高三数学一轮复习-52等差数列及其前n项和课件-

第二节

等差数列及其前n项和【知识梳理】1.等差数列的概念如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于___________,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_____,一般用字母d表示;定义的表达式为:________________2.等差中项如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中项,且A=

.同一个常数公差an+1-an=d(n∈N*).3.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=_________.4.等差数列的前n项和公式已知条件前n项和公式a1,an,nSn=_______a1,d,nSn=______________a1+(n-1)d5.等差数列的性质(1)等差数列的常用性质:①通项公式的推广:an=am+_______(n,m∈N*);②若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则__________;k+l=2m⇔_________(k,l,m∈N*);③若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为___;④若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(n∈N*)是等差数列;⑤若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为___的等差数列.(n-m)d2dmdak+al=am+anak+al=2am(2)等差数列与等差数列各项的和有关的性质:①若{an}是等差数列,则也成等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的;②Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,______成等差数列;③关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质(i)若等差数列{an}的项数为2n,则S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,,S3m-S2m(ii)若等差数列{an}的项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,(其中S奇,S偶分别表示数列{an}中所有奇数项、偶数项的和);④两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为⑤数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)是{an}成等差数列的_____条件;⑥等差数列的增减性:d>0时为_____数列,且当a1<0时前n项和Sn有最小值.d<0时为_____数列,且当a1>0时前n项和Sn有最大值.充分递增递减【考点自测】1.(思考)给出下列命题:①若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列;②数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2;③等差数列{an}的单调性是由公差d决定的;④数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数;⑤等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.其中正确的命题是()A.①② B.②③ C.③④ D.④⑤【解析】选B.①错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,这个数列就不是等差数列.②正确.如果数列{an}为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2,则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根据定义数列{an}为等差数列.③正确.当d>0时为递增数列;d=0时为常数列;d<0时为递减数列.④错误.根据等差数列的通项公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有当d≠0时,等差数列的通项公式才是n的一次函数,否则不是.⑤错误.根据等差数列的前n项和公式,Sn=显然只有公差d≠0时才是关于n的常数项为0的二次函数,否则不是(甚至也不是n的一次函数,即a1=d=0时).2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于()A.1B.C.2D.3【解析】选C.因为S3==6,而a3=4.所以a1=0,所以d==2.3.若{an}为等差数列，Sn是其前n项的和，且则tana6=()【解析】选C.4.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且a4=9,a9=-6,则Sn取最大值时n的值为()A.6或7B.7或8C.5或6D.8或9【解析】选A.由所以an=-3n+21,故a1>a2>a3>…>a6>a7=0>a8>…,所以S6=S7最大.5.在等差数列{an}中,Sn表示其前n项和,若Sn=,Sm=(m≠n),则Sm+n-4的符号是()A.正 B.负 C.非负 D.非正【解析】选A.因为Sn=na1+d=(1),Sm=ma1+d=(2),所以由(1)(2)得d=,a1=.故Sm+n-4=(m+n)a1+d-4=>0(m≠n).6.(2013·上海高考)在等差数列{an}中,若a1+a2+a3+a4=30,则a2+a3=

.【解析】a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=30⇒a2+a3=15.答案:15考点1等差数列的基本运算

【典例1】(1)(2013·安徽高考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6 B.-4 C.-2 D.2(2)(2014·南京模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.①求通项an;②若Sn=242,求n.【解题视点】(1)利用等差数列的前n项和公式及通项公式求出首项及公差,再利用通项公式求出a9.(2)①先求出基本量a1和d,再利用通项公式求解;②利用前n项和公式解方程即可.【规范解答】(1)选A.由S8=4a3⇒8a1+d=4×(a1+2d);由a7=-2⇒a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.(2)①由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得a1=12,d=2.所以an=2n+10;②由Sn=na1+d,Sn=242,得方程12n+×2=242,解得n=11或n=-22(舍去).【互动探究】本例(1)中,已知条件不变,求Sn.【解析】由本例(1)知a1=10,d=-2,所以Sn=na1+d=10n-n(n-1)=-n2+11n.【规律方法】1.等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.2.等差数列前n项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式,如已知首项和公差,则使用公式Sn=na1+d,若已知通项公式,则使用公式Sn=.【变式训练】1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选C.方法一:由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,因为数列{an}为等差数列,所以d=am+1-am=1,又因为Sm==0,所以m(a1+2)=0,因为m≠0,所以a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.方法二:因为Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以公差d=am+1-am=1,由Sn=得由①得a1=,代入②可得m=5.方法三:因为数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,所以数列也为等差数列.所以即=0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.2.(2014·温州模拟)等差数列{an}的首项为a1,公差d=-1,前n项和为Sn.(1)若S5=-5,求a1的值.(2)若Sn≤an对任意正整数n均成立,求a1的取值范围.【解析】(1)由条件得,S5=5a1+d=-5,解得a1=1.(2)由Sn≤an,代入得na1-≤a1+1-n,整理,变量分离得:(n-1)a1≤n2-n+1=(n-1)(n-2),当n=1时,上式成立.当n>1,n∈N*时,a1≤(n-2),n=2时,(n-2)取到最小值0,所以a1≤0.【加固训练】1.(2014·襄阳模拟)在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=90,则a10-a14的值为()A.12 B.14 C.16 D.18【解析】选A.由等差数列的通项公式及a4+a6+a8+a10+a12=90,得5a1+35d=90,即a1+7d=18,所以a10-a14=a1+9d-(a1+13d)=(a1+7d)=×18=12,故选A.2.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1.(2)求d的取值范围.【解析】(1)由题意知S6==-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7,所以S6=-3,a1=7.(2)方法一:因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.因为关于a1的一元二次方程有解,所以Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0,解得d≤-2或d≥2.故d的取值范围为方法二:因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.故d的取值范围为考点2等差数列的判定与证明

【典例2】(1)若{an}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是()A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列(2)已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).①求证:数列{bn}是等差数列;②求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.【解题视点】(1)构造新数列{cn},使得cn=a2n-1+2a2n,根据cn+1-cn是否对任意正整数n都等于同一个常数作出判断.(2)①证明bn+1-bn=常数;②根据①的结论,求得{bn}的通项公式,再求得{an}的通项公式,结合单调性求解.【规范解答】(1)选C.设{an}的公差为d,则d=1.设cn=a2n-1+2a2n,则cn+1=a2n+1+2a2n+2,所以cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6,故选C.(2)①因为an=2-(n≥2,n∈N*),bn=(n∈N*),所以bn+1-bn=又b1=所以数列{bn}是以为首项,1为公差的等差数列.②由①知bn=n-,则an=设f(x)=1+,则f(x)在区间和上为减函数.所以当n=3时,an取得最小值-1,当n=4时,an取得最大值3.【易错警示】用定义证明等差数列时的易错点用定义证明等差数列时,常采用的两个式子an+1-an=d和an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n≥2”,否则n=1时,a0无定义.【规律方法】等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列.(3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列{an}为等差数列.(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.提醒:等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题中简单判断.【变式训练】(2014·烟台模拟)设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是an2和an的等差中项.(1)证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式.(2)证明:

【解析】(1)由已知得,2Sn=an2+an,且an>0,当n=1时,2a1=a12+a1,解得a1=1(a1=0舍去);当n≥2时,有2Sn-1=an-12+an-1.于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1,即2an=an2-an-12+an-an-1.于是an2-an-12=an+an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,所以数列{an}的通项公式为an=n.(2)因为an=n,则【加固训练】1.已知数列{an},an∈N*,Sn=(an+2)2.(1)求证:{an}是等差数列.(2)设bn=an-30,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.【解析】(1)因为Sn=(an+2)2,①所以Sn-1=(an-1+2)2(n≥2).②①-②得Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2(n≥2),即an=(an+2)2-(an-1+2)2.所以(an-2)2=(an-1+2)2,所以an+an-1=0或an-an-1=4.因为an∈N*,所以an+an-1=0舍去,所以an-an-1=4.a1=S1=(a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2.所以{an}是首项为2,公差为4的等差数列.(2)bn=an-30=(4n-2)-30=2n-31.bn+1-bn=2(n+1)-31-(2n-31)=2.b1=a1-30=×2-30=-29.所以{bn}是以b1=-29为首项,d=2为公差的等差数列.Tn=nb1+d=-29n+×2=n2-30n.所以Tn=(n-15)2-225.当n=15时,数列{bn}的前n项和有最小值为-225.2.若数列{an}满足:a1=,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2.(1)证明数列{an+1-an}是等差数列.(2)求使成立的最小的正整数n.【解析】(1)由3(an+1-2an+an-1)=2可得an+1-2an+an-1=,即(an+1-an)-(an-an-1)=,所以数列{an+1-an}是以a2-a1=为首项,为公差的等差数列.(2)由(1)知an+1-an=+(n-1)=(n+1),累加求和得an=a1+(2+3+…+n)=n(n+1),所以所以所以n>5,所以最小的正整数n=6.考点3等差数列性质的应用

【考情】通过近3年的高考试题分析,对等差数列性质的考查几乎每年必考,有时以选择题、填空题的题型出现,难度中等偏下,有时在解答题中出现,常与求通项an及前n项和Sn结合命题,题目难度中等.高频考点

通关【典例3】(1)(2014·嘉兴模拟)已知等差数列{an}满足a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,则n的值为()A.8 B.9 C.10 D.11(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为

.【解题视点】(1)根据已知利用等差数列性质:an+an-1+an-2=3an-1及Sn=计算求值.(2)求得Sn的表达式,然后表示出nSn,将其看作关于n的函数,借助导数求得最小值.【规范解答】(1)选C.因为Sn-Sn-3=51(n>3),所以an-2+an-1+an=51,即3an-1=51,所以an-1=17(n≥2),又因为Sn=100,即=100,而a2=3,所以=100,解得n=10.故选C.(2)由题意知:解得d=,a1=-3,所以Sn=即nSn=令f(n)=则有f'(n)=n2-,令f'(n)>0,得n>,令f'(n)<0,得0<n<.又因为n为正整数,所以当n=7时,f(n)=取得最小值,即nSn的最小值为-49.答案:-49【通关锦囊】重点题型破解策略求基本量利用方程思想,已知a1,d,n,an,Sn中的任意三个,即可利用通项公式与前n项和公式列方程(组)求出其余两个求前n项和的最值(1)若a1>0,d<0,且满足前n项和Sn最大;(2)若a1<0,d>0,且满足前n项和Sn最小;(3)除上面方法外,还可将{an}的前n项和最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题(公差不为零),利用二次函数的图象或配方法求解,注意n∈N*重点题型破解策略求解与函数、不等式有关的数列综合题利用函数思想、整体思想、等价转化思想,灵活运用等差数列的性质等基础知识解决【通关题组】1.(2014·绍兴模拟)在等差数列{an}中,a1=-2015,其前n项和为Sn,若则S2015的值等于()A.-2015 B.-2014 C.-2013 D.-2012【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,因为所以故a12-a10=4,所以2d=4,d=2.所以S2

015=2015a1+=-2015.2.(2014·南阳模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17为一确定常数,则下列各式中也为确定常数的是()A.a2+a15 B.a2·a15C.a2+a9+a16 D.a2·a9·a16【解析】选C.因为S17为一确定常数,根据公式可知,a1+a17为一确定常数,又a1+a17=a2+a16=2a9,所以a2+a9+a16为一确定常数,故选C.3.(2013·辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.其中的真命题为()A.p1,p2 B.p3,p4C.p2,p3 D.p1,p4【解析】选D.命题判断过程结论p1:数列{an}是递增数列由an+1-an=d>0,知数列{an}是递增数列真命题p2:数列{nan}是递增数列由(n+1)an+1-nan=(n+1)(a1+nd)-n[a1+(n-1)d]=a1+2nd,仅由d>0是无法判断a1+2nd的正负的,因而不能判定(n+1)an+1,nan的大小关系假命题命题判断过程结论p3:数列是递增数列显然,当an=n时,=1,数列是常数数列,不是递增数列假命题p4:数列{an+3nd}是递增数列数列的第n+1项减去数列的第n项[an+1+3(n+1)d]-(an+3nd)=(an+1-an)+[3(n+1)d-3nd]=d+3d=4d>0.所以an+1+3(n+1)d>an+3nd,即数列{an+3nd}是递增数列真命题4.(2014·金华模拟)数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.(1)求a1.(2)求数列{an}的通项公式.(3)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,求证:对任意正整数n,总有Tn<2.【解析】(1)由已知:对于任意的n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列,所以2Sn=an+,令n=1,所以2S1=a1+,即2a1=a1+,又因为数列{an}的各项均为正数,所以a1=1.(2)因为2Sn=an+①所以2Sn-1=an-1+(n≥2)②由①-②得:2Sn-2Sn-1=an-an-1+-,即2an=an-an-1+-,所以an+an-1=an2-an-12,即an+an-1=(an+an-1)(an-an-1).因为an,an-1均为正数,所以an-an-1=1(n≥2),所以数列{an}是公差为1的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.(3)bn=(n≥2),当n=1时,Tn=b1==1<2,当n≥2时,Tn=b1+b2+b3+…+bn

=2-<2.所以对任意正整数n,总有Tn<2.【加固训练】1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于()A.36 B.54 C.72 D.18【解析】选C.由a4+a5=a1+a8=18,S8==72,所以选C.2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为36,Sn=324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项数n及a9+a10.【解析】由题意可知a1+a2+…+a6=36,①an+an-1+an-2+…+an-5=180,②①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,所以a1+an=36.又Sn==324,所以18n=324.所以n=18.所以a1+a18=36.所以a9+a10=a1+a18=36.3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围.(2)S1,S2,…,S12中哪一个值最大?并说明理由.【解析】(1)因为S12>0,S13<0,所以即又a3=a1+2d=12,所以解得<d<-3.(2)方法一:Sn=na1+d(n=1,2,3,…,12).所以Sn=n(12-2d)+d因为<d<-3,所以6<,所以当n=6时,Sn有最大值,所以S1,S2,…,S12中值最大的为S6.方法二:由题意及等差数列的性质可得所以a7<0,a6>0.所以在数列{an}中,前6项为正,从第7项起,以后各项为负,故S6最大.【巧思妙解5】巧用等差数列的性质求前n项和【典例】在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=

.【解析】常规解法:设数列{an}的公差为d,首项为a1,则解得所以S110=110a1+d=-110.答案:-110巧妙解法:因为S100-S10==-90,所以a11+a100=-2,所以S110==-110.答案:-110【解法分析】常规解法1.直接利用等差数列的前n项和公式求解基本量,然后求和,是等差数列运算问题的常规思路.2.解法体现了方程思想,但计算量大,运算过程极易出错巧妙解法1.①处用前n项和公式表示出从第11项到第100项的和,为下一步应用性质做好铺垫.2.②处充分利用了等差数列的性质:若m+n=p+q,则am+an=ap+aq突出了整体思想,减少了运算量【小试牛刀】在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()A.58B.88C.143D.176【解析】常规解法:选B.设等差数列{an}的公差为d,由题意可得a1+3d+a1+7d=16,所以a1=8-5d,所以S11=11a1+d=11(8-5d)+55d=88-55d+55d=88.巧妙解法:选B.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,所以a1+a11=a4+a8=16,所以S11==88.【规范解答】解决与等差数列有关的综合问题【典例】(14分)(2014·临沂模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足S