考研数学习题课-基础班-第十讲下课件

一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲面积分（一）对面积的曲面积分的概念及计算方法（二）对坐标的曲面积分的概念及计算方法（三）高斯公式及斯托克斯公式

二、曲面积分的计算法（四）物理应用（一）对面积的曲面积分的概念及计算方法①定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,

则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积说明：(1):积分曲面(也称积分区域)；积分区域：假定光滑或逐片光滑.逐片光滑：曲面分成若干块后,每块光滑.光滑曲面:曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.1.对面积的曲面积分的概念及性质故二重积分是第一类曲面积分的特例.假定：第一类曲面积分总是存在的，重点是计算第一类曲面积分.②第一类曲面积分的性质(假定下面的面积分都存在)结论1关于对称关于是偶函数关于是奇函数如果积分曲面关于平面对称（轮换对称性）则结论2P184题2.设一卦限中的部分,则有().(2000考研)2.对面积的曲面积分的计算方法化为二重积分计算证明:由定义知所以类似的有温馨提示：向哪个坐标面投影，由所给积分曲面方程的形式决定.注意：对面积的曲面积分的计算步骤如下：简述为：一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元投影：将曲面投影到坐标面得投影区域xyzo11D例1.Dxyzo11D利用对称性例1.说明：第一类曲面积分的简化计算方法（1）曲面积分与曲线积分一样，可用积分曲面的方程代入被积表达式化简被积函数.（2）利用曲面积分的几何意义简化计算曲面积分.（3）利用积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性简化计算曲面积分；或用轮换对称性.（4）利用规则几何体的质心坐标.预备知识：有向曲面及曲面元素的投影1.曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带分上侧和下侧分内侧和外侧分左侧和右侧(单侧曲面的典型)其方向用法向量的2.指定了侧的曲面叫有向曲面,

指向表示:其方向用法向量的指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧侧的规定2.指定了侧的曲面叫有向曲面,

表示:点处的单位法向量.注:3.有向曲面元的投影：ab同理可定义：（二）对坐标的曲面积分的概念及计算方法类似地：①定义:1.对坐标的曲面积分的概念及性质说明:②对坐标的曲面积分的性质：③两类曲面积分的联系：故两类面积分的关系的的向量形式：---法向量注：由这个关系式就可把第二类曲面积分转化为第一类曲面积分，用第一类曲面积分的计算方法计算2.对坐标的曲面积分的计算方法从而有即由所给积分的形式确定将向哪个坐标面投影.注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.概括为：代换：将曲面的方程表示为二元显函数,然后代入被积函数一代换、二投影、三定号将其化成二元函数.投影：将积分曲面投影到与有向面积元素(如dxdy)中两个变量同名的坐标面上(如xoy面).定号:由曲面的方向,即曲面的侧确定二重积分前的正负号.注积分曲面的方程必须表示为单值显函数否则分片计算，结果相加②确定正负号的原则：曲面取上侧、前侧、右侧时为正，曲面取下侧、后侧、左侧时为负.(2)“合一投影法”或“点积法”例2.解:下侧则由公式得：说明：积分曲面的方程必须表示为单值显函数否则分片计算，结果相加.②要写出积分曲面的方程、侧及投影区域.由所给积分的形式确定将向哪个坐标面投影.③第二类曲面积分的简化计算方法有：ⅰ.利用积分曲面的方程代入被积函数，化简被积函数.ⅱ.利用积分曲面的垂直性.ⅲ.利用两类曲面积分的关系化简计算第二类曲面积分.例3.计算解:利用两类曲面积分之间的关系上侧例4.解:利用向量点积法下侧（三）高斯公式及斯托克斯公式高斯公式2.使用Guass公式时应注意:（1）是否满足高斯公式的条件:

封闭性，有向性，连续性.（2）（3）是对什么变量求偏导数.相当于：解:于是取上侧注意:1.是否满足高斯公式的条件

（封闭性，有向性，连续性）200420062009所围区域内偏导，不连续（因在原点不连续）所围区域闭合非闭注意定理使用的条件：有向性；连续性；封闭性.右手法则：说明:(任意选一种记住它)利用斯托克斯公式得解:则其法向量（四）物理应用2.曲面的质心坐标例9.解:由对称性故质心坐标为例10.已知曲面壳求此曲面壳在平面z=1以上部分的质量M.的面密度解:

在xoy面上的投影为

故4.通量

设是场内的一片有向曲面

n是上点(x,y,z)处的单位法向量则称为向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量)

5.环流量的定义:经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWill