物理学基地班分析力学讲义三

物理学基地班分析力学讲义三第1页，课件共88页，创作于2023年2月第2页，课件共88页，创作于2023年2月例：长为l的单摆的拉格朗日函数为其中

平衡位置：微振动：质点对平衡位置的偏离不大在平衡位置附近对L作泰勒展开，得到第3页，课件共88页，创作于2023年2月

推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标，则系统的拉格朗日函数为

设：q0——系统的平衡位置，则

第4页，课件共88页，创作于2023年2月对U在q0附近作泰勒展开，只保留到二阶小量，有

——二阶小量(势能：平滑不陡峭；若大，则单位时间运动的距离大振动不是微振动)则a(q)只需展开到零阶小量，即

第5页，课件共88页，创作于2023年2月略去对运动方程无关的常数项“-U(q0)”(物理上相当于选新的零势能点，数学上：拉格朗日函数的非唯一性)，且令则由拉格朗日方程第6页，课件共88页，创作于2023年2月得到运动方程

注：参见《理论物理基础教程》P383－388“量子谐振子”二、自由振动方程的解自由振动：无强迫力、无阻尼的振动方程的解为积分常数：A—振幅；角频率；—初相位。其中振幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。第7页，课件共88页，创作于2023年2月

由位置与时间的函数，分别得到速度和加速度由质点的位置、速度和加速度的表达式可见，它们均与有关，因此定义为相位。关于相位的讨论：1.对于同一振动系统，相位不同，则振动状态不同。如：对于振动，和时，它们的振动状态就不同。第8页，课件共88页，创作于2023年2月2.对于以下两个同频率的简谐振动系统当时，振动同时到达最大位置，同时到达平衡位置，同时到达反方向最大位置(步调一致)；当时，振动1到达正方向最大位置时，振动2到达反方向最大位置，反之亦然(步调相反)

。通过相位，我们可以比较两个不同振动的振动状态：振动超前、振动同步、振动落后。第9页，课件共88页，创作于2023年2月3.相平面与相速度(注意：波动与振动密切相关)等相面：空间中相位相同的点所组成的曲面。若电磁波的等相面为平面，则称该电磁波为平面电磁波；若电磁波的等相面为球面，则称该电磁波为球面电磁波。例：平面电磁波，其等相面为相速度定义为则当k与vp共线时，有—平面方程第10页，课件共88页，创作于2023年2月于是即相速度为4.非相干波的叠加、波的群速度频率单一的波叫做单色波。真正单色波的波列必须是无穷长的，而有限长的波列是许多单色波的叠加。由这样一群单色波组成的波列叫做“波包”。为了讨论方便，设有振幅相等、波长和频率都相近的两列波组成的波包，它们的角频率和波数分别为和，且有第11页，课件共88页，创作于2023年2月二者叠加后，可得

、，即yx第12页，课件共88页，创作于2023年2月

在前式中，右边第二个余弦项表示高频的波动，而第一个余弦项可视为低频传播的振幅。叠加所得的某瞬时波形如上图所示，称高频波受到低频波的调制(如图中绿色的线—包络线)。式中高频波的传播速度(即相速)为，而低频波向前传播的速度(群速度)为。当两列波的频率差无限小时，波数差也无限小，在此极限情况下有第13页，课件共88页，创作于2023年2月附：关于色散的概念牛顿于1666年用三棱镜把太阳光分成彩色光带，即将复色光分解为单色光而形成光谱，这种现象叫做光的色散。如右图所示。色散的原因：复色光进入棱镜后，由于它对各种频率的光具有不同折射率(即光速随波长而变)，各种色光的传播方向有不同程度的偏折，在离开棱镜时就各自分散，形成光谱。

第14页，课件共88页，创作于2023年2月

在物理学中把“色散”的概念推而广之，凡波速与波长有关的现象都叫做色散，ω与k的依赖关系称为色散关系。根据色散关系，可以对相速度和群速度进行比较。因为所以，对于色散介质，有而对于无色散介质，则群速度等于相速度。第15页，课件共88页，创作于2023年2月

凡是一个物理系统对输入物理量的不同频率成分有不同的响应，往往就称为“色散”,这是借用光学术语。第16页，课件共88页，创作于2023年2月自由振动系统：保守系能量守恒即方程解的复数形式(指数形式)：令，则：思考：为什么用复数形式？什么条件下用复数形式？数学上：1.对指数因子进行运算比对三角函数因子进行运算第17页，课件共88页，创作于2023年2月更简单，因为对指数微分并不改变它们的形式；2.进行线性运算(相加、乘以常系数、微分、积分等)

时，可先用复数形式运算，运算完后再取实部；3.反例：非线性运算。例：电磁场中坡印廷矢量

，不是另外的例子：见P58第18页，课件共88页，创作于2023年2月三、受迫振动设：振子受到一个随时间变化的外场力Ue(x,t)的作用则在平衡位置附近展开Ue(x,t)，有

上式中，Ue(x,t)只是t的函数，对方程无贡献，略去。(确定平衡位置时，不考虑外场)第19页，课件共88页，创作于2023年2月令，则由拉格朗日方程，得到运动方程因令第20页，课件共88页，创作于2023年2月——关于X的一阶微分方程上式的解法：由F(t)=0得到与上式对应的齐次方程再通过变易系数法解得非齐次方程的解

第21页，课件共88页，创作于2023年2月讨论：若外力场为周期性外场则选t0，使，则积分下限为零。令

第22页，课件共88页，创作于2023年2月——按本征频率的振动和按强迫力频率的振动的叠加四、拍1.当强迫力的频率=本征频率——共振现象，(I)

式不能用(待讨论)。2.当和接近相等时，设

——共振区。(I)式的指数形式为第23页，课件共88页，创作于2023年2月在一个本征振动周期内，改变很少(对求微分)

(II)式中：

——振幅(随t变化)；——频率设，则振幅A在与之间变化；变化的频率是强迫力的频率与本征振动频率之差——拍现象。

第24页，课件共88页，创作于2023年2月第25页，课件共88页，创作于2023年2月xtx2tx1t第26页，课件共88页，创作于2023年2月§1.4.2

阻尼振动共振一、无阻尼的共振出发点改写为注意：此处的不同于第一式的。

第27页，课件共88页，创作于2023年2月当时：则——共振时，振动的振幅将随时间的增长而无限增大讨论：1.振幅增到一定程度，微振动的假设已不再成立；2.实际运动存在阻尼，振幅不会随时间无限增大。

第28页，课件共88页，创作于2023年2月二、阻尼振动说明：所谓“阻尼”是指消耗系统能量的因素，它主要分两类：一类是摩擦阻尼，例如单摆运动时的空气阻力等；另一类是辐射阻尼，当系统引起周围质点的振动时，系统的能量逐渐向四周辐射出去，变为波的能量。例如音叉发声时，一部分机械能随声波辐射到周围空间，导致音叉振幅减小，最后音叉的振动会停止下来。第29页，课件共88页，创作于2023年2月实际的振动：存在阻尼。阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使机械运动停止(无外力时)。此时：1.对振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数；2.不能肯定运动物体的状态只是该瞬时它的坐标和速度的函数(因为此时要考虑介质本身的运动、介质和物体内部的热状态)。

第30页，课件共88页，创作于2023年2月力学中的运动方程不存在(因为前面已假定，只要同时给定坐标和速度就能完全确定力学系统的状态)。但：在某些情况——振动频率比介质中的内耗过程的特征频率小，即振动周期比内耗过程的周期长认为：在物体上作用着只依赖于它的速度的“阻力”。办法：在运动方程中加进阻力项。若速度又很小，则按速度的方次来展开阻力，有

(：较小)考虑到阻力和运动方向相反，有第31页，课件共88页，创作于2023年2月

运动方程解的形式：特征方程：其中第32页，课件共88页，创作于2023年2月

：弹力>阻力；：弹力<阻力通解为三、有阻尼情况下的共振有阻尼情况下强迫振动的运动方程为——频率为ω而振幅按指数衰减的振动备忘：当时，解为第33页，课件共88页，创作于2023年2月该方程的复数形式为通解为其中：初始条件决定由通解，可以看到，长时间后，系统以本征频率的振动衰减，只剩下第二项。第34页，课件共88页，创作于2023年2月即：1.有阻尼的受迫振子，经过足够长时间后，完全按强迫力的频率振动，振动的相位落后于强迫力的相位(因为)；2.当时，振幅c取极大值，发生共振(并不随t的增长而无限增长)。四、通过共振时的相位变化和能量吸收率接近共振时，令第35页，课件共88页，创作于2023年2月(很小 小量)共振时：远离共振时：

第36页，课件共88页，创作于2023年2月

由低到高(由负到正)通过共振频率时，振动的相位改变共振点相位：振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时，有振子的能量不再变化——克服阻尼所消耗的能量通过吸收外力源能量来补充。单位时间从外力源吸收的能量I=克服阻力在单位时间内做的功，即第37页，课件共88页，创作于2023年2月一个周期(

)内能量的平均值为

——吸收对频率的依赖关系(色散)

第38页，课件共88页，创作于2023年2月第39页，课件共88页，创作于2023年2月

：平均能量吸收率当共振时，有达到极大值：——共振吸收当时，降到最大值的一半若用S表示与类似的某一物理量，它依赖与外来频率。设S在时达到共振，则

——布雷特－维格纳分布(共振曲线的普遍分布)第40页，课件共88页，创作于2023年2月一维阻尼振动方程另外的推导方法定义耗散函数：

——瑞利耗散函数由此得到而这样，广义力可以写为第41页，课件共88页，创作于2023年2月

对于主动力中既有保守力，又有非保守力的系统，广义力为由基本形式的拉格朗日方程第42页，课件共88页，创作于2023年2月得到耗散系统的拉氏方程上式中的L包含了系统的总动能及保守力的势能。例子：对于一维阻尼振子系统，所受主动力有弹簧的弹力(保守力)和阻力(非保守力)。若阻力为时，则瑞利耗散函数为。而系统的拉格朗日函数为，则由耗散系统的拉氏方程，得到一维阻尼振子系统的运动方程第43页，课件共88页，创作于2023年2月§1.4.3

多自由度的耦合振动一、弱耦合的二振子系统(两个自由度)设：两个振子m，k；m，k。两个振子之间用一软弹簧

χ

连接——实现两个振子的耦合χ<<k：弱耦合

(将软弹簧换为硬弹簧或刚性杆会如何?)又设：滑块

1、滑块

2的平衡位置为坐标原点，作两轴o1x1、

o2x2，则势能为第44页，课件共88页，创作于2023年2月系统的拉格朗日函数为

(思考：将两个方程相加或相减，会出现什么结果？)设：解的形式为

——两个滑块以同一频率振动由拉格朗日方程得到运动方程第45页，课件共88页，创作于2023年2月

——关于

C1、C2的齐次方程组非零解条件为

C1、C2的两组解：

(具体值由初始条件定)

(久期方程)第46页，课件共88页，创作于2023年2月C1、C2

矩阵形式的解为显然，它们是相互正交的，即归一化：令，有第47页，课件共88页，创作于2023年2月满足正交归一条件：耦合振子系统有两个振动频率：ω1、ω2

。与ω1、

ω2

对应，有如下两种确定的集体振动模式一般情况下，振动是以上两种振动模式的叠加，即第48页，课件共88页，创作于2023年2月选新的广义坐标：Q1、Q2，令则

Q1、Q2分别表示两种独立的集体振动模式。这样从而得到新旧坐标之间的变换关系第49页，课件共88页，创作于2023年2月新坐标系下的拉格朗日函数

——耦合项消失(退耦)，此时相互耦合的二振子系统变成两个独立的振子系统。定义：Q1、Q2

为耦合振子系统的简正坐标。

第50页，课件共88页，创作于2023年2月二、对称矩阵的本征值与本征矢(参见p320)

为将二耦合振子系统推广到任意S个耦合振子系统，将前面关于C1、C2

的方程改写成矩阵形式，有令则第51页，课件共88页，创作于2023年2月

一列二行矩阵

U可看成一个二维空间中的矢量。一般：2×2对称矩阵

S

作用在一个任意二维空间矢量上，会改变它的大小和方向，即

SU和U一般不平行。但：SU=λU表明此式中的矢量U受到S

的作用后，不改变方向，而只是乘上一个常数λ。定义：U——矩阵S

的本征矢，λ——与本征矢U对应的本征值，SU=λU——对称矩阵S

的本征方程。第52页，课件共88页，创作于2023年2月

这样，求耦合二振子系统的集体振动模式归结为求解矩阵S的本征值方程。将以上方法推广到三维空间，对此空间中的矢量写成矩阵形式，得到于是，3×3的矩阵

S

的本征值方程为第53页，课件共88页，创作于2023年2月或写为如果，则称矩阵S

为对称矩阵。对于对称矩阵有如下定理：定理一3×3的对称矩阵

S

有3个独立的本征矢。与本征矢对应的本征值为实数。第54页，课件共88页，创作于2023年2月证：SU=λU

可写为其中I为单位矩阵将

SU–λU=(S

–λI)U=0

写成矩阵形式第55页，课件共88页，创作于2023年2月上式是关于3个未知数u1,u2,u3

的齐次方程组。非零解条件为由以上条件，可得λ的3个根λ=

λa(a=1,2,3)。与每个根相对应，可得到一个解，这就是和本征值λa对应的本征矢。假定：S

为实对称矩阵，即第56页，课件共88页，创作于2023年2月本征值方程又可写成取其复共轭将，并利用，得到将上式左右两边同时乘以

uj，并对j求和，得到第57页，课件共88页，创作于2023年2月将本征值方程的左右两边同时乘以，并对i求和，有因此，即λ为实数。讨论：当λ为实数时，由本征值方程得到的解u1,u2,u3

也是实数，可以组成有物理意义的矢量。对于3×3的对称矩阵有3个实本征值，相应的有3个独立本征矢。第58页，课件共88页，创作于2023年2月注意：本征值方程是齐次方程，它的解可以乘上任意常数。因此，和本征值对应的只是本征矢的方向，而相应的本征矢的长度不确定。此时可以将本征矢“归一化”成单位长度，即通过乘上一个常数使得ui

(i=1,2,3)满足上式的矩阵形式其中是U

的转置矩阵。第59页，课件共88页，创作于2023年2月定理二对称矩阵对应于不同本征值的本征矢相互正交。证：和、对应的本征值方程分别为将上两式分别乘上和并对i求和，得到第60页，课件共88页，创作于2023年2月对上两式中的第一式的左边交换求和指标，有又，所以即因，所以，即。第61页，课件共88页，创作于2023年2月

从定理一和定理二可知，3×3的对称矩阵有三个独立本征矢，对应于三个本征值。如果这三个本征值互不相等，则对应的三个本征矢相互垂直。几何上，可画出三个本征矢，其长度分别为对应的本征值，用它们为主轴作一个椭球。这一椭球就是对称矩阵的几何表示，称之为对称矩阵的本征椭球。用本征椭球的三个主轴(对称矩阵的三个本征矢)作为坐标架基矢作一个笛卡尔坐标系，则在此坐标系中，对称矩阵有对角形式第62页，课件共88页，创作于2023年2月

在以本征椭球的三个主轴为坐标轴的坐标系下，本征矢量的矩阵表达式分别为(1，0，0)、(0，1，0)、(0，0，1)第63页，课件共88页，创作于2023年2月备忘：矢量A可用复数来表示，如图。在Oxy和Ox'y'

坐标系下，有z=x+iy、z'=x'+iy'

；，因此

：代表转动。第64页，课件共88页，创作于2023年2月

当坐标系转动时，矢量U

变成U'，它的三个分量

ui'(i'

=1,2,3)是U的三个分量ui(i=1,2,3)的线性组合上式的矩阵形式U'=AU其中矩阵A

应满足一定的条件，以保证归一化的矢量在转动以后仍然归一化，即有由A的任意性(坐标系可任意选取)，有或第65页，课件共88页，创作于2023年2月满足以上条件的矩阵称为正交矩阵。注意，代表物理量的矩阵S

是对称矩阵，即；而坐标转动矩阵A

则是正交矩阵，即。由于坐标系的转动，使得表示物理量的矩阵S也发生变化。变化后的矩阵S与S'

的关系的推导：原坐标系中，将S作用到

U，得另一矢量

V，有SU=V；坐标系转动后，这一关系仍然应成立，即S'U'

=V'

由U的任意性，有S'

A=AS。第66页，课件共88页，创作于2023年2月而，所以。可以证明：在坐标转动下，代表物理量的矩阵S的本征值和本征矢不变。注：当坐标系变换到另一坐标系时，对称矩阵的各个分量都要发生变化，矩阵不再是对角的了，但是物理量的本征值和本征矢不因坐标系的变换而变化，因而相应的本征椭球在空间中的位置和形状不变。第67页，课件共88页，创作于2023年2月定理三如果对称矩阵S的两个本征值相等λa=

λb=

λ，则和它们对应的本征矢ua和ub

的线性组合也是S的对应于同一个本征值λ

的本征矢。证：本征值方程为将两式分别乘上和并相加，得第68页，课件共88页，创作于2023年2月上式表明：也是S的对应于同一个本征值λ

的本征矢。两个独立矢量ua和ub的线性组合形成一个平面。因此定理三表明，和两个相等本征值对应的不是两个特定的本征矢量，而是一个平面，在这一平面中的任意矢量都是和这一本征值对应的本征矢。此时，对应的椭球有两个主轴长度相同，是一个旋转椭球。沿这两个主轴作的椭球的截面是一个圆。这一截面上的任意矢量都可以看成椭球的主轴。可以从中选两个相互第69页，课件共88页，创作于2023年2月垂直的矢量作为椭球的主轴。所以，对于任意一个3×3

对称矩阵S，总可以找到三个相互垂直的方向，当矢量u沿这三个方向时，S

作用到矢量u上不改变它的方向。xyzxz第70页，课件共88页，创作于2023年2月当实对称矩阵S的三个本征值相等时，其特征多项式为其中对ΔS

(λ)

分别求一阶导数和二阶导数，得第71页，课件共88页，创作于2023年2月将上式代入ΔS

(λ)的一阶导数表达式，有化简得由于S

是矩阵，所以第72页，课件共88页，创作于2023年2月而因此这样由S的本征值方程SU=λ0U

得SU=λ0IU=λ0U

即当实对称矩阵S

的三个本征值相等时，其本征矢方向是任意的，对于电磁介质而言，这说明介质是各向同性的。第73页，课件共88页，创作于2023年2月推广：S维矢量的定义定义一一组S个实数ui(i=1,2,…S)称为S维空间中的矢量，每个ui称为这一矢量的分量。定义二两个矢量的对应分量相乘并求和，此和称为它们的标积。说明：对于实矢量，标积的另一种形式其中第74页，课件共88页，创作于2023年2月定义三如果两个矢量的对应分量成正比ui=cvi

，就称它们相互平行。定义四如果两个矢量(非零矢量)的标积等于零，就称它们相互正交。S×S

的矩阵S的本征值方程成为或者第75页，课件共88页，创作于2023年2月定理四S×S的对称矩阵S有S个独立的本征矢。对应的本征值为实数。当这

S个本征值各不相等时，对应的S个本征矢相互正交。可以将它们归一化成为一组S个正交归一的S维矢量。当在S个本征值中有m个本征值相等时，对应的

m个独立本征矢的线性组合形成一个m维线性子空间(m维“平面”)，其中的任意矢量都是对称矩阵S对应于这一本征值的本征矢。可以从中选出m个相互正交的矢量并加以归一化，成为这个m

维线性子空间中的正交归一完备基。对于所有有第76页，课件共88页，创作于2023年2月相等本征值的本征矢都这样处理以后，得到一组S个矢量，满足正交归一条件第77页，课件共88页，创作于2023年2月以上定理的例子：各向异性介质中