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第6章多元函数微积分第1节多元函数的概念第2节多元函数的偏导数和全微分第3节多元复合函数、隐函数的求导法则第4节多元函数微分法的应用第5节二重积分的概念第6节二重积分的计算第7节二重积分的应用§61多元商數的概念二元函数的定义二元函数的几何意义二元函数的极限二元函数的连续性小结思考与练习■二元函数的定义定义1设有三个变量,y和,如果当变量,y在某一给定的二元有序实数劝内任取一对值x,y时,变量按照一定的规律总有唯一确实的数值和们对应,则变量叫做变量,y的二元函数,记传=f(x,y)其中x,y为自变量,z为因变量(x,y)变化的范围称为函数的定义域。设点xn,y)∈D,则,z=f(x,y)称为对应(xn,y)的函数值,函数值的总体称为函数的值域。类似地,可定义三元函数及其他多元函数。例1正圆锥体体积和它的底半径,高h之间具有关系Trh这里,ν随着r,h的变化而变化,当,h在一定范围(r>0,h>0内取定一队值时,ν的值就随之确定,即当定二元有序数组r,h)时,1便有确定的值与之对应这时底半径r和高h是相互独立的,它们淘不存在依赖关系,体积是半径和高h的二元函数例2一个有火炉的房间内在同一时刻的温度分布在选定空间直角坐标系后,房间内每一点x,y,x)处都有唯一的温度u与之对应,这时温度是x,y,z的一个三元函数,故可表为=u(x,y,z)若考虑房间不同时刻的温度分布,则温度就是x,y,,t的一个四元函数=l(x,y,,1)类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数■二元函数的几何意义般地讲,二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的个曲面。设二元函数=f(x,y)(x,y)∈D在定义域D内每取一点p(x,y),根据函数的关系式就得到相应的值,空间中的M(x,y,f(x,y)的坐标满足关系式=f(x,y),当点p(x,y)跑遍定义域D)时,相应的点M(x,y,f(x,y)就在空间描绘出一个曲面,这个曲面就是二函数=f(x,y)的图形。(2)二元函数z=f(x2y)的图形—一空间点集{(xry,f(x,y)(x,y)eD通常是一张曲面(函数曲面)f(x,y)二元函数的极限设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P(x0,y)是D的内点或边界点,如于任意给定的正数E,总存在正数δ,使得对于适合不等式0<|P=y(x-x0)2+(y-y0)2<8的一切点p(xy)∈D,都有f(x,y)-A<c成立,则称常数为函数f(x,y)当x→>x,y→>y时的极限,记作imf(x,y)=A或f(x,y)→A(P→0,这里P=Pl小结(1)(x,y)趋于(xy)是指点p(x,y)与点(x,y舶距离√(x-xn)2+(y-y)2趋于零。这一点与一元函数相类似。(2)当(x,y)趋于(xn,y)时,函数(x,y)以A为极限,是指p(x,y)以任何方式趋于0(x,y肘时,函数都无限接近例3数(x1)=(x2+y)sn12(x2+y2≠0)求证limf(x,y)=0证明(

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