2021-2022学年湖南省怀化市思蒙乡中学高三数学理月考试题含解析

2021-2022学年湖南省怀化市思蒙乡中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，若输入a的值为－1，则输出的S的值是(

)A. B.C. D.参考答案：C【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得a＝﹣1，S＝0，k＝1满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣1，a＝1，k＝2满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝3，k＝3满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝5，k＝4满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝7，k＝5此时，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．2.已知向量与关于x轴对称，，则满足不等式的点Z(x,y)的集合用阴影表示为（

）参考答案：C略3.若且,使不等式≥恒成立，则实数的取值范围为（

）A．≤ B．≤ C．≥ D．≥

参考答案：D4.已知数列{an}是等差数列，且，，则公差d=

（

）A． B．4

C．8

D．16参考答案：B5.不等式x2﹣2|x|﹣3＜0的解集是（）A．（﹣3，3） B．（﹣3，1） C．（﹣3，0）∪（0，3） D．（﹣1，0）∪（0，1）参考答案：A【考点】其他不等式的解法．【分析】根据题意对x进行分类讨论，分别化简不等式后，由一元二次不等式的解法求出解集，最后再并在一起．【解答】解：①当x＞0时，不等式x2﹣2|x|﹣3＜0为x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3；②当x＜0时，不等式x2﹣2|x|﹣3＜0为x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1；综上可得，不等式的解集是（﹣3，3），故选A．6.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：D略7.（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]参考答案：D【考点】：交集及其运算；其他不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D【点评】：此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.执行如图所示的程序框图，如果输出的是，那么输入的正整数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．336 B．510 C．1326 D．3603参考答案：B【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意可得，该表示为七进制，运用进制转换，即可得到所求的十进制数．【解答】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6=510．故选：B．10.某几何体的三视图如图所示，则此几何体对应直观图中△PAB的面积是

（

）A.

B.2

C.

D.

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是．参考答案：30【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，即可确定甲校抽取的人数．【解答】解：∵甲校，乙校，丙校的学生的人数之比为：3600：5400：1800=2：3：1，∴抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数为：，故答案为：30．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和应用，根据分层抽样的定义确定对应的抽取比例是解决本题的关键，比较基础．12.已知公比为的等比数列的前项和满足，则公比的值为___________.参考答案：2略13.已知，则

.

参考答案：略14.若向量与共线且方向相同，则n=___________．参考答案：215.已知a，b，c，dR，且a2＋b2＝2，c2＋d2＝2，则ac＋bd的最大值为＿＿＿参考答案：216.双曲线C：的离心率为2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为

．参考答案：由题意知，，即，则，由圆的方程可知，其圆心坐标为，半径，不妨取双曲线渐近线，则，即，所以，则，故所求双曲线的方程为.

17.使不等式成立的实数a的范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，，，，，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小.参考答案：以为坐标原点，射线，，分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，设，则，，.

（1）证明：，，设平面的法向量为，由，，得到，，故，，取，则，又设，则，,设平面的法向量为，由，，得到，，故，，令，则，由平面平面，得到，所以，，，故.（2）解：由（1）知，取的中点，则，，故，，又，故，因此向量与的夹角等于二面角的平面角，于是，所以二面角的大小为.19.已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=ex﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（ex+x3﹣1）﹣lnx，若?x＞0，f（g（x））＜f（x），求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（3）设F（x）=ex﹣x﹣1，求出函数的导数，问题转化为x＞0时，ex+x3﹣1＞x，设h（x）=xex﹣ex﹣x3+1，根据函数的单调性确定a的范围即可．【解答】解：（1）a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=ex﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=ex﹣ax﹣1，f′（x）=ex﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=ex﹣x﹣1，则F′（x）=ex﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：ex﹣1＞x，∴x＞0时，ex+x3﹣1＞x，设h（x）=xex﹣ex﹣x3+1，则h′（x）=x（ex﹣ex），设H（x）=ex﹣ex，H′（x）=ex﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得ex+x3﹣1＜xex，∴x＞0时，x＜ex+x3﹣1＜xex，∴x＞0时，lnx＜ln（ex+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（ex+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知?x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．20.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(1)若,求角C；(2)若,求△ABC的面积.参考答案：（1）由已知又因为，所以由正弦定理，因为，所以。

…………6分（2），，

…12分21.在等比数列{an}中，已知a1=3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=a2，b13=a3．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）记cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q≠1，等差数列{bn}的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程组，可得公比和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得cn=an+bn=3n+（2n+1），运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q≠1，等差数列{bn}的公差为d．由b1=a1，b4=a2，b13=a3，得??q=3或1（舍去），d=2，所以an=3n，bn=2n+1．（2）由题意，得cn=an+bn=3n+（2n+1），Sn=c1+c2+…+cn=（3+5+7+…+2n+1）+（3+32+…+3n）=+=+n2+2n﹣．22.（本小题满分13分）如图，已知点M在圆O：上运动，MN⊥y轴（垂足为N），点Q在NM的延长线上，且．（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；（Ⅱ）直线与（Ⅰ）中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，．（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）求当取得最小值时直线l的方程．参考答案：解析：（Ⅰ）设动点，点，因为点在圆上，所以，因为，所以，，把，代入得动点Q的轨迹方程为．················4分（Ⅱ）（ⅰ）联立直线l与（Ⅰ）中的轨迹方程得∴，由于有两个交点A、B，故，解得，

①···························································································5分设，，AB的中点，由根与系数的关系得故AB的垂直平分线方程为，即．······················6分由圆O上存在两点C、D，满足，，可知AB的垂直平