2022-2023学年山西省忻州市附属外国语中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年山西省忻州市附属外国语中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则等于（）A．2015 B．﹣2015 C．1 D．﹣1参考答案：C【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意和求和公式可得q的方程，解方程可得q，可得S2015，进而可得比值．【解答】解：由题意可得等比数列{an}的公比q≠1，∵，∴S4a2=S2a4，∴?a1q=?a1q3，化简并解方程可得q=﹣1，∴S2015==a1，∴==1故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质和求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．2.已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，2）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】由f（0）=ln1=0，可得：x=0是函数y=f（x）﹣kx的一个零点；当x＜0时，由f（x）=kx，得﹣x2+x=kx，解得x=﹣k，由x=﹣k＜0，可得：k＞；当x＞0时，函数f（x）=ex﹣1，由f'（x）∈（1，+∞），进而可得k＞1；综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=ln1=0，∴x=0是函数y=f（x）﹣kx的一个零点，当x＜0时，由f（x）=kx，得﹣x2+x=kx，即﹣x+=k，解得x=﹣k，由x=﹣k＜0，解得k＞，当x＞0时，函数f（x）=ex﹣1，f'（x）=ex∈（1，+∞），∴要使函数y=f（x）﹣kx在x＞0时有一个零点，则k＞1，∴k＞1，即实数k的取值范围是（1，+∞），故选：B．3.对任意两个非零的平面向量和，定义；若两个非零的平面向量满足，与的夹角，且都在集合中，则(

)

参考答案：选都在集合中得：4.f（x）=3x+3x﹣8，则函数f（x）的零点落在区间（）参考数据：31.25≈3.9，31.5≈5.2．A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别求出f（1）、f（1.25）、f（1.5）、f（2），由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，能求出零点落在哪个区间．【解答】解：：因为f（1）=3+2﹣8=1＞0，f（1.25）=31.25+3×1.25﹣8≈3.9+3.75﹣8=﹣0.35＜0，f（1.5）=31.5+3×1.5﹣8≈5.2+4.5﹣8=1.7＞0，f（2）=32+3×2﹣8=7＞0，所以根据根的存在性定理可知函数的零点落在区间（1.25，1.5）．故选：B．【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，是基础题，解题时要注意零点存在性定理的合理运用．5.已知向量，若，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：因为，所以，因为，所以，解得：，故选D．考点：1、向量的数乘运算；2、向量的模．6.若复数，为的共轭复数，则复数的虚部为（

）A．i

B．－i

C．1

D．－1参考答案：C,所以虚部为1,选C.

7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣2=﹣4，Sm=0，Sm+2=12，则第m项am=（）A．0 B．1 C．3 D．8参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm﹣2=﹣4，Sm=0，Sm+2=12，∴am+am﹣1=Sm﹣Sm﹣2=0+4=4，am+2+am+1=Sm+2﹣Sm=12﹣0=12，即，解得d=2，∴am=（am+am﹣1+d）=（4+2）=3．故选：C．8.设f（x）=则不等式f（x）＞2的解集为（）A．（1，2）∪（3，+∞） B．（，+∞） C．（1，2）∪（，+∞） D．（1，2）参考答案：C【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】分段函数在定义域的不同区间上都有可能使得f（x）＞2成立，所以分段讨论．【解答】解：令2ex﹣1＞2（x＜2），解得1＜x＜2．令log3（x2﹣1）＞2（x≥2）解得x为（，+∞）选C9.如果一个几何体的三视图是如图所示（单位：cm）则此几何体的表面积是（）A． B．22cm2 C． D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，其底面是腰长为2cm的等腰直角三角形，故底面面积S=×2×2=2cm2，底面周长C=2+2+2=4+2cm，棱柱的高h=3cm，故棱柱的表面积为：2×2+3×（4+2）=，故选：A10.在ΔABC中，已知∠A=120°，且等于 （

） A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f(x)的反函数为f－1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝

.参考答案：【解析】令.答案：12.若函数在区间上有且仅有一条平行于y轴的直线是其图像的对称轴，则的取值范围是___________。参考答案：13.在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为

．参考答案：在直角坐标系中，的坐标是，点所在的直线的方程是，设的坐标是，则得解得的坐标是，它的极坐标是。14.若实数x，y满足，且z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，则m=．参考答案：﹣1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断目标函数的最优解，求解即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图所示，z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，可知目标函数的最优解过点A，由，解得A（，3），∴﹣=a﹣3，解得m=1，故答案为：﹣115.已知函数f（x）=2x，若x1，x2是R上的任意两个数，且x1≠x2，则，请对比函数f（x）=2x得到函数g（x）=lgx一个类似的结论：．参考答案：x1，x2是R上的任意两个数，且x1≠x2，则【考点】类比推理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意函数f（x）=2x，是一个凹函数，函数g（x）=lgx，是一个凸函数，即可得出结论．【解答】解：由题意函数f（x）=2x，是一个凹函数，函数g（x）=lgx，是一个凸函数，∴x1，x2是R上的任意两个数，且x1≠x2，则．故答案为：x1，x2是R上的任意两个数，且x1≠x2，则．【点评】本题考查函数的性质，考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．16.已知F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|:

|BF2|:

|AF2|＝3:4:5，则双曲线的离心率为___________参考答案：略17.已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，则的最小值为____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分16分)已知椭圆的右准线，离心率，，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，，使得动点满足，若存在,求出的值和定点，;若不存在，请说明理由．参考答案：（I）由题设可知：∴．又，∴．椭圆标准方程为．………………5分（2）设则由得．∴

．

由得当且仅当时取等号…………10分（3）．19.某厂家拟在2018年“双十一”举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足（其中，k为正常数）.现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件.（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.参考答案：（Ⅰ）由题意知，该产品售价为元/件，由题意，得，代入化简，得，().

………………5分（Ⅱ），当且仅当，即时，上式取等号.

………………8分当时，促销费用投入万元时，厂家的利润最大，当时，，故，在上单调递增，所以在时，函数有最大值，促销费用投入万元时，厂家的利润最大.

……………11分综上，当时，促销费用投入万元时，厂家的利润最大；当时，促销费用投入万元时，厂家的利润最大.

………12分20.已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，圆N：x2+（y﹣8）2=40，经过原点的两直线l1，l2满足l1⊥l2，且l1交圆M于不同两点A，B，l2交圆N于不同两点C，D，记l1的斜率为k．（1）求k的取值范围；（2）若四边形ABCD为梯形，求k的值．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径，即可求k的取值范围；（2）由四边形ABCD为梯形可得，所以=，利用韦达定理，即可求k的值．【解答】解：（1）显然k≠0，所以l1：y=kx，l2：y=﹣x．依题意得M到直线l1的距离d1=＜，整理得k2﹣4k+1＜0，解得2﹣＜k＜2+；…（2分）同理N到直线l2的距离d2=＜，解得﹣＜k＜，…（4分）所以2﹣＜k＜．…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将l1代入圆M可得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+6=0，所以x1+x2=，x1x2=；…（7分）将l2代入圆N可得：（1+k2）x2+16kx+24k2=0，所以x3+x4=﹣，x3x4=．…（9分）由四边形ABCD为梯形可得，所以=，所以（1+k）2=4，解得k=1或k=﹣3（舍）．…（12分）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．21.(本小题满分14分)设函数.（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得成立，试问：正整数是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.参考答案：(I)函数的定义域为.

…………１分当时，，∴.…２分由得.，随变化如下表:0极小值由上表可知，，没有极大值.

…………４分（II）由题意，.令得，.………６分若，由得；由得.…………７分若，①

当时，，或，；，.②当时，.③当时，，或，；，.综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；当时，函数的单调减区间是,当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为.…………１０分(Ⅲ)当时，，.∵，∴.∴，.…………１２分由题意，恒成立.令，且在上单调递增，，因此，而是正整数，故，所以，时，存在，时，对所有满足题意.∴.…………………１４分22.设数列{an}的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列bn=an?log2an+1，求{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过等差中项的性质可知2an=Sn+1，并与2an﹣1=Sn﹣1+1（n≥2）作差，进而整理可知数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；（Ⅱ）求解得出bn=an?log2an=n?2n﹣1，利用错位相减法求解数列的和．【解答】解：（Ⅰ）∵an是Sn和1的等差中项，∴2an=Sn+1，2a