联的等效变换×各环节传递函数的和803．反馈的等效变换

×-+_联立并消去中间变量+前向通道反馈通道814.方块图变换法则（1）各前向通路传递函数的乘积不变；（2）各回路传递函数的乘积不变。8283

向前或向后移动相加点或引出点，但是相加点的移动不要越过引出点，引出点的移动不要越过相加点，可重复移动，目的是使各个回路没有交叉点。方框图化简的一般方法:84例：方块图化简×××---×---××85×---××××--×-86×××---××---×××---×---G2