人教版高中数学选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 阶段性测试（含解析）

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（45分钟100分）

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是()

A.+=1B.+=1

C.+=1D.+=1

2.(2023·重庆高二检测)椭圆+=1的一个焦点坐标为(3,0),那么m的值为

()

A.-16B.-4C.16D.4

3.(2023·珠海高二检测)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()

A.2B.6C.4D.12

4.(2023·安阳高二检测)如图,椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为()

A.8B.2C.4D.

5.设α∈(0,),方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是()

A.(0,)B.(0,]

C.(,)D.[,)

二、填空题(每小题8分,共24分)

6.已知椭圆+=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于.

7.(2023·汕头高二检测)已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=.

8.F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.

三、解答题(9题,10题14分,11题18分)

9.等腰直角三角形ABC中,斜边BC长为4,一个椭圆以C为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB上,且椭圆经过A,B两点,求该椭圆的标准方程.

10.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)若△PF1F2的面积为2,求P点坐标.

11.(能力挑战题)已知P是椭圆+y2=1上的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点.

(1)求|PF1|·|PF2|的最大值.

(2)求|PF1|2+|PF2|2的最小值.

答案解析

1.【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,

∴b2=a2-c2=36-16=20,

∴其标准方程为+=1.

2.【解析】选C.由条件知,椭圆焦点在x轴上且c=3.

∴由25-m=32,得m=16.

【举一反三】若题中焦点坐标由“(3,0)”改为“(0,3)”,结果如何

【解析】∵焦点坐标为(0,3),∴焦点在y轴上且c=3.

由m-25=9,得m=34.

3.【解析】选C.设椭圆的另一焦点为F,则|BA|+|BF|=2a=2,

|CA|+|CF|=2a=2,由条件可得,△ABC的周长是|AB|+|AC|+|BC|=|BA|+|BF|+

|CA|+|CF|=4a=4.

4.【解题指南】结合平面图形的性质可知ON为△MF1F2的中位线,所以首先由定义求出|MF2|,进而求得ON.

【解析】选C.∵O为F1F2的中点,N为MF1的中点,

∴ON∥MF2且|ON|=|MF2|.

∵|MF1|+|MF2|=2a=10,

∴|MF2|=10-|MF1|=10-2=8,∴ON=4.

5.【解析】选C.由题意可知cosα>0,

又∵α∈(0,),解得n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.m>n>00b>0),有|AM|+|AC|=2a,|BM|+|BC|=2a,

两式相加,得8+4=4a,

∴a=2+,|AM|=2a-|AC|=4+2-4=2.

在直角三角形AMC中,

∵|MC|2=|AM|2+|AC|2=8+16=24,

∴c2=6,b2=4.

故所求椭圆的标准方程为+=1.

10.【解题指南】(1)由条件“|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项”求出a,从而得b2后写出椭圆方程.

(2)根据面积可以先确定出点P的纵坐标,再代入方程求横坐标.

【解析】(1)由题意知,2c=4,c=2.

且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,

即2a=8,∴a=4.

∴b2=a2-c2=16-4=12.

又椭圆的焦点在x轴上,

∴椭圆的方程为+=1.

(2)设P点坐标为(x0,y0),

依题意知,|F1F2|·|y0|=2,

∴|y0|=,y0=±,

代入椭圆方程+=1得,x0=±2,

∴P点坐标为(2,)或(2,-)或(-2,)或(-2,-).

11.【解析】(1)∵椭圆方程为+y2=1,

∴a=2,b=1,∴c=,即|F1F2|=2.

又∵|PF1|+|PF2|=2a=4,

∴|PF1|·|PF2|≤()2=()2=4,

当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,此时点P是短轴顶点,

∴|PF1|·|PF2|的最大值为4.

(2)∵|PF1|2+|PF2|2≥2|PF1|·|PF2|,

∴2(|PF1|2+|PF2|2)≥|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·

|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2,

∴|PF1|2+|PF2|2≥(|PF1|+|PF2|)2

=×16=8,

当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”.

∴|PF1|2+|PF2|2的最小值为8.

【拓展提升】揭秘焦点三角形

椭圆中的焦点三角形问题由于涉及知识面广,探究性强,综合性高,成为椭圆和解三角形、三角函数以及不等式等知识交汇的命题点,是命题的“焦点”.在解决与椭圆有关的焦点三