第12章变化的电磁场课件

第十二章变化的电磁场研究对象：研究变化的电场与磁场相互产生的规律电磁感应动生电动势感生电动势变化的磁场产生电场变化的电场产生磁场内容结构基本应用自感与互感磁场的能量位移电流假说变化的电磁场安培定理用于交变电流的矛盾涡旋电场假说法拉第电磁感应定律、楞次定律变化的电磁场12-1电磁感应定律（本次课）12-2动生电动势12-3感生电动势……§12-1电磁感应的基本定律

一产生电磁感应的基本方式Ii

共同点：当一个闭合回路面积上的磁通量发生变化时，回路中便产生感应电流。这就是电磁感应现象。下面我们来研究感应电流方向和大小。(a)(b)(c)I(t)Ii(d)1.由于相对运动2.由于磁场的变化Ii二.楞次定律

闭合导体回路中感应电流的方向,总是企图使它自身产生的通过回路面积的磁通量,去阻碍原磁通量的改变。这一结论叫做楞次定律。

1)阻碍的意思是：BBIi

感应电流Ii与原磁场B的反方向成右手螺旋关系。

若m增加,感应电流的磁力线与B反向;

若m减少,感应电流的磁力线与B同向;

感应电流Ii与原磁场B的正方向成右手螺旋关系。Ii2)企图

感应电流总是企图用它产生的磁通,去阻碍原磁通的改变，但又无法阻止原磁通的变化，因而感应电流还是不断地产生。3)楞次定律是能量守恒定律的必然结果。

要想维持回路中电流，必须有外力不断作功。这符合能量守恒定律。

则不需外力作功，导线便会自动运动下去，从而不断获得电能。这显然违背能量守恒定律。按楞次定律，如果把楞次定律中的“阻碍”改为“助长”，fmfm4)对闭合导体回路而言,感应电动势的方向和感应电流的方向是相同的。i因而回路中感应电动势的方向,也用楞次定律来判断。

I三.法拉第电磁感应定律

法拉第从实验中总结出回路中的感应电动势为

1.m

是通过回路面积的磁通量；

对匀强磁场中的平面线圈：2.用法拉第电磁感应定律解题的步骤如下：(i)首先求出回路面积上的磁通量：(对平面正法向无法确定则取正值)感应电动势的大小由磁通量变化的快慢决定！

“-”的意义：负号是楞次定律的数学表示。用楞次定律或如下符号法则判定感应电动势的方向:

若i>0,则i的方向与原磁场的正方向组成右手螺旋关系；若i<0,则i的方向与原磁场的负方向组成右手螺旋关系。

例如:m，

由符号法则，i的方向与原磁场的负方向组成右手螺旋关系。这显然和由楞次定律的结果一致。i(ii)求导：3.若回路线圈有面积相同的N匝，且绕向相同，则

=Nm称为线圈的磁通链。因此上式的意义是：线圈中的感应电动势等于该线圈的磁通链对时间的一阶导数的负值。

4.如果闭合回路的总电阻为R,则回路中的感应电流

5.设在t1和t2两个时刻,通过回路所围面积的磁通链分别为1和2,则在t1→t2这段时间内,通过回路任一截面的感应电量为即上讲：§12-1电磁感应的基本定律

一产生电磁感应的基本方式Ii

条件：当一个闭合回路面积上的磁通量发生变化时，回路中便产生感应电流。这就是电磁感应现象。(a)(b)(c)I(t)Ii(d)1.由于相对运动2.由于磁场的变化Ii

例题12-1

一圆线圈有100匝，通过线圈面积上的磁通量m=8×10-5sin100t(wb),如图所示。求t=0.01s时圆线圈内感应电动势的方向和大小。

解=-0.8cos100t代入t=0.01,得i=0.8=2.51(v)

由于i>0,i的方向与原磁场的正方向组成右手螺旋关系,即顺时针方向。由楞次定律可知，此时圆线圈内感应电动势的方向应是顺时针的。

因t=0.01s时,函数sin100t是减小的,所以通过线圈面积上的磁通量m也是减小的。i

例题12-2

一长直螺线管横截面的半径为a,单位长度上密绕了n匝线圈，通以电流I=Iocost(Io、为常量)。一半径为b、电阻为R的单匝圆形线圈套在螺线管上，如图所示。求圆线圈中的感应电动势和感应电流。

解由m=BScos得m=µonI·b2a2BIab如果b<a,结果怎样？

解

m=BScos

(1)一矩形线圈(a×b)在匀强磁场中转动，t=0时如图所示。m=Babcos

(t+)

例题12-3

一面积为S、匝数为N的平面线圈，以角速度在匀强磁场B中匀速转动;转轴在线圈平面内且与B垂直。求线圈中的感应电动势。=BScos

(t+o)式中o为t=0时磁场B与线圈法线方向的夹角。

=Babcost=Babsin(t+)Bab应当注意，对匀速转动的线圈：

我们连接bd组成一个三角形回路bcd。m=BScos

(t+o)

由于bd段不产生电动势，所以回路(

bcd)中的电动势就是导线bcd中电动势的。

(2)一导线弯成角形(bcd=60º,bc=cd=a)，在匀强磁场B中绕oo´轴转动，转速每分种n转,t=0时如图所示，求导线bcd中的i。do´cBob对转动的线圈：本题中的磁场是匀强磁场吗？是！m=BScos

(t+o)=-BoScos2t=Bosint.Scost

(3)面积为S的平面单匝线圈,以角速度在磁场B=Bosint

k(Bo

和为常量)中作匀速转动。转轴在线圈平面内且与B垂直，t=0时线圈的法线与k同向，求线圈中的感应电动势。

例题12-4

长直导线中通有电流I=Iocost(Io和为常量)

。有一与之共面的三角形线圈ABC,已知AB=a,BC=b。若线圈以垂直于导线方向的速度向右平移,当B点与长直导线的距离为x时,求线圈ABC中的感应电动势。

解先求磁通：

将三角形沿竖直方向分为若干宽为dr的矩形积分。tg=a/bm=xbABCaIdrrds,I=Iocost,x(t),xbABCaI

例题12-5

如图所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一条边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为r1和r2。已知两导线中的电流都为I=Iosint(其中Io和均为常量),导线框长为a宽为b,求导线框中的感应电动势。r1r2abIIdrr

解先求磁通。adrm=ds,I=Iosint

例题12-5

如图所示，在马蹄形磁铁的中间A点处放置一半径r=1cm、匝数N=10匝、电阻R=10的小线圈，且线圈平面法线平行于A点的磁感应强度。今将此线圈移到足够远处，在这期间若线圈中流过的总电量Q=×10-6C，

试求A点的磁感应强度。

解始末磁通链为可得NS1=NBr2=RQ由公式1=NBr2，2=0所以A§12-2动生电动势

1.现象

导体在磁场中运动并切割磁力线时，导体中便产生电动势—动生电动势。

按原因不同，感应电动势可分为2种：感生电动势动生电动势

2.原因：abB--++运动电荷受洛仑兹力作用。

电子所受的洛仑兹力可用一个非静电性电场来等效，即3.计算公式

按电动势的定义：或(方向由a到b)abB--++)dl得计算步骤：(2)若i>0,则i的方向与dl同向；若i<0,则i的方向与dl反向。

(1)首先规定一个沿导线的积分方向(即dl的方向

)。abB--++dl(3)dl得

例题12-7

一长l的直导线ab以恒定的速度

在匀强磁场B中平移，求导线中的动生电动势。解由dlabdl=Bl因i>0,所以i的方向与l同向,即由a到b。

(1)三垂直(B直导线l)。abB--++首先规定l的方向由a到b,如图所示。lab=l

(2)任意形状的导线在匀强磁场中平移时，abBdll

在匀强磁场中,弯曲导线平移时所产生的动生电动势等于从起点到终点的直导线所产生的动生电动势。dlab=lab=bc=l,求Va-Vc=?

dabc=adc=ad=Bl(1-cos)

电动势的方向由c指向a;a点比c点电势高。所以

Va-Vc=Bl(1-cos)导线在匀强磁场中运动，

B。ab=Babbc=Bl

,cbcos,bacVa-Vc=Bl(1-cos)abclabclBl求Va-Vb=?Va-Vb=ab=ab

=45º45ºRbaoabVa-Vc=

+Blsindabc=dcabcVa-Vc=?=Blsin

例题12-11

均匀磁场被限制在两平面之间，边长l的正方形线圈匀速通过该磁场。哪个I-t图形是正确的？(设逆时针为电流的正方向，不计线圈的自感)当线圈各边都在磁场中时，Va-Vb=问题：ab+BlIto(A)Ito(C)Ito(B)Ito(D)

解:=

负号说明：i的方向由p指向o，o点电势高。请记住这个转动公式:

例题12-9

一条金属细直棒op(长为l)绕o点以角速度在垂直于匀强磁场B的平面内匀速转动,求Vo-Vp=?)opBxdxAo=l1,

oC=l2VA-VC=ACo若l1>l2,

则A点电势高；若l1<l2,

则C点电势高。三角形绕轴ab转动,bc=l

。Vb-Vc=三角形回路:i=BACocbaB0上讲感应电动势法拉第电磁感应定律计算（或用楞次定律判断方向）感生电动势动生电动势No.11-2ab

i=BlIi

例题12-11

有一很长的长方的U形导轨,与水平面成角,裸导线ab可在导轨上无摩擦地下滑,导轨位于磁感应强度为B的垂直向上的均匀磁场中,如图所示。设导线ab的质量为m,长度为l,导轨上串接有一电阻R，导轨和导线ab的电阻略去不计,abcd形成电路,t=0,=0;试求:导线ab下滑的速度与时间t的函数关系。

解导线ab在安培力和重力作用下，沿导轨斜面运动。cosRabcdB知:由Fm=IilB

沿斜面方向应用牛顿第二定律：-dtIiRabcdB×BmgFm-dt由

t=0,=0,得C2=-gsin

导体不动,磁场随时间变化,导体中便产生感应电动势—感生电动势。

§12-3感生电动势

涡旋电场1.现象2.原因

当螺线管中电流发生变化，引起螺线管中的磁场变化时，套在外边的圆环中便产生电动势。

是什么力驱使导线中的电荷运动，从而产生电动势呢？不是洛仑兹力。也不是静电力。BIab

麦克斯韦的这个假设已为实践所证实，是麦克斯韦电磁理论的基本原理之一。

麦克斯韦认为：变化的磁场要在其周围的空间激发一种电场,叫做感生电场(涡旋电场)Ei。

圆环导线中的感生电动势正是感生电场对自由电子作用的结果。

BIab3.性质

1)感生电场的环路定理由电动势定义：由法拉第定律：得：表明：只要存在着变化的磁场，就一定会有感生电场。感生电场的环流并不等于零，故感生电场是非保守场。

2)感生电场的高斯定理因感生电场是非保守场，则可认为其电力线是闭合曲线，故其穿过任一封闭曲面的通量应恒等于零。感生电场是无源场两种电场比较静止电荷变化磁场有源，保守场无源，非保守场(涡旋)不能脱离源电荷存在可以脱离“源”在空间传播起源性质与源的联系对场中电荷的作用静电场感生电场4.感生电场存在的实验证明

1)涡电流

2)电子感应加速器5.计算公式感生电场的方向可用楞次定律来确定。按电动势的定义：

感生电场E感的电力线是围绕磁力线的闭合曲线；

例题12-12

一半径为R的圆柱形空间区域内存在着由无限长通电螺线管产生的均匀磁场,磁场方向垂直纸面向里，如图所示。当磁感应强度以dB/dt的变化率均匀减小时,求圆柱形空间区域内、外各点的感生电场。

由楞次定律判定，感生电场的方向是顺时针的，Rr=Ei

·2rr<R:

解由问题的对称性知，感生电场Ei的电力线是围绕磁力线的圆周曲线。

且圆周上各点Ei

的大小相等。由r>R:Ei

·2rEi

·2rr<R:Rr变化的电磁场12-1电磁感应定律12-2动生电动势12-3感生电动势（本次课）12-4自感和互感（本次课）……

解由楞次定律判定，感生电场的方向是逆时针的。

例题12-13

一半径为R的圆柱形空间区域内存在着均匀磁场,磁场方向垂直纸面向里，如图所示；磁感应强度以dB/dt的变化率均匀增加。一细棒AB=2R,中点与圆柱形空间相切，求细棒AB中的感生电动势，并指出哪点电势高。r>R:

你能完成这个积分吗？不妨试试。RABordl

连接oA、oB组成回路。

由楞次定律知，回路电动势方向为逆时针，因此导线AB中的感生电动势由A指向B。B点电势高。

由于oA和oB不产生电动势,故回路电动势就是导线AB中的电动势。=0RABoo.(填>、<或=)连接oA、oB组成回路,由得知。AB

(2)如图所示的长直导线中的感生电动势:o.R问题:圆柱形空间区域内存在着均匀磁场，(1)对直导线AB和弯曲的导线AB：感应电动势动生电动势

感生电动势自感电动势互感电动势本节§12-4自感和互感

I变（B变）一.自感现象自感系数

1.现象：由于回路电流变化，引起自已回路的磁通量变化，而在回路中激起感应电动势的现象叫做自感现象。相应的电动势叫做自感电动势。

(1)定义设回路有N匝线圈，通过线圈面积上的磁通量为m,则通过线圈的磁通链数:式中比例系数L,叫做线圈的自感系数,简称自感。

对非铁磁质,L是常量,大小与线圈的形状大小及磁介质有关。对铁磁质,L不再是常量(与电流有关)。BINm

INm=LI2.自感系数当I增加时，自感电动势原电流方向相反当I减小时，自感电动势与原电流方向相同

A）在L一定的情况下，自感电动势与电流的变化率成正比。

B）对于相同的电流变化率，L越大的线圈，产生的自感电动势越大。

①从大小上看：

自感电动势为

如果线圈自感系数L为常量,则(2)物理意义可见，L越大的线圈，回路中的电流就越不容易改变。Nm=LI

②从方向上看：可见，自感电动势的作用是反抗回路中的电流变化。

可见回路中的自感具有使回路保持原有电流不变的性质，这一性质与力学中物体的惯性相似，因此，自感系数L被视为电磁惯性大小的量度，反映了自感电动势阻碍电流变化的能力。由上可得计算自感系数的方法：（少用）设求分布（多用）(3)计算L的单位（SI制）：亨利（H）

例题12-14

一单层密绕、长为l、截面积为S的长直螺线管,单位长度上的匝数为n,管内充满磁导率为的均匀磁介质。求该长直螺线管的自感系数。

解设在长直螺线管中通以电流I，则B=

nIm=BS=nIS

Sl=V最后得提高L的途径增大V提高n放入值高的介质（实用）=NnS解drr

例题12-15

一矩形截面螺线环，共N匝，求它的自感。

例题12-16

求同轴电缆单位长度上的自感。解(a<r<b)abIIdrr二.互感

1.现象：由于一个线圈中电流发生变化而在附近的另外一个线圈中产生感应电动势的现象叫做互感现象。这种感应电动势叫做互感电动势。N221=M1I1N112=M2I2实验证明，M1=M2=M。比例系数M,叫做两线圈的互感系数,简称互感。I112B2.互感系数M在数值上等于任一线圈中单位电流的磁场，穿过另一线圈的磁通链。互感系数M决定于两线圈的形状、大小、匝数、相对位置及周围的磁介质。在非铁磁介质的情况下,M与电流无关，在铁磁质中,M将受线圈中电流的影响。问题：两线圈怎样放置，M=0？M=0(2)互感电动势当一个线圈中电流变化率为一个单位时，在相邻另一线圈中引起的互感电动势。

由此看来，在电流变化率相同的条件下，某两个线圈的互感系数大，这两个线圈的互感电动势也就大。

可见，互感系数反映了两个线圈的相互感应的能力，或者说反映了两个线圈在磁方面联系的紧密程度。由上可得计算互感系数的方法：计算自感系数的方法：比较！(3)计算得设I1

I1的磁场分布穿过线圈2的

例题12-17

一无限长直导线与一矩形线框在同一平面内，如图所示。当矩形线框中通以电流I2=Iocost(式中Io和为常量)时，求长直导线中的感应电动势。解假定长直导线中通以电流I1,则drrcbaI212

注：本题还可令长直导线中通以电流I2,直接由法拉第电磁感应定律求得其在矩形线框中产生的互感电动势，该电动势与待求电动势大小相等。cbaI212I2=Iocost

例题12-18

一长直磁棒上绕有自感分别为L1和L2的两个线圈，如图所示。在理想耦合的情况下，求它们之间的互感系数。

解设自感L1长l1、N1匝，L2长l2、N2匝，并在

L1

中通以电流I1。考虑到理想耦合的情况，有1234SL1L2同理，若在

L2

中通以电流I2，则有前已求出：得

必须指出,只有在理想耦合的情况下,才有的关系;一般情形时,,而0≤k≤1,k称为耦合系数,视两线圈的相对位置而定。1234SL1L2问题：

1.将2、3端相连接，这个线圈的自感是多少？

设线圈中通以电流I，则穿过线圈面积的磁通链为1234SL1L2

当L1=L2=L0时，L=4L0

顺接

2.将2、4端相连接，这个线圈的自感是多少？1234SL1L2

当L1=L2=L0时，L=0

自感相同的两线圈反接又称为无感连接。问题：如何用线绕方法制作纯电阻？双线并绕。

反接§12-5磁场能量一.自感磁能电源发出的总功电源反抗自感的功电阻上的焦耳热KRL1.通电线圈中的磁能

电源反抗自感作功过程，也是线圈中磁场的建立的过程。可见，电源克服自感电动势所作的功，就转化为线圈L中的磁能:2.磁场能量密度设螺线管单位长度上n匝，体积为V，其中充满磁导率为µ的均匀磁介质,L=µn2V,

B=µnI=

µH

因为长直螺线管内磁场是均匀的,所以磁场能量的分布也是均匀的。于是磁场能量密度为上式虽然是从载流长直螺线管为例导出的,但可以证明该式适用于一切磁场(铁磁质除外)。

例题12-19

一细螺线环有N=200匝，I=1.25A,通过环截面积的磁通量m=5×10-4wb,求螺线环中储存的磁能。解

=0.125J

例题12-24同轴电缆由两个同轴薄圆筒构成,流有等值反向电流I，两筒间为真空，计算电缆单位长度内所储存的磁能。解(R1<r<R2)也可用计算。R1R2II1rdr第十二章变化的电磁场研究对象：研究变化的电场与磁场相互产生的规律电磁感应动生电动势变化的磁场产生电场内容结构变化的电磁场涡旋电场假说法拉第电磁感应定律、楞次定律感生电动势自感互感磁场能量变化的电场产生磁场?位移电流假说安培定理用于交变电流的矛盾

前面讲到，变化的磁场激发电场(感生电场)。那么，会不会有相反的情况：变化的电场也会激发磁场？麦克斯韦在研究了安培环路定律应用于交流电路中出现的矛盾以后，提出了位移电流的概念，对上述问题作出了圆满的回答。§12-6位移电流

在稳恒电流条件下,安培环路定律为式中:I0内是穿过以闭合回路l为边界的任意曲面S的传导电流的代数和。

一.问题的提出

对开放电路中的非稳恒电流,是否适用？

I(平面S1)0(曲面S2)

可见，在非稳恒的条件下,具有上述形式的安培环路定律不再适用,原因是在非稳恒的条件下，传导电流不再连续，必须加以修正。kIlES2

麦克斯韦注意到极板处电流的不连续引起极板上电量的变化，而电量的变化又导致板间电场的变化。

二.位移电流的概念

S1假设在dt内，通过电路上任意截面的电荷为dq，则导线中的电流强度为

可见，电路中的传导电流强度=电容器极板上电量对时间的变化率。极板上的传导电流密度=极板上的电荷面密度的时间变化率。令极板面积为S麦克斯韦研究了导体中的传导电流和电场变化的关系。

由于电场的变化源于极板上电荷的变化，故先来探寻传导电流与极板电荷变化的关系.(q为极板上的电量)

两极板间，有变化的电场：(极板中的传导电流密度)电位移D对时间的变化率kIlES2S1由于D与J同方向，故(极板内的传导电流强度)kIlES2S1若把也看作“电流”，则无论选择S1或S2

，都会使的环流取得同一个确定值，而不致产生矛盾。位移电流密度：位移电流强度：即:通过电场中某面积的位移电流强度等于通过该面积的电位移通量对时间的变化率；电场中某点的位移电流密度等于该点电位移矢量对时间的变化率。

把电场的变化看作是一种电流，这就是麦克斯韦位移电流的概念。麦克斯韦指出：kIlES2S1全电流=传导电流+位移电流全电流总是连续的。

麦克斯韦指出：位移电流(电场的变化)与传导电流一样，也要在周围的空间激发磁场。

因此,在非稳恒情况下,安培环路定律的一般形式为位移电流三.全电流定律安培环路定律的推广传导+运流kIlES2S1+运流电流就磁效应而论，位移电流与传导电流完全平等。

位移电流：仅仅意味着电场的变化；可存在于任何介质(包括真空)中；四.位移电流的性质传导电流：电荷的运动；只存在于导体中；有焦耳热。无焦耳热。位移电流的实质在于揭示出变化的电场要激发磁场这一事实。

例题12-23平行板电容器的电容C=20F，两板上电压变化率为dU/dt=1.50105V.s-1，求两板间的位移电流强度。解=3A

例题12-24

如图所示,一电量为q的点电荷,以匀角速度作半径R的圆周运动。设t=0时，q所在点的坐标为(R,0),求圆心o处的位移电流密度。解

xyRoqt位移电流密度：即:通过电场中某面积的位移电流强度等于通过该面积的电位移通量对时间的变化率；电场中某点的位移电流密度等于该点电位移矢量对时间的变化率。kIlES2S1上讲:位移电流强度：

例题12-25

一圆形极板的平行板电容器,极板半径R=0.1m,板间为真空。给电容器充电的过程中,板间电场对时间的变化率dE/dt=1.0×1013V/m.s,求:(1)两板间的位移电流强度；(2)离中心r(r<R)处的磁感应强度。解(1)位移电流密度的大小为R两板间的位移电流强度：=2.78A

由于E，所以位移电流密度与E的方向相同，即从正极流向负极。B.2r=µoJd.r2

(2)由安培环路定律得Rr电流呈柱形分布，磁场方向如图中的圆周切线。

例题12-26

一圆形极板的真空平行板电容器，板间距离为d，两极板之间有一长宽分别为a和b的矩形线框,矩形线框的一边与圆极板的中心轴线重合，如图所示。两极板上加上电压U12=Uocost，求矩形线框的电压U=?解板间电场：位移电流密度：dU=?abB.2r=µoJd.r2U=idV=?abrdr麦克斯韦在总结前人成就的基础上,再结合他极富创见的涡旋电场和位移电流的假说,建立起系统完整的电磁场理论,称为麦克斯韦方程组。在变化电磁场情况下，

§12-8麦克斯韦方程组涡旋电场空间任一点的电场：产生电场变化磁场电荷静电场=qo(自由电荷代数和)(涡旋电场的电力线是闭合曲线)电场的环流为电场的高斯定理为0在变化电磁场情况下，空间任一点的磁场：则磁场的高斯定理为(磁力线是闭合曲线)传导电流(运动电荷)位移电流(电场的变化)产生磁场磁场的环流为(传导电流的代数和)(位移电流的代数和)于是就得麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组的意义：(1)概括、总结了一切宏观电磁现象的规律。(2)预见了电磁波的存在。变化的磁场激发电场变化的电场激发磁场

电磁场这样交替激发，就可以离开场源而在空间作为一个整体传播开去，从而形成电磁波。i

例题12-27

反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为1.变化的磁场一定伴随有电场。2.磁感应线是无头无尾的。3.电荷总伴随有电场。在下列描述后,写出对应的方程序号

:(2)(3)(1)(1)(2)(3)(4)§12-9电磁波的波动方程jxyzHzEy

设无限大平面上的