数据结构窦延平的讲义-时间复杂性

1、算法和算法分析1、算法：一个算法就是有穷规则的集合，其中的规则规定了一个解决某一个特定问题的运算 序列。2、算法的时间复杂性和空间复杂性： ·问题的规模(n)：或大小。如：矩阵的阶数、图的结点个数、被分类序列的正整数个数 …… ·时间复杂性：算法的所需的时间和问题规模的函数。记为T(n)。当n->∞时的时间复杂 性，被称之为渐进时间复杂性。 ·空间复杂性：算法的所需的空间和问题规模的函数。记为T(n)。当n->∞时的时间复杂 性，被称之为渐进空间复杂性。 ·最坏情况下的时间复杂性和平均情况下的时间复杂性。 最坏情况下的时间复杂性： 平均情况下的时间复杂性：3、大O表示法： ·定义；如果存在着正的常数c和自然数n0，当n>=n0

时；有f(n)<=Cg(n)成立，则 称f(n)=O（g(n))。 在算法分析中，如果一个的算法的时间复杂性是O(g(n))，读作g(n)“级”的 或“阶”的。如：线性阶的、平方阶的、立方阶的……1、算法和算法分析 ·例1、设T(n)=(n+1)2

=n2+2n2+1<=n2+2n2+n2;在n=1时，等式成立，n>1时，<式成立选n0=1,c=4;T(n)<=4n2。所以，T(n)=O(n2) ·例2、设T(n)=3n3+2n2

选n0=0,c=5;T(n)<=5n3。所以，T(n)=O(n3)

同理：选n0=0,c=5;T(n)<=5n4。所以，T(n)=O(n4)？？？

注意：符合定义，但在算法分析中是没有意义的。

在算法分析中，通常所说的找到了时间复杂性的级别，是指找到了同样级别的最 简单的函数。 如：307n2、

n2/2、

n2都是同一级别的函数，最简单的函数是n2。所以， 307n2、

n2/2、

n2的级别都是O(n2)。f、g同级别：满足：f=O(g)且g=O(f), ·例3、设T(n)=3n!=O(2n)注意：f(n)=O(g(n))意味着找到了f(n)的一个最“紧贴”的上界g(n))。或者说找到了最低的上界。从算法的时间复杂性角度来看，象例2中的O(n4)是没有意义的。 1、算法和算法分析紧贴渐进界：设存在一个函数f(n)=O(g(n))，如果对于每一个函数h(n)都使得f(n)=O(h(n))，也使得g(n)=O(h(n))，就说g(n)是f(n)的紧贴渐进界。例如：f(n)=3n+5；f(n)=O(n)同样根据定义f(n)=O(n2)。但是，我们通常所讲的f(n)的紧贴渐进界是f(n)=O(n)，而不是f(n)=O(n2)。这可用反证法加以证明。反证法：上例中g(n)=n。假设g(n)=n不是f(n)=3n+5的紧贴渐进界，那么必定存在一个函数h(n)，使得f(n)=3n+5=O(h(n))，但g(n)!=h(n)。由于3n+5=O(h(n))，那么根据大O法的定义，必定存在二个正数c和n0，使得对于所有的n>=n0，3n+5=<ch(n)。很显然，对一切n>=0，有n=<3n+5，所以g(n)=<ch(n)。这样，根据大O法的定义有g(n)=O(h(n))。但这是同假设相矛盾的。因此，f(n)=O(n)是一个紧贴渐进界。关于更严格的“紧贴渐进界”的概念，请看一下的定义。1经、扛算味法换和接算胡法钩分协析·时风间内复吉杂亿性遗分慰析洒的圾注裹意挖：1全、贤时无间坡复址杂末性忌函丝式数圣无阀时翠间腊单滥位太。2框、浆上倘例狭采喷用偷的贪是均旱匀悔时年间运耗欲费。拖以饰简见单涝语毁句尼的绪耗炎费置时绪间个为箩1衰。3源、持如爹循券环评语转句纷，闻条鸡件思：私O角(挥1第)玻+份T芳H昏E采N译O告R苦E错L使S像E后捏的盈语私句贸的取时驰间赔耗席费柔之笛和约。4掌、分循笋环年语央句慨，获先浓里遮后寄外护，侦逐均步筒求节和送。4班、老时偶间艇复龙杂广性育的饭级规别断的蒸判哗断停：级黑别蚂越株低酒越担好蜂。 ·ifLimf(n)/g(n)=c;这里c是常数。f(n)、g(n)同级别。n->∞ ·ifLimf(n)/g(n)=0;这里c是常数。f(n)级别低。n->∞ ·ifLimf(n)/g(n)=∞;这里c是常数。g(n)级别低。n->∞ 如：Limlogn/n=LimLn(n)loge/n =Lim(loge/n)/1 =Limloge/n=0;logn级别低。注意：这里使用了罗彼特的求极限的法则。n->∞n->∞n->∞n->∞O糕(求l德o杰g勿n东)和O环(材n1足/俱2)洒？拘？盆？1眼、全算尚法笼和旷算绪法舞分钉析5、大Ω表示法： ·定义；如果存在着正的常数c和自然数n0，当n>=n0

时；有f(n)>=Cg(n)成立，则 称f(n)=Ω(g(n))。 ·即例毛1喊、当设浙T康(京n税)进=寺(叮n谷+晓1不)2=宜n2+兆2学n2+叮1者>冠=狂n2;在巾n摔为遵任你何远数悲时龄，科所筑以估，壁T鸭(兄n愉)俯=而Ω怨(隐n2)·蔑例渡2根、宰设锣T怕(坊n樱)纹=乌3包n3+饼2黎n2T历(泉n温)志>劈燕=辆3简n3。所翼以等，宫T嫂(军n撇)耗=历Ω筑(砌n3)同薪理遍：兔T寒(止n棍)苗>汇=宝5系n2。所碌以枝，引T捧(智n秆)余=太Ω招(这n2)损？从？窃？注群意客：饼符榜合押定蒙义苹，街但纱在勿算颜法揪分挡析够中倍是汤没谦有谁意止义野的脾。逢Ω椅:但找馅尽权可酬能颗高保的挪下岗界汽。6、Θ表示法： ·定义；如果存在着正的常数c1、c2和自然数n0，当n>=n0

时；有 C1×g(n)<=f(n)<=C2×g(n)成立，则称f(n)=Θ(g(n))。 ·例1、设T(n)=(n+1)2=Θ(n2)1晌、砌算晌法废和耕算嫂法省分踪蝶析1。拥下车述肌两文个壁程舍序疑段跪的阶作泊用符都杨是浪将落数侦组i辈n晴t触a〔n〕的龙前n明-躬1数奴组绍元灯素以置闷为寺和璃其数来组决元滩素成的背下鼓标须相祸同饺的锅值当，津且气最产后般一惜个长数扫组季元超素蝇置古为-链1粘,即a〔n务-吴1〕=言-欠1。两烘段税程梳序串那膛个上好冰一遍些私，醋那地个剧差搅一社些(从答算叮法想的托时妨间灾复识杂势性控角惰度舍考篇虑)A营.f满o绘r证(屡i俯=合0简;泼i竟<洲n壁-蜻1初;幸+废+聋i森)盛a〔i〕=犹i踢;纠a〔n钻-熊1〕=烤-闸1砌;B屋.f译o馒r震(宝i梢=迁0孤;蜡i隙<渠n他;晓+毙+必i色)仙{兴i抵f复(始i旗=业=球n贷-喉1类)左a[镰n若-羞1〕=顿-衰1兰;e趣l济s恐e闲a〔i〕=改i啊;椒}解显：拦程煤序出A串执复行挥的汤语限句旺次扇数笑为孩n少次膨，啄而厌程茫序粮B心执吨行踢的搬语再句辛次专数壁为约2凭n准次协,每故畏而吗程本序断B颠更浙好鞠一咱些搏。话时间姥省岛。2。透以展下详是岗计栽算n声!的划递到归党程高序悔，浇求炒其勉时炊间败复各杂探性愚的虚级满别妇：i奸n介t芦f乌(卖i戏n搂t棋n有){酿i诞n尚t腰m堂;i任f顾(昼n须<朋=匹1兴)读m烈=牺1奔;e妇l裹s蕉e阻m肯=侍n摘*膛f禁(亭n书-粗1童)疫;r挽e辟t峡u茧r等n按m喇;}1滥、诸算丛法庄和叫算师法防分液析解丝式：炼根聋据我上良述违程蒸序怪的著语迟句夺执文行贵次照数销可持得姿：2敲i枪f茅n沿=茄1T跟(冰n茶)伶=T坚(乎n谊-今1紧)眨+凶2利e算l派s渐e解轧本键递消归发式漆可但得迹：秧T锻(功n傅)毙=谈2添T妄(横n站-野1老)散+话2炸=葡2短(瓜2脆T粒(皇n置-峡2戴)撇+滨2尼)薯+供2系=录…链=罪O敲(育n法)答终：刻本俩程贩序蔽的袖程箱序时居间馒复付杂津性散的柜级韵别低是赚线且性乞级啄的剂。3、尖将远下毕列赵算区法钞的嗽时娘间意复曲杂都性伶的汽级哗别颜，董按漂由奔低疫到迁高先的罪顺最序优排卖成远一滔列黎；O爹(列n4)时,滚O麦(蕉1蛾)摆,啦O恳(简n3)锋,浴O化(再n×n1高/糖2)扛,亮O拳(l株o颜g壁n角)宝,回O劣(n矿l咬o它g装n垦)英,羽O授(统n1谱/怎2)削,熄O裤(超n2)贡,魂O波(相2n)解辟：廉由页低惹到弱高急的佩顺绩序傍为着：O衰(貌1膨)启,取O慈(侄l课o庄g剪n甩)壳,论O点(吊n1桐/剂2)瞒,排O午(利n货*鸭l艇o表g写n爷)底,逐O摩(烧n擦*程n1上/梦2)债,深O哪(球n2)枪,郑O株(寄n3)钓,字O连(悠n4)蒸,楚O哑(场2n)妹,1摄、南算彩法粪和伍算动法某分婆析4、锦下兄面驰的攻算便法对为葡计品算x的n次盈幂的奔值(昨y煤=x贩^剥n挡)，塞求蝴其刻时躬间杠复亮杂毙性可的甲级闻别天，虏注即意x和n都岛是位正贞整景数贿：。。s袖c怎a斜n懒f火(燥“校%形d半”斯,阔&熔x株)圣;s甚c蜘a葡n悄f捏(沸“畅%术d吊”命,郑&管n研)它;y咏=雄x跳;w图h碍i挖l阻e源(纺n虎>谜1示){内y悔=霸y揪*怕x勺;水n策=粮n喘-灶1响}p据r露i洲n创t韵f我(高“武%登d餐”馆,报y册)早;.解仗：错考管察吗各涂个障语呈句务的吃执连行励次兆数难，晒并江把妖他项们幅相之加猪，客可音得遵到甩该磨程皆序倦的盗时鹊间铅复遮杂峰性被级舞别坛为兴：T瓦(咏n哲)研=套1坏+泪1矩+志1要+梦n滨+剖2饭n捕-绕2弄+塔1何=奇O腥(逢n汉)111n2虽n平-躺211拼、冻算响法抛和蝇算施法粒分租析111111L布o佳g输n诵+或2L笑o偶g积n勒+隶1L享o婆g油n宾+惨1L倾o尽g康n勿+话2L赴o众g晓n琴+茎1L命o相g津n至+联1L摸o苗g检n灾+洒1代饱价杨<滩=静3李(哄)11返、守算牙法耀和测算脊法屈分钞析解嫁：湖将呼上害一贱页旬的叠语拖句毁执惹行百相枣加扮次糊数笛，置可医得滴到姓总姿的愈执疯行即次皇数末，剑故典：T凝(筑n势)辉=东9统l像o鼓g岸n敌+岭1坛7煤=腥O黎(巾l盘o宫g预n舍)算明法捷的音工卷作献原野理絮，鹊可虽用摆求设x5症5来峰加眉以闷说品明祸：x5晒5=找x1严1牢0虾1炮1响1=拖x3尤2校+胁1略6败+辟0袋+下4努+纠2用+羞1来派加寄以堆说艘明真。程孤序护的重第幅一促个材w即h跑i店l幸e惊求惹出温>筑=逆5策5狂的晶最桌小搜的岭2波的捧正减整勉数貌幂娃6赠4典，土6吗4港/间2酷可刚得稻到户3焰2孟，冰在医程序生的荒第列二建个初w恢h携i促l摧e狠中数用厚到撇它燥。劣在宰程理序床的璃第桶二父个害w允h解i侵l蒜e删中检：5价5公-拐3狐2伍=帜2罗3恶得桑到夺x1魔1偷0芬1壁1平1中胳的茫幂忆指艰数亮中极的猫最戏左级位忽的杠12征3释-旷1猫6浴=恩7蛇得歼到逼x1偶1洁0孙1叠1捐1中挽的懂幂沃指直数坚中灿的救左婆起背第愈二扩位边的小17当-未8敲<妥0