【2022苏教版数学】《集合的概念》知识梳理

第一章集合2011高考导航1.了解集合的概念，理解子集、交集、并集、补集的概念．

要明确子集、真子集相等的定义及它们之间的区别与联系．

要弄清元素与集合、集合与集合的关系.2.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义.考纲解读2011高考导航3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

在进行集合间运算时，要确定好集合属于哪一类集合(数集、点集或图形等)．

在进行集合运算时，不能忘了∅.考纲解读2011高考导航从历年全国高考试题来看：

1.在考查内容上，高考命题仍以考查概念与计算为主．

2.题型主要是填空题，以解答题形式出现的题目基本没有．

3.在能力要求上，注重基本知识和基本技能的考查，要求具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合运算问题．如2009年高考辽宁卷第1题等．

命题探究2011高考导航命题探究预计在2011年高考中：1.从考查内容上看，集合问题仍是考查的热点，在试题中出现集合问题的可能性很大．

2.从考核的背景上看，多与不等式、不等关系联系，有可能加强对Venn图的考查．

3.从能力要求上看，对应用集合思想解决数学问题的考查力度要逐渐加大.第一节集合的概念基础知识梳理1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为

，把一些元素组成的总体叫做

，简称

．

(2)集合中的元素有三个特点：①

；②

；③

．元素集集合确定性互异性无序性

(3)集合中元素与集合的关系分为

和

两种，分别用

和

来表示．不属于∈属于∉基础知识梳理(4)几个常用集合的记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR基础知识梳理(5)集合有三种表示方法：

、

、

，它们各有优点，用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析．列举法描述法Venn图法基础知识梳理注意：区分集合中元素的形式：如：A＝{x|y＝x2＋2x＋1}；B＝{y|y＝x2＋2x＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋2x＋1}；D＝{x|x＝x2＋2x＋1}；E＝{(x，y)|y＝x2＋2x＋1，x∈Z，y∈Z}；F＝{(x，y)|y＝x2＋2x＋1}；G＝{z|y＝x2＋2x＋1，z＝}．基础知识梳理2．集合间的基本关系(1)一般地，对于两个集合A、B，如果

，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作

.集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A(2)对于两个集合A、B，若

且

，则称集合A与集合B相等．A⊆BB⊆A基础知识梳理(3)如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的

，记作

.

注意：条件为A⊆B，在讨论的时候不要遗漏了A＝∅的情况．(4)不含任何元素的集合叫做

，记作

，并规定：空集是任何集合的子集．空集∅真子集基础知识梳理{0}与∅有什么区别？思考？

【思考·提示】{0}为单元素集合，其元素只有一个为0；而∅是一个没有元素的集合．∅{0}基础知识梳理(5)若A含有n个元素，则A的子集个数为

个，A的非空子集个数为

个，A的非空真子集个数为

个．2n2n－12n－2三基能力强化解析：根据互异性可知，集合应为{x，－x}(x≠0)或{0}，故最多含有2个元素．答案：2三基能力强化2．集合{x|x>1且x≤3，x∈N}中的元素有________．解析：{x|x>1且x≤3，x∈N}＝{x|1<x≤3，x∈N}＝{2,3}．答案：2,3三基能力强化3．已知集合S＝{x|x≤2}，又a＝3，则a与S的关系为________.答案：a∈S三基能力强化4．设集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝n＋1，n∈Z}，则集合A，B的关系是____．解析：A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝n＋1，n∈Z}，所以A为奇数集，B为整数集，∴AB.答案：AB课堂互动讲练集合的表示是认识集合和应用集合的基础，不同的集合表示不同的意义，可以从表示形式上来理解，是考查的热点．集合的表示方法考点一课堂互动讲练已知集合M＝{x|y＝lg(－x2＋3x－2)}，N＝{m|(x2－x＋4)m<(x2－x＋4)a}，若M是N的真子集，则a的取值范围是________．例1【思路点拨】集合M中的代表元素为“x”，故集合M应为函数y＝lg(－x2＋3x－2)的定义域；集合N中的代表元素为“m”，是关于m的不等式(x2－x＋4)m<(x2－x＋4)a的解集．课堂互动讲练【解析】由－x2＋3x－2>0可解得1<x<2，所以M＝{x|1<x<2}．∵x2－x＋4＝(x－)2＋>1，由(x2－x＋4)m<(x2－x＋4)a，可得m<a，∴N＝{m|m<a}；∵M是N的真子集，∴a≥2.【答案】a≥2课堂互动讲练【点评】(1)解答一个与元素有关的命题，必须先弄清楚我们研究的是什么样的集合，它是用什么样的描述形式来表述的，比如是列举法，或者描述法．(2)其次准确把握集合中元素的形式，常见的有数集、点集等．(3)要与常见的用集合描述的相关知识多联系，如函数的定义域，值域；不等式的解集等．课堂互动讲练1．设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}，则下列关系：①A∩C＝∅；②A＝C；③A＝B；④B＝C.其中不正确的共有________个．解析：集合A是数集，它是由二次函数y＝x2－4的自变量组成的集合，即A＝R；集合B也是数集，它是由二次函数y＝x2－4的值域组成的，即B＝{y|y≥－4}；而集合C是点集，是二次函数y＝x2－4图象上所有点组成的集合．因此②、③、④都不正确．答案：3

跟踪训练课堂互动讲练集合中元素的性质是高考考查的问题之一，主要根据互异性来确定集合，解决此类问题关键在于找准问题的切入点，对各种情况进行排查和验证，从而得出正确的结果．集合中元素的性质考点二课堂互动讲练(2009年高考山东卷改编)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为____．例2【思路点拨】观察A∪B中的元素，由互异性得a的值．课堂互动讲练【解析】∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.【答案】4【点评】本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相应的元素，从而求得答案．课堂互动讲练2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，

，b}，则b－a等于________．

跟踪训练解析：∵a≠0，∴a＋b＝0，∴＝－1，∴b＝1，a＝－1，∴b－a＝2.答案：2课堂互动讲练元素与集合间的关系的判断，一看集合中元素的形式，二可以用列举法寻找某些规律或关系，然后判断，对一些特殊的表达形式可以尝试用不同的方法来描述．元素与集合间的关系考点三课堂互动讲练【思路点拨】依次取x，y进行运算．例3(2010年郑州模拟)定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy·(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．课堂互动讲练【答案】18课堂互动讲练【点评】本题中，x∈A，y∈B，可依次取值，实质是用列举法列举出相关的元素，计算准确是解决本题的关键．课堂互动讲练3．在例3中“z＝xy(x＋y)”改为“z＝x＋y”，其它条件不变，则其结果如何？解：取x＝0∈A时，y＝2，z＝0＋2＝2；y＝3时，z＝0＋3＝3；取x＝1∈A时，y＝2，z＝1＋2＝3；y＝3时，z＝1＋3＝4.∴A⊙B＝{2,3,4}，∴元素之和为2＋3＋4＝9.

跟踪训练课堂互动讲练判断集合与集合的关系，基本方法是归纳为判断元素与集合的关系．对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素及它的属性，可将元素列举出来直接观察或通过元素特征，求同存异，定性分析．集合与集合间的关系考点四课堂互动讲练【思路点拨】利用数轴作工具，使问题得到解决．例4(解题示范)(本题满分15分)已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－<x≤2}．(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由．课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【点评】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．课堂互动讲练4．(本题满分8分)已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值．解：分两种情况进行讨论．(1)若a＋b＝ac且a＋2b＝ac2，消去b得：a＋ac2－2ac＝0，a＝0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0.2分

自我挑战课堂互动讲练∴c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，