2021-2022学年湖南省娄底市石井中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省娄底市石井中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知曲线与函数及函数的图像分别交于，则的值为（）A．16

B．8

C．4

D．2参考答案：C略2.若sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，则sinαcosβ的值为（）A． B． C． D．参考答案：A【分析】利用两角和与差公式打开化简，即可得答案．【解答】解：由sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，可得sinαcosβ+cosαsinβ=…①sinαcosβ﹣cosαsinβ=…②由①②解得：sinαcosβ=，故选：A．【点评】本题主要考查了两角和与差公式运用和计算能力．属于基础题．3.已知复数满足（为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（）A．第一象限

B．第二象限

C．

第三象限

D．第四象限参考答案：D4.已知为虚数单位,复数的值是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C5.已知集合等于

A．{5}

B．{2，8}

C．{1，3，7}

D．参考答案：C6.已知正三角形的边长为，点是边上的动点，点是边上的动点，且,则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.直线l：与曲线相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：A略9.若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣ex的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（x）ex+1 B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1 C．y=f（x）ex﹣1 D．y=f（﹣x）ex+1参考答案：A【考点】52：函数零点的判定定理；3L：函数奇偶性的性质．【分析】由x0是y=f（x）﹣ex的一个零点知f（x0）﹣=0，再结合f（x）为奇函数知f（﹣x0）+=0，从而可得f（﹣x0）+1==0．【解答】解：∵x0是y=f（x）﹣ex的一个零点，∴f（x0）﹣=0，又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x0）=﹣f（x0），∴﹣f（﹣x0）﹣=0，即f（﹣x0）+=0，故f（﹣x0）+1==0；故﹣x0一定是y=f（x）ex+1的零点，故选：A．10.如图，在矩形ABCD中，，，两个圆的半径都是1，且圆心，均在对方的圆周上，在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（

）A． B． C． D．参考答案：D如图所示，分别连接，则分别为边长为的等边三角形，所以其面积分别为，其中拱形的面积为，所以阴影部分的面积为，所以概率为，故选D．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在棱长为2的正四面体A﹣BCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且．若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于．（注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积．）参考答案：

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，通过取特殊点找到P的轨迹，再由圆的面积公式得答案．【解答】解：如图，当E为AB中点时，F分别在C，D处，满足|EF|=，此时EF的中点P在EC，ED的中点P1，P2的位置上，当F为CD中点时，E分别在A，B处，满足|EF|=，此时EF的中点P在BF，AF的中点P3，P4的位置上，连接P1P2，P3P4相交于点O，则四点P1，P2，P3，P4共圆，圆心为O，圆的半径为，则EF中点P的轨迹为L为以O为圆心，以为半径的圆，其测度|L|=．故答案为：．12.设不等式组在直角坐标系中所表示的区域的面积为，则当时，的最小值为．参考答案：13.已知函数，则方程的不相等的实根个数为

。参考答案：略14.已知，则二项式的展开式中常数项是第 项。参考答案：5略15.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖

块.参考答案：10016.（2013?黄埔区一模）已知命题“若f（x）=m2x2，g（x）=mx2﹣2m，则集合”是假命题，则实数m的取值范围是_________．参考答案：m＞1或m＜﹣7略17.函数（为常数，A＞0，＞0）的部分图象如图所示，则的值是

▲

.参考答案：由图象可知，，所以,,所以，，所以，所以，所以，.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的右焦点为（1,0），设左顶点为A，上顶点为B,且，如图．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，过的直线交椭圆于两点，试确定的取值范围．参考答案：（Ⅰ）由已知，，，，则由得：

∵

∴，解得，∴

所以椭圆

……4分（Ⅱ）①若直线斜率不存在，则，此时，，＝；②若直线斜率存在，设，，则由消去得：∴，∴＝∵∴

∴

∴综上，的取值范围为．

……13分略19.（本大题9分）袋中有2个红球，n个白球，各球除颜色外均相同。已知从袋中摸出2个球均为白球的概率为，（Ⅰ）求n；（Ⅱ）从袋中不放回的依次摸出三个球，记ξ为相邻两次摸出的球不同色的次数（例如：若取出的球依次为红球、白球、白球，则ξ=1），求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ。参考答案：（1）n=4(2)P(=

P(=

Eξ=20.设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（x+1）．（1）如果关于的x不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]上有实数解，求实数m的取值范围；（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个实数解，求实数p的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导，由题意可知：函数y=f（x）在[0，e﹣1]上是递增的，则原不等式等价于f（x）max≥m在[0，e﹣1]上成立，即可求得实数m的取值范围；（2）求导，令g'（x）=0，求得函数的单调性，则g（x）min=g（0）=0，由题意可知p≥0，即可求得实数p的取值范围．【解答】解：（1）在[0，e﹣1]上恒成立，∴函数y=f（x）在[0，e﹣1]上是递增的，此时，，关于的x不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]上有实数解，等价于f（x）max≥m在[0，e﹣1]上成立，∴m≤e2﹣2．（2）g（x）=2x﹣2ln（x+1），求导，令g'（x）=0，得x=0，易知y=g（x）在（﹣1，0）上是递减的，在（0，+∞）上是递增的，∴g（x）min=g（0）=0，∴关于x的方程g（x）=p至少有一个实数解，则p的取值范围为：p≥0，实数p的取值范围[0，+∞）．21.如图，在直二面角中，四边形是矩形，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的一点，.（Ⅰ）证明：面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

试题解析：（Ⅰ）证明：由题意知：，，.∵,∴.∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.∵平面，∴.∵，∴平面.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知、、两两互相垂直，以为原点，方向为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，，，.

设二面角的平面角为，由题中条件可知，则，∴二面角的余弦值为.………………12分考点：线面垂直的判断，二面角．【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角．当然如果图形中已经有棱的垂面了，二面角的平面角已经出现了，因此直接用定义求二面角即可，没必要再用向量法求