选修3第九章第三讲带电粒子在匀强磁场中运动临界极值多解问题

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CONTENTS1第三讲 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值多解问题热点一题组突破带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题1．分析方法(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值．(2)一个“解题流程”，突破临界问题热点一题组突破(3)从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．热点一题组突破2．四个结论刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．当速率v

一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．当速率v

变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等．在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．热点一题组突破热点一题组突破[答案]

B热点一题组突破[互动探究]在[典例1]中，若粒子的比荷为q

，OS＝L，粒子的速率为mv，试分析没有粒子从边界OC射出磁场的磁感应强度B应满足的条件．热点一题组突破[解析]

粒子刚好不从

OC

边界射出的最大直径为

S

到

OC

的垂线1

3mv2SD，由几何关系得

Rmax＝2Lsin

60°＝

4

L，由

qvB＝

R

得

Bmin＝max＝

mv

4

3mvqR3qL，故没有粒子从边界

OC

射出磁场的磁感应强度

B应满足的条件为B≥3qL4

3mv.[答案]B≥4

3mv3qL热点一题组突破热点一题组突破答案：D热点一题组突破热点一题组突破答案：D热点二带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解．多解形成原因一般包含4

个方面：热点二1．带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解．热点二热点二[解析]

题目中只给出粒子“电荷量为

q”，未说明是带哪种电荷．若

q

为1正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的4圆弧，轨道半径：Rmv＝Bq又d＝R－R2解得v＝(2＋Bqd2)

m

.热点二3mv′若q

为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的4圆弧，则有：R′＝

BqR′d＝R′＋

2

，解得v′＝(2－Bqd2)

m

.[答案](2＋2)Bqd

q

为正电荷)或(2－m

(2)

m

(Bqd

q

为负电荷)热点二2．磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．热点二[典例3](多选)(2017·商丘模拟)一质量为m，电荷量为q

的负电荷在磁感应强度为B

的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是()mA.4qB

3qBB.

mC.2qBmD.qBm热点二[解析]依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力v2方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv＝m

R

，得v＝4BqRm，此种情况下，v4Bq负电荷运动的角速度为ω＝R＝

m

；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向v22BqRm，此种情况下，负电荷运动的角速度为ωv2Bq相反时，有2Bqv＝m

R

，v＝＝R＝

m

，应选AC.[答案]

AC热点二3．带电粒子速度不确定形成多解有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须要考虑由于速度的不确定而形成的多解．热点二热点二[答案]

BD热点二4．带电粒子运动的往复性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解．热点二[典例

5]

(2014·高考江苏卷)某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示．装置的长为

L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P

为板上的三点，M

位于轴线OO′上，N、P

分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m、电荷量为－q

的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P

点．改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．热点二求磁场区域的宽度h；欲使粒子到达收集板的位置从P

点移到N

点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；欲使粒子到达M

点，求粒子入射速度大小的可能值．热点二(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r′，则有v2v′2qvB＝m

r

及qv′B＝m

r′④又由几何关系得3rsin

30°＝4r′sin

30°⑤联立④⑤解得

Δv＝v－v′＝qB(L

3

)⑥m

6－

4

d(3)设粒子经过上方磁场n

次，则由几何关系得L＝(2n＋2)rnsin

30°＋(2n＋2)dcos

30°⑦热点二热点二nrn2又有qv

B＝mvn

，⑧解得nv

＝qB(Lm

n＋13d—3d)(1≤n＜3L－1，n

取整数)⑨[答案]2(1)(3L—

3d)(1－

32

)qB

L－

3

)(2)

m

(6 4

d(3)qB(Lm

n＋13d—3d)(1≤n＜3L－1，n

取整数)热点二[反思总结]巧解带电粒子在磁场中运动的多解问题分析题目特点，确定题目多解的形成原因．作出粒子的运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)．若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件．解析：由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏向角最大，故应该使弦长为PQ，由Q

点飞出的离子圆心角最大，所对应的时间最长，轨迹不可能经过圆心O

点，故A、D

正确，B

错误；因洛伦兹力永不做功，故粒子在磁场中运动时动能保持不变，但由于不知离子的初动能，故飞出时的动能不一定相等，故C

错误。答案：AD解析：当θ＝60°时，a＝Rsin

30°，即R＝2a.设带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α，则其在磁场中运行的时间为t＝

α

T，即α

越2π大，粒子在磁场中运行的时间越长，α

最大时粒子的运行轨迹恰好与磁场的右边界相切，因

R＝2a，此时圆心角

αm

为

120°，即最长运行时T

2πR

4πa

4πa间为3，而

T＝

v

＝

v

，所以粒子在磁场中运动的最长时间为

3v

，C正确．答案：C解析：粒子在右侧磁场B2

中做匀速圆周运动，v02则qv0B2＝m

R22解得R

＝mv0qB2＝2

cm故粒子经过半个圆周恰好到达P

点，轨迹如图甲所示．1则粒子运动的时间

t

＝

＝2

qB2T2

πm

π2＝

×10－6

s由于B1＝2B2，由上面的求解可知粒子从P

点射入左边的磁场后，做半径1R

＝1

＝1

cm

的匀速圆周运动，经过两次周期性运动可再次经过P

点，轨2R22

1迹如图乙所示，则粒